第2章电路的暂态分析

第2章电路中的暂态分析2.2

RC电路的响应2.3RL电路的响应2.4

三要素法2.1

换路定律与暂态过程初始值的确定2.5

序列脉冲作用下RC电路

稳定状态指电路中的电压和电流在给定的条件下，已到达某一稳定值的稳定状态简称稳态。

暂态电路从一个稳定状态变化到另一个稳定状态的物理过程称为过渡过程。又称为暂态过程。

概述

本章主要分析RC和RL一阶线性电路的暂态过程并介绍工程上使用的分析方法即三要素法。

暂态过程的产生是由于物质所具有的能量不能跃变而造成的。

换路

指电路的接通、切断、短路、电路结构改变或元件参数的改变等。2.1

换路定律与暂态过程初始值的确定2.1.1电路产生暂态过程的原因

电路产生暂态过程的原因是：电路中含有储能元件及电路发生换路。SCRt=0–

+US–

+uCiR–

+USLSt=0–

+uL–

+uRi例：图中L、C均有初始储能，在开关闭合后，i由0逐渐增长到稳态值US/RuL由US逐渐衰减到稳态值0uC由0逐渐增长到稳态值US2.1

换路定律与暂态过程初始值的确定2.1.1电路产生暂态过程的原因

电路产生暂态过程的原因是：电路中含有储能元件及电路发生换路。R1–

+USSR2R3R1–

+USSR2L–

+USSR2CR1储能元件在电路发生换路前后能量发生变化。2.1.2换路定律iL(0+)=iL(0–)uC(0+)=uC(0–)

电路中含有储能元件(电感或电容)，在换路瞬间储能元件的能量不能跃变，即

设

t=0为换路瞬间，而以t=0–表示换路前的终了瞬间，t=0+表示换路后的初始瞬间。换路定则用公式表示为：否则将使功率达到无穷大电感元件的储能不能跃变电容元件的储能不能跃变

换路定律仅适用于换路瞬间，可根据它来确定t=0+时电路中电压和电流之值，即暂态过程的初始值。2.1.3暂态过程初始值的确定暂态过程初始值的确定的步骤:(1)作出t=0-的等效电路,在t=0-的等效电路中,求出iL(0-)和uC(0-)。(2)作出t=0+的等效电路0短路U00断路I0U0+–I0uct=0–

t=0+iL+–（3）在t=0+的等效电路中，求出待求电压和电流的初始值。暂态过程在直流激励下稳态值的确定t=时电容相当于断路,电感相当于短路。[例1]已知iL(0)=0，uC(0)=0。试求S闭合瞬间电路中各电压、电流的初始值。t=0+时的等效电路为uC(0+)=uC(0–)=0i1(0+)=iC(0+)=iL(0+)=iL(0–)=0UR1R1u1(0+)=i1(0+)=Uu2(0+)=0uL(0+)=U[解]根据换路定律及已知条件可知，

iL(0+)=iL(0–)=0电路中各电压电流的初始值为SCR2R1t=0–

+ULuC(0+)u2(0+)R2R1iL(0+)uL(0+)iC(0+)u1(0+)i1(0+)+–+–U+–+–+–[例2]下图所示电路中，已知：R1=R2=R4=R5=2，R3=1，IS=4A，S闭合前电路已处于稳态。若t=0时将S打开，求电容和电感的电压、电流初始值。R1ISSR2R5LCR3R4–

+uCiLt=0[解](1)求uC(0)和iL(0)uC(0)iL(0)t=0的等效电路S[例2]下图所示电路中，已知：R1=R2=R4=R5=2，R3=2，IS=4A，S闭合前电路已处于稳态。若t=0时将S打开，求电容和电感的电压、电流初始值。R1ISSR2R5LCR3R4–

+uCiLt=0[解]

求uC(0和iL(0)uC(0)iL(0)t=0的等效电路S作t=0+的等效电路uC(0+)iL(0+)–

+uL(0+)iC(0+)i2(0+)uC(0+)=uC(0–)=2V根据换路定律,有

iL(0+)=iL(0–)=1A在t=0+的等效电路上求其它各电压电流的初始值uL(0+)=iL(0+)(R4+R5)=4V把i2(0+)=ISiC(0+)代入SiC(0+)R3+uC(0+)i2R2=0解得iC(0+)=2Ai2(0+)=2A此例说明在换路瞬间只有电容的电压和电感中的电流不能跃变，而电路中其它各电量均可能发生跃变，包括通过电容的电流和电感元件两端的电压。求初始值的步骤1、求t=0-时的电容电压和电感电流；2、画出换路后的0+等效电路，根据换路定律，确定电容电压和电感电流；3、在0+等效电路中，求待求量。稳态值

电路换路后，经过暂态过程又达到新的稳定状态，这时电路中的电压、电流值称为稳态值(稳态分量)。用u()、i()表示。求直流激励下的稳态值,可画出t=的电路，即在换路后的电路中将电容元件开路,电感元件短路。例：下图所示电路中，已知：R1=3，R2=6，R3=3，C1=5

µF，C2=10

µF

，E=20V,S闭合时电路已处于稳态。试求：C1、C2

和R1上电压的初始值和稳态值。C2R2R1+-EC1R320VSt=0C2R2R1+-EC1R320VSt=0解：（1）求初始值，画出t=0–的电路uC1(0-)=————R1+R2+R3R3•EuC2(0-)=————R1+R2+R3R2•E

=———=5V3+6+33×20=———=10V3+6+36×20i

(0-)=E/(R1+R2+R3)

=1.67AuR1(0-)=i

(0-)R1=5VuC1(0+)=uC1(0-)=5VuC2(0+)=uC2(0-)=10VR2+-R3Et=0–的电路uC1(0-)+-uC2(0-)+-i

(0-)uR1(0+)R1+-20V画出t=0+的电路,用结点电压法求结点电压uab

(0+)uab

(0+)=__________________________E/R1+uC1(0+)/R2+uC2(0+)/R31/R1+1/R2+

1/R3=13VuR1(0+)=E–uab

(0+)=7V可见uR1(0+)uR1(0–)因此，求初始值时,只需计算t=0–时的iL(0–)和uC(0–)，因为它们不能跃变，即为初始值，而t=0–时的其余电压和电流都与初始值无关，不必去求。R2+–R3EuR1(0+)+–+–uC1(0+)t=0+的电路C2C1abR1+–20VuC2(0+)(2)求稳态值,画出t=

的电路uC1()=uC2()=E=20VR2+-R3Et=的电路uC1()+-+-R1+–20VuC2()uR1()uR1()=0例：下图所示电路中，S合于a时电路已处于稳态。试求：初始值iL(0+),uL(0+)。SLR2t=03A201530R3R1IS+–iLuLba解：(1)画出t=0–的电路,L视为短路iL(0-)uL(0-)S3A2030R3R1ISat=0–的电路uL(0-)=0=1.2AiL(0-)=IS——R1+R3R1(2)画出t=0+的电路uL(0+)iL(0+)+–30R3R215Lt=0+的电路iL(0+)=iL(0-)=1.2AuL(0+)=

–

iL(0+)(R2+R3)=

–54V可见uL(0+)uL(0–)换路瞬间仅iL不能跃变,电感两端的电压uL是可以跃变的，所以不必求uL(0-)。

本节讨论在直流电源激励下只含有一个电容元件的一阶RC电路的响应。2.2RC电路的响应2.2.1RC电路的零输入响应SCRt=0–

+USab–

+uR–

+uCi根据KVL即∵故有

图中，开关S合于a，当电容上电压充电到U0时，将S由a合向b即uC(0–)=U0

输入信号为零，由电容元件的初始状态uC(0+)

所产生的响应称为零输入响应，它是电容的放电过程。uC

=Ae

st上式的通解为指数函数，即由特征方程RCS+1=0得S=–1/RC

通解uC

=Ae

–t/RC

确定积分常数，由换路定律uC(0+)=uC(0–)=U0

得A=U0=uC(0+)所以uC

=U0e–t/RC=uC(0+)

e

–t/RC

uR

=–uC

=–U0e

–t/RC

2.2.1RC电路的零输入响应SCRt=0–

+USab–

+uR–

+uCiotU0–U0uCuRi变化曲线

在零输入响应电路中，各部分电压和电流都是由初始值按同一指数规律衰减到零。时间常数=RC

称为RC电路的时间常数S单位

时间常数等于电压uC衰减到初始值U0的36.8%所需的时间。uC()=0.368U02.2.1RC电路的零输入响应

uC

=U0e–t/

Ft

e

-t/

23456

e

–1

e

–2

e

–3

e–4

e

–5

e–60.3680.1350.050.0180.0070.002

从理论上讲,电路只有经过t=的时间才能达到稳定。由上表可以看出t=5时，uC已衰减到0.7%U0，所以,工程上通常认为在t≥(4~5)以后，暂态过程已经结束。uCotU00.368U01233>2>1

电压uC衰减的快慢决定于电路的时间常数,时间常数越大，uC衰减(电容器放电)越慢。uC

=

U0e

–t/RC

2.2.1RC电路的零输入响应

换路前电容的初始储能为零,即uC(0–)=0，电路中的响应由外加激励产生，称这种响应为RC电路的零状态响应。它是电容的充电过程。2.2.2RC电路的零状态响应把得

开关S合于b，当电容放电完毕t=0时，将S由b合向a，uC(0–)=0SCRt=0–

+USab–

+uR–

+uCi代入上式SCRt=0–

+USab–

+uR–

+uCi

根据KVL，列出t≥0时电路的微分方程(1)特解通解2.2.2RC电路的零状态响应SCRt=0–

+USab–

+uR–

+uCi(1)特解通解应满足应满足式(1)的完全解为根据uC(0+)=uC(0–)=0，可确定积分常数A=–US

uC=US–USe–t/RC

=US(1–e–t/)时间常数=RC当t=时，uC=63.2%Us2.2.2RC电路的零状态响应SCRt=0–

+USab–

+uR–

+uCi(1)uC=US–USe

–t/RC

=US(1–e–t/)时间常数=RC充电电流电阻电压uCUSt0uuRuC、uR的变化曲线i的变化曲线it0US

由上表可以看出，同样可认为t≥(4~5)以后暂态过程已经结束。2.2.2RC电路的零状态响应uC=US(1–e–t/)2345t

1–

e–t/

1–e–1

1–e–2

1–e–3

1–e–4

1–e–5

0.6320.8650.950.9820.993

[例]下图所示电路中，R=5，C=2F，IS=10A，uC(0)=0，开关S在t=0时打开。试求(1)电路的时间常数；(2)电容上的电压uC和iC；(3)最大充电电流；(4)画出uC和iC随时间变化曲线；(5)经过多少时间uC=43.25V?[解]

由于uC(0+)=uC(0)=0，故本例为直流激励下RC电路的零状态响应。ISSRC–

+uCt=0iCiR换路后再经电源等效变换后的电路为USR0C–

+uCiC–

+

(1)电路的时间常数=R0C=52=10S(2)电容上的电压uC和iCUS=ISR=105=50VR0=R=5uC=US(1–e–t/)=50(1–e–0.1t)V

解法1[例]下图所示电路中，R=5，C=2F，IS=10A，uC(0)=0，开关S在t=0时打开。试求(1)电路的时间常数；(2)电容上的电压uC和iC；(3)最大充电电流；(4)画出uC和iC随时间变化曲线；(5)经过多少时间uC=43.25V?[解]ISSRC–

+uCt=0iCiRUSR0C–

+uCiC–

+

(3)最大充电电流(4)uC和iC随时间变化曲线

(5)设经过t秒uC=43.25V

iC(max)=iC(0+)=10AuC(V)t(S)050i(A)010t(S)解43.2=50(1–e–0.1t)V,得

t=20S[例]下图所示电路中，R=5，C=2F，IS=10A，uC(0)=0，开关S在t=0时打开。试求(1)电路的时间常数；(2)电容上的电压uC和iC；(3)最大充电电流；(4)画出uC和iC随时间变化曲线；(5)经过多少时间uC=43.25V?[解]ISSRC–

+uCt=0iCiR解法2应用KCL列出换路后结点电流方程式把代入上式，得解此微分方程，即可得到解答。

全响应是指外加激励和电容初始电压uC(0+)均不为零时电路的响应，也就是零输入响应和零状态响应的叠加。

图中，若开关S合于b时，电路已处于稳态,则uC(0–)=U02.2.3RC电路的全响应SCRt=0–

+USab–

+uR–

+uCi–

+U0上式和式(1)完全相同uC(0+)=uC(0–)=U0t=0+时,U0=US+Ae0积分常数A=U0–US

故电路中的电流式中=RCt=0时，将S由b合向a，t≥0时电路的微分方程为2.2.3RC电路的全响应SCRt=0–

+USab–

+uR–

+uCi–

+U0uC(0+)=uC(0–)=U0全响应暂态分量稳态分量或者写成全响应

=零输入响应+零状态响应uCt0U1U2U0当US=U1>U0时，换路后i>0,电容充电;当US=U2<U0时，换路后i<0,电容放电;当US=U3=U0时，换路后i=0,电路中无暂态过程发生。[例]图中，开关S闭合前电路已处于稳态。已知U=10V，

R1=R2=R3=10，

C=100μF，开关S在t=0时闭合。求t≥时电容电压uC和电流i

。[解]USR3C–

+uCt=0i–

+R1R2

把已知电路图中开关S闭合后除电容C以外的有源二端网络用戴维宁等效电路代替USR0C–

+uCi–

+其中[例]图中，开关S闭合前电路已处于稳态。已知U=10V，

R1=R2=R3=10，

C=100μF，开关S在t=0时闭合。求t≥时电容电压uC和电流i

。[解]USR3C–

+uCt=0i–

+R1R2USR0C–

+uCi–

+用叠加法求uC全响应

=零输入响应+零状态响应根据换路定律其中=R0C=5100106=5104SiL(0+)=iL(0)=I0S在t=0时打开，由换路定律，有根据KVL，换路后有uR+uL=0设开关S打开前电路已处于稳态2.3RL电路的响应2.3.1RL电路的零输入响应Rt=0–

+US–

+uR–

+uLiLLSR把代入上式，得iL

=Ae

st特征方程LS+R=0通解

故特征根积分常数A=I0电流时间常数HSR应理解为从电感两端看进去所有电源都不作用时的等效电阻2.3RL电路的响应2.3.1RL电路的零输入响应Rt=0–

+US–

+uR–

+uLiLLSR电流电阻电压电感电压

电路外加激励为零，响应仅由电感初始储能引起，称为RL电路的零输入响应。

在零输入响应电路中，各部分电压和电流都是由初始值按同一指数规律衰减到零。

在换路瞬间只有电感的电流不能突变，而其两端的电压则由零跳变到US。0tUSuRUSuLiLI0iL(0+)=iL(0)=0根据换路定律2.3.2RL电路的零状态响应通解Rt=0–

+US–

+uR–

+uLiLLSab

换路前电感的初始储能为零,即iL(0–)=0，电路中的响应由外加激励产生，称这种响应为RL电路的零状态响应。

开关S由b合于a之前，电感中的电流为零。t=0时，将S由b合向a

根据KVL，列出t≥0时电路的微分方程特解在t=0时，有得式中电感电流2.3.2RL电路的零状态响应Rt=0–

+US–

+uR–

+uLiLLSab电感电流电感两端电压电阻两端电压uLuRiL、uL、uR的变化曲线iLt0t0US[例2]下图所示电路中,已知：R1=R2=1k，L1=15mH

，

L2=L3=10mH

，(设线圈间无互感)电流源I=10mA,开关S闭合前,各电感均未储有能量,试求:t≥

0时的电流i。t=0SiIR1R2L1L2L3[解]等效电感L=

L1+———L2L3L2+L3=20mH将电流源与R1并联的电路变换为电压源E=R1I=10VR0=R1=1kt=0SiR0R2L+–E由等效电路可得出电路的时间常数

=

———LR0+R2=10si

=———(1–

e–—)

tER0+R2=5(1–

e

-10t

)

mA5ti50i/mA等效电路i

(0+)=0i

()=ER0+R2=5mAiL(0+)=iL(0)=I0根据换路定律2.3.3RL电路的全响应

电路换路后的微分方程为式中电感电流USSt=0–

+RR–

+uR+uLiLL–

设t<0时，iL(0-)=I0。在t=0时，将开关S闭合，则t≥0时电路的响应即为全响应。显然积分常数电感电压2.3.3RL电路的全响应式中电感电流USSt=0–

+RR–

+uR+uLiLL–

电路的全响应也可用叠加原理分析全响应=零输入响应+零状态响应

设t<0时，iL(0-)=I0。在t=0时，将开关S闭合，则t≥0时电路的响应即为全响应。USSt=0–

+R+uViL–

V[例]图中所示电路为他励电动机激磁回路的电路模型。设电阻R=80

，L=1.5H，电源电压US=40V，电压表量程为50V，内阻RV=50k。开关S在未打开前电路已处于稳态，在

t=0时打开S。求(1)S打开后RL电路的时间常数;(2)电流i

和电压表两端的电压uV；(3)S打开时，电压表所承受的电压。[解]（1）时间常数i(0+)=i(0)=0.5A(2)(3)

注意在线圈与电源断开之前，应将与之并联的测量仪表从电路中取走。

下图所示电感线圈电路,如果线圈的电感L很大,开关S在电路达到稳态时断开时会产生什么后果?应如何解决?在S断开瞬间电流变化率很大,使eL很大,这个感应电动势可能使开关两触点之间的空气击穿造成电弧,开关触点被烧坏。为了防止这种现象发生，用续流二极管D,使电流(或磁能)通过二极管D逐渐减小。续流二极管USSt=0–

+r+eABiL–

AB讨论题:S断开前断开S[f(0+)–f

()]是暂态分量=RC

或R为换路后以储能元件两端为端口的除源二端网络的等效电阻(即电压源短路电流源开路)。2.4三要素法稳态值初始值时间常数待求的电压或电流一阶电路在直流激励下电压或电流的完全解可表示为

在一阶电路中,只要求出待求量的稳态值、初始值和时间常数这三个要素，就可以写出暂态过程的解。[例1]在下图中，已知U1=3V，U2=6V，R1=1k

R2=2k，C=3F

，t<0时电路已处于稳态。用三要素法求t≥0时的uC(t),并画出变化曲线。[解]先确定uC(0+)uC()和时间常数

R2R1–

U1C–

+1+uCU2–

+t<0时电路已处于稳态，意味着电容相当于开路。2t=0S[例1]在下图中，已知U1=3V，U2=6V，R1=1k

R2=2k，C=3F

，t<0时电路已处于稳态。用三要素法求t≥0时的uC(t),并画出变化曲线。[解]先确定uC(0+)

uC()和时间常数

R2–

U1C–

+1+uCU2–

+2t=0SR1t(S)uC(V)402uC(t)变化曲线[例2]图中t=0时开关S由a投向b。设换路前电路已达稳态。求t≥0电路中电流i(t)和iL(t)，并画出它们随时间变化的曲线。[解]用三要素法解此题（1）求iL(0+)及i(0+)

换路前电路已达稳态，电感相当于短路。根据换路定律iL(0+)=iL(0)=S1t=0+

3ViL3Hab12–

+3Vit=(0)的等效电路(0)[例2]图中t=0时开关S由a投向b。设换路前电路已达稳态。求t≥0电路中电流i(t)和iL(t)，并画出它们随时间变化的曲线。[解]用三要素法解此题（1）求iL(0+)及i(0+)根据换路定律

iL(0+)=iL(0)=S1t=0+

3ViL3Hab12–

+3Vit=(0+)的等效电路(0+)i2(0+)(0+)i由KCL，有

i2(0+)=i(0+)iL(0+)

左回路的KVL方程式为[例2]图中t=0时开关S由a投向b。设换路前电路已达稳态。求t≥0电路中电流i(t)和iL(t)，并画出它们随时间变化的曲线。[解]（2）求iL(∞)及i(∞)S1t=0+

3ViL3Hab12–

+3Vit=(∞)的等效电路(∞)i2(∞)(∞)i由电阻并联的分流公式可求得（3）求时间常数S1t=0iL3Hab12–

+3ViR0[例2]图中t=0时开关S由a投向b。设换路前电路已达稳态。求t≥0电路中电流i(t)和iL(t)，并画出它们随时间变化的曲线。[解]S1t=0+

3ViL3Hab12–

+3Vi把结果代入三要素法公式9/56/5t/Si

/A01/5-6/5iiLt=0–

+UiLR1R2128220V0.6H[例3]图中，如在稳定状态下R1被短路，试问短路后经过多少时间电流才达到15A？（1）确定i(0+)[解]先应用三要素法求电流i（3）确定时间常数（2）确定i()t=0–

+UiLR1R2128220V0.6H[例3]图中，如在稳定状态下R1被短路，试问短路后经过多少时间电流才达到15A？[解]根据三要素法公式当电流到达15A时所经过的时间为t=0.039S例4所示电路，当t<0时电路处于稳态，在t=0时开关S打开。求

1.t≥0时电容电压uC(t)，vA(t)，vB(t)；

2.画出它们的曲线。BA-6V6V10kΩ5kΩ25kΩ100pF+_SBA-6V6V10kΩ5kΩ25kΩ100pF+_S解：易知BA-6V6V10kΩ5kΩ25kΩ100pF+_S打开后的电路为t≥0时，B点电位如下余下内容请在课后完成[例5]下图所示电路中，开关S闭合前,电路已处于稳态，C=10F,t=0时，将开关S闭合，经0.4ms再将S打开，试求

t≥0时的uC(t),画出变化曲线。30Rr_+_+S60RE=90VCuCr[解](2)uC(0.4ms)

=30(1+e1

)=41V

uC()=———=30VR+rRE–

rE=2(Rr)C=0.4msuC(t)=30(1+e2500t

)V(0≤t≤0.4ms)即为第二个暂态过程的初始值uC(t)=uC()+[uC(0+)–uC()]e

-t/

(1)uC(0+)=

uC(0–

)=

=

60VR+rRE'=(r+R//r)C=0.5ms=60–19e

-2000t+0.8VuC()=60V(0.4ms≤

t≤)变化曲线30Rr_+_+S60RE=90VCuCr3060410.4t/ms0uC/V

当电路比较复杂时，可以用戴维南定理将换路后的电路化简为一个单回路电路，（将电路中除储能元件以外的部分化简为戴维南等效电路，再将储能元件接上），然后利用三要素法求解。[例]下图所示电路中，已知：R1=3k，R2=6k，

C1=40

µF，C2=C3=20

µF

，U=12V,开关S闭合前,电路已处于稳态。试求:t≥

0时的电压uC

。–

UC1–

++uCt=0SR1R2C2C3[解]C2和C3并联后再与C1串联，其等效电容为[例]下图所示电路中，已知：R1=3k，R2=6k，

C1=40

µF，C2=C3=20

µF

，U=12V,开关S闭合前,电路已处于稳态，试求:t≥

0时的电压uC

。–

UC1–

++uCt=0SR1R2C2C3