2017-2018版高中数学第一章数列4数列在日常经济生活中的应用学案5

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE12学必求其心得，业必贵于专精PAGE4数列在日常经济生活中的应用学习目标1.能够利用等差数列、等比数列解决一些实际问题。2.了解“零存整取",“定期自动转存”及“分期付款”等日常经济行为的含义．知识点一单利、复利思考1第一月月初存入1000元，月利率0。3％，按单利计息，则每个月所得利息是否相同？思考2第一月月初存入1000元,月利率0.3%，按复利计息，则每个月所得利息是否相同？梳理一般地,(1)单利是指：仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息．利息按单利计算,本金为a元，每期利率为r，存期为x,则本利和为________．（2)复利是指把上期末的本利和作为下一期的本金，在计算时每一期的本金是不同的．利息按复利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和________．知识点二数列应用问题的常见模型1．整存整取定期储蓄一次存入本金金额为A,存期为n,每期利率为p,到期本息合计为an,则______________．其本质是等差数列已知首项和公差求第n项问题．2．定期存入零存整取储蓄每期初存入金额A，连存n次，每期利率为p，则到第n期末时，应得到本息合计为:________________。其本质为已知首项和公差，求前n项和问题．3．分期付款问题贷款a元，分m个月将款全部付清，月利率为r，各月所付款额和贷款均以相同利率以复利计算到贷款全部还清为止．其本质是贷款按复利整存整取，还款按复利零存整取，到贷款全部还清时，贷款本利合计＝还款本利合计．类型一等差数列模型例1第一年年初存入银行1000元，年利率为0.72%,那么按照单利，第5年末的本利和为________元．反思与感悟把实际问题转化为数列模型时，一定要定义好数列，并确认该数列的基本量包括首项，公比（差),项数等．跟踪训练1一同学在电脑中按a1＝1，an＝an－1＋n（n≥2）编制一个程序生成若干个实心圆(an表示第n次生成的实心圆的个数），并在每次生成后插入一个空心圆，当某次生成的实心圆个数达到2016时终止，则此时空心圆个数为(）A．445 B．64C．63 D．62类型二等比数列模型例2现存入银行8万元,年利率为2。50%，若采用1年期自动转存业务，则5年末的本利和是________万元．反思与感悟在建立模型时，如果一时搞不清数列的递推模式，可以先依次计算前几项,从中寻找规律．跟踪训练2银行一年定期储蓄存款年息为r，按复利计算利息；三年定期储蓄存款年息为q，按单利计算利息．银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么q的值应大于________________．类型三分期付款例3用分期付款的方式购买价格为25万元的住房一套,如果购买时先付5万元，以后每年付2万元加上欠款利息．签订购房合同后1年付款一次,再过1年又付款一次，直到还完后为止，商定年利率为10％,则第5年该付多少元?购房款全部付清后实际共付多少元?反思与感悟建立模型离不开准确理解实际问题的运行规则．不易理解时就先试行规则，从中观察归纳找到规律．跟踪训练3某企业在今年年初贷款a万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计5年还清，则每年应偿还（）A.eq\f(a1＋γ,1＋γ5－1)万元 B.eq\f(aγ1＋γ5，1＋γ5－1)万元C。eq\f(aγ1＋γ5,1＋γ4－1)万元 D.eq\f(aγ，1＋γ5）万元1．一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天它飞出去找回了5个小伙伴；第2天,6只蜜蜂飞出去,各自找回了5个伙伴，…，如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂（）A．65只 B．66只C．216只 D．36只2．某种细胞开始时有2个，1小时后分裂成4个并死去1个,2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，……，按照这种规律进行下去，6小时后细胞的存活数是(）A．32 B．31C．64 D．653．一群羊中，每只羊的重量数均为整千克数，其总重量为65千克，已知最轻的一只羊重7千克，除去一只10千克的羊外,其余各只羊的千克数恰构成一等差数列，则这群羊共有()A．6只 B．5只C．8只 D．7只1．数列应用问题的常见模型（1)一般地，如果增加(或减少)的量是一个固定的具体量时，那么该模型是等差模型，增加（或减少）的量就是公差，其一般形式是:an＋1－an＝d（d为常数）．（2）如果增加(或减少)的百分比是一个固定的数时，那么该模型是等比模型．（3）如果容易找到该数列任意一项an＋1与它的前一项an（或前几项)间的递推关系式,那么我们可以用递推数列的知识求解问题。2．数列综合应用题的解题步骤(1)审题—-弄清题意，分析涉及哪些数学内容，在每个数学内容中，各是什么问题。(2)分解-—把整个大题分解成几个小题或几个“步骤”,每个小题或每个小“步骤”分别是数列问题、函数问题、解析几何问题、不等式问题等．（3)求解——分别求解这些小题或这些小“步骤”，从而得到整个问题的解答．(4)还原——将所求结果还原到实际问题中．

答案精析问题导学知识点一思考1按单利计息,上一个月的利息在下一个月不再计算利息，故每个月所得利息是一样的．思考2不同．因为按复利计息，上一个月的本金和利息就成为下一个月的本金，所以每个月的利息是递增的．梳理(1）a（1＋rx）（2）a(1＋r)x知识点二1．an＝A（1＋np)2．nA＋eq\f(nn＋1,2）Ap题型探究例11036解析设各年末的本利和为｛an｝，由an＝a（1＋nr)，其中a＝1000,r＝0。72%，∴a5＝1000×(1＋5×0.72％）＝1036(元）．即第5年末的本利和为1036元．跟踪训练1C［由题意可得：a1＝1,a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，…an－an－1＝n，将上式相加，可得an＝1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1，2），令eq\f（nn＋1,2)＝2016,解得n＝63，由题意可得，空心圆为63个，故选C。］例28×1.0255解析定期自动转存属于复利问题，设第n年末本利和为an,则a1＝8＋8×0。025＝8×（1＋0.025），a2＝a1＋a1×0。025＝8×(1＋0.025）2，a3＝a2＋a2×0.025＝8×(1＋0。025)3,∴a5＝8×(1＋0.025)5，即5年末的本利和是8×1。0255.跟踪训练2eq\f（1，3)[（1＋r)3－1］解析设储户开始存入的款数为a，由题意得，a（1＋3q）〉a（1＋r）3，∴q>eq\f(1,3)［(1＋r)3－1］．例3解购买时先付5万元,余款20万元按题意分10次分期还清,每次付款数组成数列{an｝，则a1＝2＋(25－5)·10％＝4(万元)；a2＝2＋(25－5－2）·10％＝3.8（万元）；a3＝2＋(25－5－2×2)·10%＝3.6（万元)，…，an＝2＋［25－5－（n－1)·2]·10％＝（4－eq\f（n－1,5)）（万元)(n＝1，2，…，10)．因而数列{an}是首项为4,公差为－eq\f（1，5）的等差数列．a5＝4－eq\f(5－1，5)＝3。2(万元)．S10＝10×4＋eq\f(10×10－1×－\f(1,5）,2）＝31(万元）．因此第5年该付3.2万元，购房款全部付清后实际共付36万元．跟踪训练3B［根据已知条件知本题属于分期付款问题，设每年应偿还x万元，则x［（1＋γ)4＋（1＋γ)3＋…＋1]＝a（1＋γ）