第3讲MATLAB数值计算

Matlab数值计算

基础功能内容向量（一维矩阵）矩阵数组多项式一、向量输入及其运算向量的生成：直接输入

向量元素用[]括起来

行向量：元素之间用空格或逗号分隔

列向量：元素之间用分号分隔用冒号表达式生成

格式：X=X0:step:Xn

step缺省则默认为1线性等分向量的生成

格式：y=linspace(x1,x2,n)

生成n维行向量，y(1)=x1、y(n)=x(2)

若n缺省，则默认n=100对数等分向量的生成

格式：y=logspace(x1,x2,n)

生成n维行向量，y(1)=10^x1、y(n)=10^x(2)

若n缺省，则默认n=50向量的运算加、减、数乘点积dot(a,b)，a、b必须同维叉积cross(a,b)，a、b为三维向量两个三维向量的叉积等于一个新的向量，该向量与前两者垂直，且长度为前两者张成的平行四边形面积；混合积dot(a,cross(b,c))以a，b，c为棱的平行六面体的体积二、MATLAB矩阵2.1矩阵的建立

1.直接输入法将矩阵的元素用方括号括起来，按矩阵行的顺序输入各元素，同一行的各元素之间用空格或逗号分隔，不同行的元素之间用分号分隔。例如

A=[123;456;789]

2.利用M文件建立矩阵对于比较大且比较复杂的矩阵，可以为它专门建立一个M文件。

例

利用M文件建立MYMAT矩阵。

(1)启动有关编辑程序或MATLAB文本编辑器，并输入待建矩阵.(2)把输入的内容以纯文本方式存盘(设文件名为mymatrix.m)。

(3)运行该M文件，就会自动建立一个名为MYMAT的矩阵，可供以后使用。

3.利用MATLAB函数建立特殊矩阵几个产生常用特殊矩阵的函数：全零阵zeros、全一阵ones、单位阵eye、均匀分布随机阵rand、正态分布随机阵randn。这几个函数的调用格式相似，下面以产生零矩阵的zeros函数为例进行说明。其调用格式是：

zeros(m)产生m×m零矩阵

zeros(m,n)产生m×n零矩阵。

zeros(size(A))产生与矩阵A同样大小的零矩阵

例分别建立3×3、3×2和与矩阵A同样大小的零矩阵。(1)建立一个3×3零矩阵：zeros(3)(2)建立一个3×2零矩阵：zeros(3,2)(3)建立与矩阵A同样大小零矩阵：zeros(size(A))

此外，常用的函数还有reshape(A,m,n)，它在矩阵总元素保持不变的前提下，将矩阵A重新排成m×n的二维矩阵。

例产生5阶随机方阵A，其元素为[10,90]区间的随机整数，然后判断A的元素是否能被3整除。

(1)生成5阶随机方阵A。

A=fix((90-10+1)*rand(5)+10)(2)判断A的元素是否可以被3整除。

P=rem(A,3)==0其他特殊矩阵函数希尔伯特矩阵hilb(n)希尔伯特矩阵的逆矩阵invhilb(n)托普利兹矩阵toeplitz(k,r)、toeplitz(c)友矩阵compan(p)生成多项式p的友矩阵，也就是他的特征多项式是p；hadamard(k)生成hadamard矩阵hankel函数，生成hankel矩阵magic(n)，生成n×n的魔方矩阵pascal函数，生成pascal矩阵rosser，给出Rosser矩阵vander(x)，给出向量x的范德蒙矩阵wilkinson(n)，给出Wilkinson特征值测试矩阵

4.建立大矩阵大矩阵可由方括号中的小矩阵建立起来。例如

A=[123;456;789];C=[A,eye(size(A));ones(size(A)),A]

2.2矩阵的拆分1.矩阵元素MATLAB允许用户对一个矩阵的单个元素进行赋值和操作。例如

A(3,2)=200也可以采用矩阵元素的序号来引用矩阵元素。

2.矩阵拆分

(1)利用冒号表达式获得子矩阵①A(:,j)表示取A矩阵的第j列全部元素；A(i,:)表示A矩阵第i行的全部元素；A(i,j)表示取A矩阵第i行、第j列的元素。②A(i:i+m,:)表示取A矩阵第i～i+m行的全部元素；A(:,k:k+m)表示取A矩阵第k～k+m列的全部元素，A(i:i+m,k:k+m)表示取A矩阵第i～i+m行内，并在第k～k+m列中的所有元素。此外，还可利用一般向量和end运算符等来表示矩阵下标，从而获得子矩阵。end表示某一维的末尾元素下标。如a(1,end)

(2)利用空矩阵删除矩阵的元素在MATLAB中，定义[]为空矩阵。给变量X赋空矩阵的语句为X=[]。注意，X=[]与clearX不同，clear是将X从工作空间中删除，而空矩阵则存在于工作空间，只是维数为0。

2.3多维矩阵以三维矩阵为例，常用的方法有4种：(1)对二维矩阵进行扩充得到三维矩阵。(2)若干个同样大小的二维矩阵进行组合得到三维矩阵。(3)除产生单位矩阵的eye函数外，前面介绍的建立矩阵的函数都可以延伸到三维矩阵。(4)用cat函数构建多维矩阵。一般调用格式是：

cat(n,A1,A2,…,An)cat函数把大小相同的若干矩阵，沿第n维方向串接成高维矩阵。当n=1和2时，沿行和列的方向串接，结果是二维矩阵。当n=3时，沿页的方向串接，结果是三维矩阵。

2.4矩阵的运算2.4.1基本算术运算

1.四则运算等

MATLAB的基本算术运算有：＋(加)、－(减)、*(乘)、/(右除)、\(左除)、^(乘方)。几点说明：1）加减运算与数字运算格式相同，要求两矩阵是同阶的；

2）乘法要求两矩阵有相邻公共维；

3）用矩阵除法求解方程组Ax=b，A是(n×m）阶矩阵讨论A的情况：n=m且非奇异，称恰定方程；n>m，超定方程，没有精确解，matlab使用最小二乘法来求解，来找到一个向量x使它对n个方程的总误差最小；方法：A\b如果b是矩阵B，则对B中的每一列相应的方程组求解

nnls(A,b)求非负的最小二乘解

lscov(A,b,v)求在已知协方差v的情况下的最小二乘解n<m，欠定方程，方程组有无穷多解，matlab在求解时给出一组解，无警告信息。2矩阵与常数间的运算常数与矩阵的各元素间进行运算，当作除法时，常数只能做除数。3矩阵的逆运算

inv命令4矩阵的行列式运算

det函数

3矩阵的逆运算

inv命令4矩阵的行列式运算

det函数5矩阵的幂运算

^算符6矩阵的指数运算

expm(X)常用矩阵指数函数

expm1(X)Pade法求矩阵指数

expm2(X)Taylor法求矩阵指数

expm3(X)特征值分解法求矩阵指数

7矩阵的对数运算

logm(A)8矩阵开方运算

sqrtm函数2.4.2矩阵的函数运算特征向量、特征值计算函数

eig、eigs奇异值函数

svd、svds条件数函数

cond、condest、rcond特征值的条件数

condeig范数函数

norm、normest秩函数

rank迹函数

trace

举例：1.矩阵的逆求一个矩阵的逆非常容易。求方阵A的逆可调用函数inv(A)。例用求逆矩阵的方法解线性方程组。x1+2x2+3x3=5x1+4x2+9x3=-2x1+8x2+27x3=6命令如下：A=[1,2,3;1,4,9;1,8,27];b=[5,–2,6]';x=inv(A)*b

一般情况下，用左除比求矩阵的逆的方法更有效，即x=A\b。

2矩阵的秩

一个向量组的极大线形无关组的个数。MATLAB中，求矩阵秩的函数是rank(A)。例如，求例5.7中方程组系数矩阵D的秩，命令是：D=[2,2,-1,1;4,3,-1,2;8,5,-3,4;3,3,-2,2];r=rank(D)r=4说明D是一个满秩矩阵。

3向量和矩阵的范数1.计算向量3种常用范数的函数(1)norm(V)或norm(V,2)计算向量V的2—范数(2)norm(V,1)计算向量V的1—范数(3)norm(V,inf)计算向量V的∞—范数

1-范数:║x║1=│x1│+│x2│+…+│xn│

2-范数:║x║2=(│x1│^2+│x2│^2+…+│xn│^2)^1/2

∞-范数:║x║∞=max(│x1│,│x2│,…,│xn│)

V=[-1,1/2,1];v1=norm(V,1)%求V的1—范数v2=norm(V)%求V的2—范数vinf=norm(V,inf)%求∞—范数

2.矩阵的范数及其计算函数MATLAB中提供了求3种矩阵范数的函数，其函数调用格式与求向量的范数的函数完全相同(含义请参见MATLABhelp)A=[17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13,0,22;10,12,19,21,3;11,18,25,2,19];a1=norm(A,1)%求A的1—范数a2=norm(A)%求A的2—范数ainf=norm(A,inf)%求A的∞—范数

4矩阵的条件数和迹1.矩阵的条件数

用矩阵及其逆矩阵的范数的乘积表示矩阵的条件数，矩阵条件数的大小是衡量矩阵“坏”或“好”的标志。

条件数大的矩阵称为“坏矩阵”或“病态矩阵”。MATLAB中，计算矩阵A的3种条件数的函数是：(1)cond(A,1)计算A的1—范数下的条件数(2)cond(A)或cond(A,2)计算A的2—范数数下的条件数(3)cond(A,inf)计算A的∞—范数下的条件数A=[2,2,3;4,5,-6;7,8,9];C1=cond(A,1)C2=cond(A)C3=cond(A,inf)

2.矩阵的迹方阵对角元素之和。MATLAB中，求矩阵的迹的函数是trace(A)。例如，X=[223;45-6;789];trace(X)ans=16MATLAB在三维向量中的应用1.向量共线或共面的判断例设X=(1，1，1)，Y=(-1，2，1)，Z=(2，2，2)，判断这三个向量的共线共面问题。命令如下：X=[1,1,1];Y=[-1,2,1];Z=[2,2,2];XY=[X;Y];YZ=[Y;Z];ZX=[Z;X];XYZ=[X;Y;Z];rank(XY)rank(YZ)rank(ZX)rank(XYZ)

2.向量方向余弦的计算例设向量V=(5，-3，2)，求V的方向余弦。建立一个函数文件direct.m：functionf=f(v)r=norm(v);ifr==0f=0elsef=[v(1)/r,v(2)/r,v(3)/r];endreturn在MATLAB命令窗口，输入命令：v=[5,-3,2];f=direct(v)

3.向量的夹角例设U=(1，0，0)，V=(0，1，0)，求U,V间的夹角θ。命令如下：U=[1,0,0];V=[0,1,0];r1=norm(U);r2=norm(V);UV=U*V';cosd=UV/r1/r2;D=acos(cosd)4.两点间的距离例设U=(1，0，0)，V=(0，1，0)，求U、V两点间的距离。命令如下：U=[1,0,0];V=[0,1,0];UV=U-V;D=norm(UV)

5.向量的向量积例设U=(2，-3，1)，V=(3，0，4)，求U×V。命令如下：U=[2,-3,1];V=[3,0,4];W=eye(3);A1=[W(1,:);U;V];A2=[W(2,:);U;V];A3=[W(3,:);U;V];UV=[det(A1),det(A2),det(A3)]UV=-12-596.向量的混合积例设U=(0，0，2)，V=(3，0，5)，W=(1，1，0)，求以这三个向量构成的六面体的体积。命令如下：U=[0,0,2];V=[3,0,5];W=[1,1,0];A=[U;V;W];det(A)ans=67.点到平面的距离例求原点到平面X+Y+Z=1的距离。命令如下：u=[0,0,0];v=[1,1,1];%A=B=C=1,u1=u2=u3=0,D=-1r=abs(u*v'-1)/norm(v,2)r=0.57742.4.3矩阵分解函数特征值分解函数eig复数特征值对角阵与实数块特征值对角阵地转化cdf2rdf、rsf2csf奇异值分解svdLU分解[L,U]=lu(A)将方阵A分解为交换下三角矩阵L和上三角矩阵U，使A=LU[L,U,P]=lu(A)将方阵A分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U，使PA=LUChol分解cholQR分解（正规正交矩阵Q与上三角形矩阵R）

[Q,R]=qr(A)，根据方阵A，求一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R，使A=Q*R

例如，对矩阵A进行QR分解的命令是：

A=[2,1,-2;1,2,1;2,5,3];[Q,R]=qr(A)例：A=[2,1,4,6;1,2,1,5;4,1,3,4;6,5,4,2];[Q,D]=eig(A)Q*D*Q'ans=2.00001.00004.00006.00001.00002.00001.00005.00004.00001.00003.00004.00006.00005.00004.00002.0000结果与A相等，说明确实将A分解为了QDQ'的乘积。1、对角阵与三角阵矩阵的对角元素(1)提取矩阵的对角线元素设A为m×n矩阵，diag(A)函数用于提取矩阵A主对角线元素产生一个具有min(m,n)个元素的列向量。

diag(A,k)，其功能是提取第k条对角线的元素。(2)构造对角矩阵设V为具有m个元素的向量，diag(V)将产生一个m×m对角矩阵，其主对角线元素即为向量V的元素。

diag(V,k)，其功能是产生一个对角阵，其第k条对角线的元素即为向量V的元素。2.4.4矩阵的一些操作

例先建立5×5矩阵A，然后将A的第1行元素乘以1，第2行乘以2，…，第5行乘以5。命令如下：A=[17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13,0,22;10,12,19,21,3;11,18,25,2,19];D=diag([1,2,3,4,5]);D*A

矩阵的三角阵

(1)下三角矩阵求矩阵A的下三角阵的MATLAB函数是tril(A)。

tril(A)函数也有更进一步的一种形式tril(A,k)，其功能是求矩阵A的第k条对角线以下的元素。

(2)上三角矩阵在MATLAB中，提取矩阵A的上三角矩阵的函数是triu(A)和triu(A,k)，其用法与提取下三角矩阵的函数tril(A)和tril(A,k)完全相同。2、矩阵变向1.矩阵的转置转置运算符是单撇号(‘)2.矩阵的旋转

rot90(A,k)，功能是将矩阵A逆时针方向旋转90º的k倍当k为1时可省略3.矩阵的左右翻转

fliplr(A)4.矩阵的上下翻转

flipud(A)5.第dim维翻转

flipdim(A,dim)3、变维（1）reshape(x,m,n)，将矩阵x变成m*n阶（2）“：”符号例如：c(:)=a(:)

两个矩阵必须预先定义维数三、矩阵的数组运算

在matlab中，数组的建立、存储与矩阵相同，只是在计算时符号不同。数组间的