2017-2018版高中数学第一章数列2.1等差数列(二)学案5VIP

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE14学必求其心得，业必贵于专精PAGE2。1等差数列(二）学习目标1。能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质。2.能运用等差数列的性质解决有关问题．知识点一等差数列通项公式的推广思考1已知等差数列{an}的首项a1和公差d能表示出通项an＝a1＋（n－1)d,如果已知第m项am和公差d，又如何表示通项an？思考2由思考1可得d＝eq\f（an－a1,n－1)，d＝eq\f（an－am，n－m），你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗？梳理等差数列{an}中，若公差为d，则an＝am＋（n－m）d，当n≠m时，d＝eq\f(an－am，n－m).知识点二等差数列的性质思考还记得高斯怎么计算1＋2＋3＋…＋100的吗?推广到一般的等差数列，你有什么猜想？梳理在等差数列｛an｝中,若m＋n＝p＋q（m,n，p，q∈N＋），则am＋________＝ap＋________。特别地,若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.知识点三由等差数列衍生的新数列思考若{an｝是公差为d的等差数列,那么｛an＋an＋2｝是等差数列吗？若是，公差是多少？梳理若{an｝，｛bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有数列结论{c＋an}公差为d的等差数列（c为任一常数)｛c·an｝公差为cd的等差数列(c为任一常数）{an＋an＋k}公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N＋）{pan＋qbn}公差为pd＋qd′的等差数列（p，q为常数）类型一等差数列推广通项公式的应用例1在等差数列{an｝中，已知a2＝5,a8＝17,求数列的公差及通项公式．反思与感悟灵活利用等差数列的性质,可以减少运算．跟踪训练1数列｛an｝的首项为3，｛bn}为等差数列，且bn＝an＋1－an（n∈N＋），若b3＝－2，b10＝12，则a8等于（）A．0B．3C．8D．11类型二等差数列与一次函数的关系例2已知数列｛an}的通项公式an＝pn＋q,其中p，q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗?若是，首项和公差分别是多少？反思与感悟判断一个数列是不是等差数列的常用方法：（1)从递推公式上看，an＋1－an＝d(d为常数，n∈N＋)⇔{an}是等差数列；（2）从任意连续三项关系上看，2an＋1＝an＋an＋2（n∈N＋)⇔{an}是等差数列；（3)从通项公式代数特点上看，an＝kn＋b（k，b为常数，n∈N＋）⇔｛an}是等差数列．但若要说明一个数列不是等差数列,则只需举出一个反例即可．如：其中某连续三项不成等差数列；存在n∈N＋,an＋1－an的结果不等于同一个常数等．跟踪训练2若数列{an｝满足a1＝15，3an＋1＝3an－2，则使ak·ak＋1〈0的k值为________．类型三等差数列性质的应用引申探究1．在例3中，不难验证a1＋a4＋a7＝a2＋a4＋a6,那么,在等差数列{an｝中,若m＋n＋p＝q＋r＋s,m，n，p，q，r，s∈N＋,是否有am＋an＋ap＝aq＋ar＋as？2．在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________。例3已知等差数列｛an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式．反思与感悟解决等差数列运算问题的一般方法:一是灵活运用等差数列｛an}的性质；二是利用通项公式,转化为等差数列的首项与公差的求解，属于通项方法；或者兼而有之．这些方法都运用了整体代换与方程的思想．跟踪训练3在等差数列｛an｝中，已知a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，求a3＋a6＋a9的值．1．等差数列｛an｝中，已知a3＝10，a8＝－20,则公差d等于（）A．3 B．－6C．4 D．－32．在等差数列{an｝中，已知a4＝2，a8＝14,则a15等于(）A．32 B．－32C．35 D．－353．等差数列｛an｝中，a4＋a5＝15，a7＝12,则a2等于()A．3 B．－3C。eq\f（3，2） D．－eq\f(3,2）1．在等差数列{an｝中，当m≠n时，d＝eq\f（am－an，m－n)，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为am＝an＋（m－n）d.2．等差数列{an｝中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．3．等差数列｛an}中，若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N＋），特别地,若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap。4．在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可根据a1，d的关系列方程组求解,但是,要注意公式的变形及整体计算,以减少计算量．

答案精析问题导学知识点一思考1设等差数列的首项为a1，则am＝a1＋(m－1）d，变形得a1＝am－（m－1）d，则an＝a1＋（n－1）d＝am－（m－1）d＋(n－1）d＝am＋（n－m）d.思考2等差数列通项公式可变形为an＝dn＋(a1－d），其图像为一条直线上孤立的一系列点，（1，a1)，(n，an)，(m，am）都是这条直线上的点．d为直线的斜率,故两点（1，a1)，(n，an）连线的斜率d＝eq\f（an－a1,n－1)。当两点为（n,an)，(m，am）时，有d＝eq\f(an－am,n－m）.知识点二思考利用1＋100＝2＋99＝…。在有穷等差数列中,与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和．即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…。梳理anaq知识点三思考∵(an＋1＋an＋3)－（an＋an＋2)＝（an＋1－an）＋（an＋3－an＋2）＝d＋d＝2d。∴{an＋an＋2｝是公差为2d的等差数列．题型探究例1解因为a8＝a2＋(8－2）d,所以17＝5＋6d,解得d＝2。又因为an＝a2＋（n－2)d，所以an＝5＋(n－2）×2＝2n＋1.跟踪训练1B［∵{bn}为等差数列，设公差为d，则d＝eq\f(b10－b3，10－3）＝eq\f(12－－2，7）＝2，∴bn＝b3＋（n－3)d＝2n－8.∴a8＝（a8－a7)＋（a7－a6)＋(a6－a5）＋（a5－a4）＋（a4－a3)＋（a3－a2）＋(a2－a1)＋a1＝b7＋b6＋…＋b1＋a1＝(b7＋b1)＋（b6＋b2)＋（b5＋b3）＋b4＋a1＝7b4＋a1＝7×0＋3＝3。]例2解取数列{an｝中任意相邻两项an和an－1（n〉1)，求差得an－an－1＝(pn＋q)－［p（n－1）＋q］＝pn＋q－（pn－p＋q)＝p。它是一个与n无关的常数，所以{an}是等差数列．由于an＝pn＋q＝q＋p＋(n－1）p，所以首项a1＝p＋q,公差d＝p。跟踪训练223解析由3an＋1＝3an－2，得an＋1－an＝－eq\f(2，3）.∴｛an｝是首项为15,公差为－eq\f(2，3)的等差数列，∴an＝a1＋(n－1）d＝15＋（n－1)×（－eq\f(2，3)）＝－eq\f（2，3)n＋eq\f(47，3)。令an＝0，解得n＝eq\f(47,2)＝23.5，∵d＝－eq\f（2，3),数列{an}是递减数列，∴a23〉0，a24<0。∴k＝23。例3解方法一因为a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，所以a4＝5。又因为a2a4a6＝45，所以a2a6＝9,即（a4－2d)（a4＋2d）＝9，（5－2d）（5＋2d)＝9，解得d＝±2.若d＝2,an＝a4＋(n－4)d＝2n－3；若d＝－2,an＝a4＋（n－4)d＝13－2n.方法二设等差数列的公差为d，则由a1＋a4＋a7＝15，得a1＋a1＋3d＋a1＋6d＝15,即a1＋3d＝5， ①由a2a4a6＝45，得（a1＋d)(a1＋3d）(a1＋5d）＝45，将①代入上式，得(a1＋d）×5×（5＋2d)＝45，即(a1＋d）×（5＋2d)＝9, ②解①，②组成的方程组,得a1＝－1，d＝2或a1＝11,d＝－2，an＝－1＋2（n－1）＝2n－3或an＝11－2(n－1)＝－2n＋13.引申探究1．解设公差为d，则am＝a1＋(m－1）d，an＝a1＋(n－1)d，ap＝a1＋（p－1）d，aq＝a1＋（q－1)d，ar＝a1＋(r－1）d，as＝a1＋（s－1)d,∴am＋an＋ap＝3a1＋(m＋n＋p－3）d，aq＋ar＋as＝3a1＋(q＋r＋s－3)d，∵m＋n＋p＝q＋r＋s，∴am＋an＋ap＝aq＋ar＋as。2．20解析∵a3＋a8＝10,∴a3＋a3＋a8＋a8＝20.∵3＋3＋8＋8＝5＋5＋5＋7，∴a3＋a3＋a8＋a8＝a5＋a5＋a5＋a7，即3a5＋a7＝2（a3＋a8）＝20.跟踪训练3解方法一∵(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝3d，(a3＋a6＋a9）－(a2＋a5＋a8)＝3d，∴a1＋a4＋a7,a2＋a5＋a8,a3＋a6＋a9成等差数列．∴a3＋a6＋a9＝2(a2＋a5＋a8)－（a1＋a4＋a7)＝2×33－39＝27。方法二∵a1＋a4＋a7＝a1＋(a1＋3d)＋(a1＋6d）＝3a1＋9d＝39，∴a1＋3d＝13， ①∵a2＋a5＋a8＝（a1＋d）＋(a1＋4d)＋（a1＋7d)＝3a1＋12d＝33。∴a1＋4d＝11， ②由①②联立eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a1＋3d＝13，，a1＋