2017-2018版高中数学第一章立体几何初步5.2平行关系的性质学案2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE23学必求其心得，业必贵于专精PAGE5．2平行关系的性质学习目标1。能应用文字语言、符号语言、图形语言准确描述直线与平面平行,两平面平行的性质定理.2。能用两个性质定理，证明一些空间线面平行关系的简单问题．知识点一直线与平面平行的性质思考1如图，直线l∥平面α,直线a平面α，直线l与直线a一定平行吗？为什么？思考2如图，直线a∥平面α,直线a平面β，平面α∩平面β＝直线b,满足以上条件的平面β有多少个？直线a，b有什么位置关系?梳理性质定理文字语言如果一条直线与一个平面______，那么过该直线的任意一个平面与已知平面的______与该直线________符号语言a∥α，________________⇒a∥b图形语言知识点二平面与平面平行的性质观察长方体ABCD－A1B1C1D1的两个面：平面ABCD及平面A1B1C1D1。思考1平面A1B1C1D1中的所有直线都平行于平面ABCD吗？思考2若m平面ABCD,n平面A1B1C1D1,则m∥n吗？思考3过BC的平面交平面A1B1C1D1于B1C1，B1C1与BC是什么关系?梳理性质定理文字语言如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线________符号语言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒________图形语言类型一线面平行的性质定理的应用例1如图所示,在四棱锥P－ABCD中,底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.引申探究如图,在三棱锥P－ABQ中，E，F，C，D分别是PA，PB，QB，QA的中点,平面PCD∩平面QEF＝GH.求证：AB∥GH.反思与感悟线∥面eq\o（,\s\up7（线面平行的性质）,\s\do5(线面平行的判定))线∥线．在空间平行关系中，交替使用线线平行、线面平行的判定定理与性质定理是解决此类问题的关键．跟踪训练1如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中,AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上,若EF∥平面AB1C，则线段FE的长度等于________．类型二面面平行的性质定理的应用例2如图，平面α∥β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于点S，且AS＝8，BS＝9，CD＝34，求CS的长．引申探究若将本例改为：点S在平面α，β之间（如图),其他条件不变，求CS的长．反思与感悟应用平面与平面平行性质定理的基本步骤跟踪训练2已知:平面α∥平面β∥平面γ，两条直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和点D,E,F，如右图所示，求证：eq\f（AB,BC）＝eq\f(DE,EF）。类型三平行关系的综合应用eq\x（命题角度1由面面平行证明线面平行）例3设AB，CD为夹在两个平行平面α，β之间的线段,且直线AB，CD为异面直线，M，P分别为AB，CD的中点．求证：MP∥平面β.反思与感悟线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体，平行关系的判定定理、性质定理是转化平行关系的关键，其内在联系如图所示：跟踪训练3如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN.求证MN∥平面AA1B1B。eq\x（命题角度2探索性问题)例4在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中,A1B1的中点是P,过点A1作与截面PBC1平行的截面，能否确定截面的形状?如果能，求出截面的面积．反思与感悟在将线面平行转化为线线平行时，注意观察图形中是不是性质定理中符合条件的平面．跟踪训练4如图所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PBC∩平面PAD＝l.（1)求证：l∥BC；（2）MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．1．如图所示，在三棱锥S－ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则()A．EF与BC相交B．EF∥BCC．EF与BC异面D．以上均有可能2．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有(）A．0条 B．1条C．0条或1条 D．无数条3．平面α∥平面β，平面γ∥平面δ,且α∩γ＝a,α∩δ＝b,β∩γ＝c，β∩δ＝d,则交线a，b,c，d的位置关系是()A．互相平行 B．交于一点C．相互异面 D．不能确定4．如图所示,直线a∥平面α，A∉α，并且a和A位于平面α两侧，点B,C∈a，AB，AC分别交平面α于点E，F,若BC＝4，CF＝5,AF＝3，则EF＝______。5.如图,AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点,P为平面ABC外一点,E，F分别是PA,PC的中点．记平面BEF与平面ABC的交线为l,试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明．1．空间中各种平行关系相互转化关系的示意图2．证明线与线、线与面的平行关系的一般规律是：“由已知想性质,由求证想判定”,是分析和解决问题的一般思维方法，而作辅助线和辅助面往往是沟通已知和未知的有效手段．答案精析问题导学知识点一思考1不一定，因为还可能是异面直线．思考2无数个，a∥b。梳理平行交线平行aβ，α∩β＝b知识点二思考1是的．思考2不一定,也可能异面．思考3平行．梳理平行a∥b题型探究例1证明连接MO.∵四边形ABCD是平行四边形,∴O是AC的中点．又∵M是PC的中点,∴AP∥OM.又∵AP平面BDM，OM平面BDM，∴AP∥平面BDM。又∵AP平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH.引申探究证明因为D,C,E，F分别是AQ，BQ,AP，BP的中点，所以EF∥AB，DC∥AB。所以EF∥DC.又EF平面PCD，DC平面PCD，所以EF∥平面PCD。又EF平面EFQ，平面EFQ∩平面PCD＝GH，所以EF∥GH.又EF∥AB，所以AB∥GH.跟踪训练1eq\r（2)例2解设AB,CD共面γ，因为γ∩α＝AC，γ∩β＝BD，且α∥β，所以AC∥BD，所以△SAC∽△SBD,所以eq\f(SC,SC＋CD)＝eq\f(SA,SB)，即eq\f（SC，SC＋34)＝eq\f（8,9），所以SC＝272.引申探究解设AB,CD共面γ，γ∩α＝AC，γ∩β＝BD.因为α∥β，所以AC与BD无公共点，所以AC∥BD，所以△ACS∽△BDS，所以eq\f(AS,BS）＝eq\f(CS,DS)。设CS＝x，则eq\f(x,34－x)＝eq\f（8,9），所以x＝16，即CS＝16.跟踪训练2证明如图,连接DC，设DC与平面β相交于点G，则平面ACD与平面α,β分别相交于直线AD，BG,平面DCF与平面β，γ分别相交于直线GE,CF.因为α∥β，β∥γ，所以BG∥AD，GE∥CF.于是，得eq\f(AB,BC)＝eq\f(DG，GC），eq\f（DG,GC）＝eq\f（DE，EF）,所以eq\f（AB,BC）＝eq\f(DE,EF）.例3证明如图，过点A作AE∥CD交平面β于点E,连接DE，BE。∵AE∥CD，∴AE，CD确定一个平面，设为γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝DE.又α∥β,∴AC∥DE（面面平行的性质定理)，取AE的中点N，连接NP，MN，∴M，P分别为AB，CD的中点，∴NP∥DE，MN∥BE.又NPβ，DEβ，MNβ，BEβ，∴NP∥β,MN∥β，∵NP∩MN＝N,∴平面MNP∥β.∵MP平面MNP，MPβ,∴MP∥β。跟踪训练3证明如图，作MP∥BB1交BC于点P，连接NP，∵MP∥BB1，∴eq\f（CM,MB1）＝eq\f(CP，PB)。∵BD＝B1C,DN＝CM，∴B1M＝BN.∴eq\f（CP，PB）＝eq\f（DN,NB），∴NP∥CD∥AB。∵NP平面AA1B1B，AB平面AA1B1B，∴NP∥平面AA1B1B。∵MP∥BB1，MP平面AA1B1B，BB1平面AA1B1B,∴MP∥平面AA1B1B，又∵MP平面MNP，NP平面MNP,MP∩NP＝P，∴平面MNP∥平面AA1B1B。∵MN平面MNP，∴MN∥平面AA1B1B.例4解能，如图,取AB，C1D1的中点M，N，连接A1M，MC，CN，NA1.∵平面A1C1∥平面AC，平面A1C∩平面A1C1＝A1N,平面AC∩平面A1C＝MC，∴A1N∥MC。同理，A1M∥NC.∴四边形A1MCN是平行四边形．∵C1N＝eq\f(1，2)C1D1＝eq\f(1,2）A1B1＝A1P,C1N∥A1P，∴四边形A1PC1N是平行四边形，∴A1N∥PC1且A1N＝PC1.同理,A1M∥BP且A1M＝BP.又∵A1N∩A1M＝A1，C1P∩PB＝P，∴平面A1MCN∥平面PBC1。故过点A1与截面PBC1平行的截面是▱A1MCN.连接MN，作A1H⊥MN于点H。由题意,易得A1M＝A1N＝eq\r(5），MN＝2eq\r（2).∴MH＝NH＝eq\r(2)，∴A1H＝eq\r（3）。故＝2＝2×eq\f（1,2）×2eq\r(2)×eq\r（3)＝2eq\r(6).跟踪训练4(1）证明因为BC∥AD，BC平面PAD,AD平面PAD，所以BC∥平面PAD。又因为平面PBC∩平面PAD＝l,所以BC∥l.(2)解平行．证明如下：如图，取PD的中点E,连接AE，NE，可以证得NE∥AM且NE＝AM，所以四边形MNEA是平行四边形，所以MN∥AE.又AE平面PAD，MN平面PAD，所以MN∥平面PAD.当堂训练1．B2。C3.A4.eq\f（3，2）5．解