2017-2018版高中数学第一章导数及其应用1.4.1曲边梯形面积与定积分（二）学案2-2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE15学必求其心得，业必贵于专精PAGE1.4.1曲边梯形面积与定积分(二)明目标、知重点1。了解定积分的概念，会用定义求定积分.2.理解定积分的几何意义.3。掌握定积分的基本性质．定积分的概念、几何意义及性质定积分概念定积分：设函数y＝f(x）定义在区间[a,b］上，用分点a＝x0〈x1<x2〈…xn－1〈xn＝b，把区间［a,b］分为n个小区间，其长度依次为Δxi＝xi＋1－xi，i＝0，1，2,…，n－1.记λ为这些小区间长度的最大者，当λ趋近于0时,所有的小区间长度都趋近于0，在每个区间内任取一点ξi，作和式In＝eq\i\su（i＝0，n－1，f)（ξi)Δxi.当λ→0时，如果和式的极限存在，我们把和式In的极限叫做函数f(x）在区间[a，b]上的定积分，记作ʃeq\o\al（b,a）f（x)dx，即ʃeq\o\al（b,a）f（x）dx＝eq\o(lim,\s\do4(λ→0）)eq\i\su（i＝0，n－1，f)（ξi)Δxi。这里a与b分别叫作积分下限与积分上限，区间［a，b]叫做积分区间，函数f（x）叫做被积函数，x叫做积分变量，f（x）dx叫做被积式．几何意义如果在区间[a,b］上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么定积分ʃeq\o\al(b，a）f（x）dx表示由直线x＝a,x＝b（a≠b），y＝0和曲线y＝f(x）所围成的曲边梯形的面积。基本性质ʃeq\o\al（b，a）kf(x）dx＝kʃeq\o\al（b，a）f（x）dx（k为常数）;ʃeq\o\al（b,a）［f1(x)±f2(x)]dx＝ʃeq\o\al（b，a）f1（x）dx±ʃeq\o\al(b，a）f2（x)dx；ʃeq\o\al(b,a)f（x）dx＝ʃeq\o\al（c，a)f（x）dx＋ʃeq\o\al（b,c)f（x)dx(其中a<c<b）。探究点一定积分的概念思考1分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程,找一下它们的共同点．答两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限"解决，都可以归结为一个特定形式和的极限．思考2怎样正确认识定积分ʃeq\o\al（b,a)f（x）dx？答(1)定积分ʃeq\o\al（b,a)f（x)dx是一个数值（极限值）．它的值仅取决于被积函数与积分上、下限,另外ʃeq\o\al(b,a)f(x）dx与积分区间[a,b]息息相关，不同的积分区间,所得值也不同．（2)定积分就是和的极限eq\o(lim,\s\do4(n→∞)）eq\i\su（i＝1，n,f）(ξi)·Δx，而ʃeq\o\al（b,a)f（x)dx只是这种极限的一种记号,读作“函数f（x）从a到b的定积分"．（3）函数f(x）在区间［a，b]上连续这一条件是不能忽视的，它保证了和的极限(定积分）的存在（实际上,函数连续是定积分存在的充分条件，而不是必要条件)．例1利用定积分的定义，计算ʃeq\o\al(1,0)x3dx的值．解令f(x)＝x3.(1）分割在区间[0，1］上等间隔地插入n－1个分点，把区间［0,1]等分成n个小区间[eq\f(i－1,n),eq\f（i,n)］(i＝1，2，…，n),每个小区间的长度为Δx＝eq\f(i,n）－eq\f(i－1，n）＝eq\f（1，n）.（2）近似代替、求和取ξi＝eq\f（i，n）（i＝1,2，…,n），则ʃeq\o\al（1，0）x3dx≈Sn＝eq\o(∑,\s\up6（n），\s\do4（i＝1)）f(eq\f（i，n）)·Δx＝eq\o（∑，\s\up6(n）,\s\do4（i＝1))（eq\f（i,n））3·eq\f（1，n）＝eq\f（1，n4)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1））i3＝eq\f（1,n4）·eq\f（1，4）n2(n＋1)2＝eq\f（1,4）(1＋eq\f（1,n))2.(3)取极限ʃeq\o\al（1,0）x3dx＝eq\o（lim,\s\do4(n→∞))Sn＝eq\o（lim,\s\do4(n→∞)）eq\f(1，4)(1＋eq\f(1,n）)2＝eq\f（1，4）。反思与感悟（1)利用定积分定义求定积分的数值仍然是“分割、近似代替、求和、取极值"这一过程,需要注意的是在本题中将近似代替、求和一起作为步骤（2），从而省略了解题步骤．(2）从过程来看，当f(x)≥0时，定积分就是区间对应曲边梯形的面积．跟踪训练1用定义计算ʃeq\o\al(2，1）(1＋x)dx.解(1）分割：将区间［1,2］等分成n个小区间eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\f(i－1，n)，1＋\f(i，n）））(i＝1,2，…，n），每个小区间的长度为Δx＝eq\f（1，n）.(2）近似代替、求和：在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1（1＋\f(i－1,n)，1＋\f(i，n))）上取点ξi＝1＋eq\f(i－1,n)（i＝1，2，…，n),于是f（ξi)＝1＋1＋eq\f（i－1，n）＝2＋eq\f(i－1,n），从而得eq\i\su(i＝1，n,f)(ξi)Δx＝eq\i\su(i＝1，n,)（2＋eq\f（i－1，n))·eq\f(1，n)＝eq\i\su（i＝1，n,)eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(2,n）＋\f(i－1，n2)))＝eq\f（2，n）·n＋eq\f(1，n2)[0＋1＋2＋…＋（n－1）]＝2＋eq\f(1,n2）·eq\f(nn－1,2)＝2＋eq\f（n－1,2n）.（3)取极限:S＝eq\o(lim，\s\do4（n→∞))eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（2＋\f（n－1,2n))）＝2＋eq\f（1，2）＝eq\f（5，2）.因此ʃeq\o\al（2，1)(1＋x）dx＝eq\f(5,2）.探究点二定积分的几何意义思考1从几何上看，如果在区间[a，b]上函数f（x）连续且恒有f(x）≥0，那么ʃeq\o\al（b,a）f（x)dx表示什么？答当函数f(x）≥0时，定积分ʃeq\o\al（b，a)f（x)dx在几何上表示由直线x＝a，x＝b（a<b)，y＝0及曲线y＝f（x）所围成的曲边梯形的面积．思考2当f(x）在区间［a，b]上连续且恒有f(x）≤0时，ʃeq\o\al(b，a）f（x）dx表示的含义是什么?若f(x）有正有负呢?答如果在区间［a，b]上，函数f(x)≤0时，那么曲边梯形位于x轴的下方（如图①）．由于eq\f(b－a，n）〉0,f(ξi)≤0，故f(ξi）eq\f(b－a,n）≤0.从而定积分ʃeq\o\al（b,a）f(x)dx≤0,这时它等于如图①所示曲边梯形面积的相反值,即ʃeq\o\al(b，a)f（x）dx＝－S.当f（x）在区间［a，b]上有正有负时,定积分ʃeq\o\al（b,a）f(x）dx表示介于x轴、函数f（x）的图象及直线x＝a，x＝b（a≠b)之间各部分面积的代数和(在x轴上方的取正，在x轴下方的取负)．（如图②），即ʃeq\o\al(b,a)f(x）dx＝－S1＋S2－S3.例2用定积分的几何意义求：（1)eq\i\in（0,1,)（3x＋2)dx；（2)(3）eq\i\in（－3,3,）（|x＋1|＋|x－1｜－4)dx；（4)eq\i\in（a，b,）eq\r（x－ab－x）dx(b>a）．解(1）如图1阴影部分面积为eq\f(2＋5×1，2）＝eq\f（7,2)，从而eq\i\in（0,1,）（3x＋2）dx＝eq\f（7,2）。(2）如图2，由于A的面积等于B的面积，从而＝0.（3)令f(x）＝|x＋1｜＋|x－1|－4，作出f（x）在区间[－3，3]上的图象,如图3所示，易知定积分eq\i\in(，3，）－3f(x)dx表示的就是图中阴影部分的面积的代数和．∵阴影部分的面积S1＝S3＝1，S2＝6，∴eq\i\in(－3,3，)（|x＋1|＋|x－1｜－4)dx＝1＋1－6＝－4。（4)令y＝f(x)＝eq\r(x－ab－x），则有(x－eq\f(a＋b,2））2＋y2＝（eq\f(b－a，2))2（y≥0），f(x)表示以（eq\f(a＋b,2)，0）为圆心，半径为eq\f（b－a,2)的上半圆，而这个上半圆的面积为S＝eq\f（1,2）πr2＝eq\f（π,2)（eq\f（b－a，2))2＝eq\f（πb－a2,8），由定积分的几何意义可知eq\i\in(a,b,)eq\r(x－ab－x）dx＝eq\f(πb－a2，8）.反思与感悟利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间,正确利用相关的几何知识求面积．不规则的图象常用分割法求面积，注意分割点的准确确定．跟踪训练2利用几何意义计算下列定积分：(1)ʃeq\o\al（3，－3）eq\r（9－x2)dx；（2)ʃeq\o\al（3,－1）（3x＋1)dx。解(1)在平面上y＝eq\r（9－x2)表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆，其面积为S＝eq\f(1,2)·π·32.由定积分的几何意义知ʃeq\o\al（3,－3)eq\r（9－x2)dx＝eq\f（9,2）π.（2)由直线x＝－1，x＝3，y＝0，以及y＝3x＋1所围成的图形，如图所示：ʃeq\o\al(3,－1）（3x＋1）dx表示由直线x＝－1，x＝3,y＝0以及y＝3x＋1所围成的图形在x轴上方的面积减去在x轴下方的面积，∴ʃeq\o\al(3,－1)（3x＋1）dx＝eq\f（1,2)×(3＋eq\f(1，3)）×(3×3＋1）－eq\f（1，2）(－eq\f(1,3)＋1）×2＝eq\f(50，3）－eq\f(2,3)＝16.探究点三定积分的性质思考1定积分的性质可作哪些推广？答定积分的性质的推广①ʃeq\o\al(b,a)［f1（x）±f2(x）±…±fn（x)]dx＝ʃeq\o\al（b,a）f1(x）dx±ʃeq\o\al（b，a)f2（x）dx±…±ʃeq\o\al（b,a）fn(x)dx；②ʃeq\o\al（b,a)f（x）dx＝ʃc1af(x）dx＋ʃc2c1f(x）dx＋…＋ʃbcnf(x）dx（其中n∈N＋）．思考2如果一个函数具有奇偶性，它的定积分有什么性质？答奇、偶函数在区间［－a，a]上的定积分①若奇函数y＝f(x)的图象在[－a，a]上连续不断，则ʃeq\o\al(a，－a)f(x)dx＝0.②若偶函数y＝g(x)的图象在[－a，a］上连续不断，则ʃeq\o\al(a，－a)g(x)dx＝2ʃeq\o\al（a，0)g（x)dx。例3计算ʃeq\o\al(3,－3)（eq\r（9－x2)－x3)dx的值．解如图，由定积分的几何意义得ʃeq\o\al（3，－3)eq\r（9－x2)dx＝eq\f(π×32,2）＝eq\f（9π,2），ʃeq\o\al(3,－3）x3dx＝0，由定积分性质得ʃeq\o\al(3，－3)（eq\r(9－x2）－x3）dx＝ʃeq\o\al（3，－3)eq\r（9－x2）dx－ʃeq\o\al(3,－3）x3dx＝eq\f（9π，2）。反思与感悟根据定积分的性质计算定积分，可以先借助于定积分的定义或几何意义求出相关函数的定积分，再利用函数的性质、定积分的性质结合图形进行计算．跟踪训练3已知ʃeq\o\al(1,0）x3dx＝eq\f(1,4），ʃeq\o\al（2，1)x3dx＝eq\f(15，4)，ʃeq\o\al(2,1)x2dx＝eq\f（7，3），ʃeq\o\al(4,2）x2dx＝eq\f(56，3),求:(1）ʃeq\o\al（2，0）3x3dx；（2)ʃeq\o\al(4，1)6x2dx；（3）ʃeq\o\al（2，1)（3x2－2x3)dx。解(1）ʃeq\o\al(2，0）3x3dx＝3ʃeq\o\al(2,0）x3dx＝3（ʃeq\o\al(1，0）x3dx＋ʃeq\o\al(2,1)x3dx)＝3×(eq\f(1,4）＋eq\f（15,4）)＝12；(2）ʃeq\o\al(4,1)6x2dx＝6ʃeq\o\al（4，1)x2dx＝6(ʃeq\o\al(2，1)x2dx＋ʃeq\o\al（4，2)x2dx）＝6×（eq\f（7，3)＋eq\f(56,3））＝126;(3)ʃeq\o\al(2，1）(3x2－2x3)dx＝ʃeq\o\al(2,1)3x2dx－ʃeq\o\al（2，1）2x3dx＝3ʃeq\o\al（2，1)x2dx－2ʃeq\o\al（2，1）x3dx＝3×eq\f（7,3）－2×eq\f（15，4)＝7－eq\f(15，2）＝－eq\f（1,2）.1．下列结论中成立的个数是()①ʃeq\o\al（1，0)x3dx＝eq\i\su（i＝1,n,）eq\f(i3,n3）·eq\f(1，n)；②ʃeq\o\al（1，0)x3dx＝eq\o（lim,\s\do4(n＋∞））eq\i\su（i＝1,n，)eq\f(i－13,n3)·eq\f（1，n）；③ʃeq\o\al（1，0)x3dx＝eq\o（lim,\s\do4（n＋∞))eq\i\su(i＝1，n，)eq\f(i3,n3）·eq\f（1，n)。A．0B．1C．2D．3答案C解析②③成立．2．定积分ʃeq\o\al(b,a)f(x)dx的大小（)A．与f（x)和积分区间[a,b]有关，与ξi的取法无关B．与f(x）有关,与区间[a，b］以及ξi的取法无关C．与f(x)以及ξi的取法有关,与区间[a，b]无关D．与f（x)、积分区间[a,b]和ξi的取法都有关答案A3．根据定积分的几何意义,用不等号连接下列式子:①ʃeq\o\al（1，0）xdx________ʃeq\o\al（1,0）x2dx；②ʃeq\o