2017-2018版高中数学第一章计数原理4简单计数问题学案2-3

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE16学必求其心得，业必贵于专精PAGE4简单计数问题学习目标1.进一步理解和掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理。2.进一步深化排列与组合的概念.3.能综合运用排列、组合解决计数问题．知识点一两个计数原理1．分类加法计数原理（加法原理)完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法,……，在第n类办法中有mn种方法，那么，完成这件事共有N＝__________种方法．2．分步乘法计数原理（乘法原理)完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法,……，做第n步有mn种方法，那么，完成这件事共有N＝____________种方法．3．分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事的不同方法的种数．它们的区别在于:分类加法计数原理与分类有关,各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了，这件事才算完成.知识点二排列1．排列从n个________的元素中取出m（m≤n)个元素,按照一定的________排成一列，叫作从n个不同的元素中任意取出m个元素的一个排列．2．排列数排列数定义及表示从n个不同元素中取出m（m≤n)个元素的所有排列的个数,叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作____________排列数公式乘积式Aeq\o\al(m，n)＝____________阶乘式Aeq\o\al(m,n)＝________________________排列数的性质Aeq\o\al(n，n）＝________；Aeq\o\al(0,n）＝________，0!＝1知识点三组合1．组合一般地，从n个不同的元素中,任取m（m≤n）个元素为一组，叫作从n个不同的元素中取出m个元素的一个组合．2．组合数（1）组合数定义：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的____________，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号________表示．(2）组合数公式组合数公式乘积形式Ceq\o\al（m，n）＝eq\f(A\o\al(m，n)，A\o\al(m，m））＝______________阶乘形式Ceq\o\al（m,n）＝eq\f（n！，m！n－m！）备注n,m∈N＋,且m≤n,规定Ceq\o\al（0，n）＝________特别提醒：1。排列组合综合题的一般解法一般坚持先组后排的原则,即先选元素后排列,同时注意按元素性质分类或按事件的发生过程分类．2．解决有限制条件的排列、组合问题的一般策略(1)特殊元素优先安排的策略．（2)正难则反，等价转化的策略．（3）相邻问题捆绑处理的策略．(4）不相邻问题插空处理的策略．(5）定序问题除法处理的策略．(6）“小集团”排列问题中先整体后局部的策略．(7)平均分组问题，除法处理的策略．(8）构造模型的策略．类型一两个计数原理的应用命题角度1“类中有步”的计数问题例1电视台在某节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有________种不同的结果．反思与感悟用流程图描述计数问题,类中有步的情形如图所示：具体意义如下：从A到B算作一件事的完成，完成这件事有两类办法，在第1类办法中有3步,在第2类办法中有2步，每步的方法数如图所示．所以，完成这件事的方法数为m1m2m3＋m4m5，“类"与“步”可进一步地理解为：“类”用“＋”号连接，“步”用“×”号连接，“类”独立，“步”连续，“类”标志一件事的完成,“步"缺一不可．跟踪训练1现有4种不同颜色，要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（)A．24种B．30种C．36种D．48种命题角度2“步中有类"的计数问题例2有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力"、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复．若上午不测“握力"项目,下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测一人,则不同的安排方式共有________种．（用数字作答)反思与感悟用流程图描述计数问题，步中有类的情形如图所示：从计数的角度看,由A到D算作完成一件事，可简单地记为A→D.完成A→D这件事，需要经历三步，即A→B，B→C，C→D。其中B→C这步又分为三类,这就是步中有类．其中mi（i＝1，2,3，4，5）表示相应步的方法数．完成A→D这件事的方法数为m1(m2＋m3＋m4）m5。以上给出了处理步中有类问题的一般方法．跟踪训练2如图所示,使电路接通，开关不同的开闭方式共有(）A．11B．12C．20D．21类型二排列与组合的综合应用命题角度1不同元素的排列、组合问题例3有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1,2，3,4的蓝色卡片,从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10,则不同的排法共有多少种？反思与感悟(1）解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”,也就是先把符合题意的元素都选出来,再对元素或位置进行排列．(2）解排列、组合综合问题时的注意点①元素是否有序是区分排列与组合的基本方法,无序的问题是组合问题,有序的问题是排列问题．②对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合综合问题的一般方法．跟踪训练3从1,3，5,7，9中任取3个数字,从0，2，4，6,8中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位偶数？命题角度2含有相同元素的排列、组合问题例4今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加区分，将这9个球排成一列,有________种不同的方法．反思与感悟针对对部分元素相同的n个不同元素进行排列的问题,有两种解决方法：（1)先把这些元素看作全不相同的元素进行排列，再设法消去相同元素的顺序．(2)从位置进行分析，因为位置全不相同，可以分别给相同的每一类元素找位置．跟踪训练4为减轻学生经济负担且又能满足学生求知要求，某班级利用班费买了4本相同的数学资料书、3本相同的外语资料书、2本相同的物理资料书作为班级图书供同学们学习使用．现有8人去借阅图书，每人只能借阅一本，则有多少种借阅方法？1．李芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子,另有两套不同样式的连衣裙．“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出,则李芳的不同的选择方式有（)A．24种 B．14种C．10种 D．9种2．设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动的可能结果有a种,这4名学生在运动会上共同争夺100米、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有b种,则（a，b)为（)A．（34，34) B．(43，34)C．（34，43） D．（Aeq\o\al(3,4），Aeq\o\al(3,4））3．三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为凹数，如524,746等都是凹数，那么，各个数位上无重复数字的三位凹数有（）A．72个 B．120个C．240个 D．360个4．某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是公益宣传广告，且2个公益宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有________种．5．已知xi∈{－1,0,1｝，i＝1，2，3,4,5，6,则满足x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＝2的数组（x1,x2，x3，x4，x5，x6）的个数为________．1．解排列、组合综合题一般是先选元素、后排元素，或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个基本计数原理作最后处理．2．对于较难直接解决的问题则可用间接法，但应做到不重不漏．3．对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序,避免计数的重复或遗漏．

答案精析知识梳理知识点一1．m1＋m2＋…＋mn2．m1×m2×…×mn知识点二1．不同顺序2．Aeq\o\al（m,n）n(n－1）（n－2）…（n－m＋1)eq\f（n！，n－m！）（n，m∈N＋，m≤n）n！1知识点三2．(1）所有组合的个数Ceq\o\al（m,n）(2）eq\f（nn－1n－2…n－m＋1，m！）1题型探究例128800解析在甲箱或乙箱中抽取幸运之星,决定了后边选幸运伙伴是不同的，故要分两类分别计算：（1)幸运之星在甲箱中抽，先确定幸运之星,再在两箱中各确定一名幸运伙伴，有30×29×20＝17400(种)结果；(2)幸运之星在乙箱中抽,同理有20×19×30＝11400(种）结果．因此共有17400＋11400＝28800（种）不同结果．跟踪训练1D例2264跟踪训练2D例3解分三类：第一类，当取出的4张卡片分别标有数字1,2,3，4时,不同的排法有Ceq\o\al(1，2）·Ceq\o\al（1,2）·Ceq\o\al(1,2）·Ceq\o\al(1，2）·Aeq\o\al(4，4）种．第二类,当取出的4张卡片分别标有数字1,1，4，4时，不同的排法有Ceq\o\al(2，2)·Ceq\o\al（2,2)·Aeq\o\al(4,4）种．第三类，当取出的4张卡片分别标有数字2，2,3,3时，不同的排法有Ceq\o\al（2，2）·Ceq\o\al（2，2）·Aeq\o\al（4,4）种．故满足题意的所有不同的排法种数为Ceq\o\al（1,2)·Ceq\o\al(1，2）·Ceq\o\al(1，2）·Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al（4，4)＋2Ceq\o\al（2,2)·Ceq\o\al(2，2)·Aeq\o\al(4，4）＝432。跟踪训练3解（1）五位数中不含数字0。第1步,选出5个数字，共有Ceq\o\al（3，5）Ceq\o\al（2,4)种选法．第2步，排成偶数——先排末位数,有Aeq\o\al（1，2)种排法，再排其他四位数字,有Aeq\o\al(4，4）种排法．所以N1＝Ceq\o\al(3,5）·Ceq\o\al(2,4）·Aeq\o\al(1，2)·Aeq\o\al（4,4）.（2）五位数中含有数字0。第1步，选出5个数字，共有Ceq\o\al（3,5)·Ceq\o\al(1，4）种选法．第2步，排顺序又可分为两小类：①末位排0，有Aeq\o\al(1,1)·Aeq\o\al（4,4）种排列方法;②末位不排0。这时末位数有Ceq\o\al(1，1）种选法，而因为0不能排在首位，所以首位有Aeq\o\al（1，3)种排法，其余3个数字则有Aeq\o\al（3，3)种排法．所以N2＝Ceq\o\al（3，5)·Ceq\o\al（1，4)(Aeq\o\al（1，1)·Aeq\o\al（4,4)＋Aeq\o\al（1，3)·Aeq\o\al(3,3)）．所以符合条件的偶数个数为N＝N1＋N2＝Ceq\o\al（3，5)Ceq\o\al(2，4）Aeq\o\al(1,2）Aeq\o\al（4,4)＋Ceq\o\al（3,5)Ceq\o\al（1，4)（Aeq\o\al（1,1)Aeq\o\al(4,4)＋Aeq\o\al（1，3）Aeq\o\al(3，3))＝4560.例41260跟踪训练4解第一类：剩下的一本书是数学资料书，此时相当于把8个人分成个数分别为3，3,2的三堆，这三堆分别借阅数学、外语、物理资料书，其借法共有Ceq\o\al(3,8）Ceq\o\al（3，5)Ceq\o\al(2,2）＝560(种）．第二类:剩下的一本书是外语资料书，此时相当于把8个人分成个数分别为4，2，2的三堆,这三堆分别借阅数学、外语、物理资料书，其借法共有Ceq\o\al（4，8)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2，2）＝42