高中数学人教A版2第二章推理与证明（市一等奖）

第二章2.2.1一、选择题(每小题5分，共20分)1．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明过程：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”应用了()A．分析法 B．综合法C．综合法与分析法结合使用 D．演绎法解析：这是由已知条件入手利用有关的公式证得等式，应用了综合法，故选B.答案：B2．要证明eq\r(3)＋eq\r(5)<4可选择的方法有以下几种，其中最合理的为()A．综合法 B．分析法C．比较法 D．归纳法解析：要证明eq\r(3)＋eq\r(5)<4，只需证明(eq\r(3)＋eq\r(5))2<16，即8＋2eq\r(15)<16，即证明eq\r(15)<4，亦即只需证明15<16，而15<16显然成立，故原不等式成立．因此利用分析法证明较为合理，故选B.答案：B3．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝60°，b2＝ac，则△ABC的形状是()A．非等边三角形 B．等边三角形C．等腰三角形 D．直角三角形解析：由条件知b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－2accos60°＝ac，即a2－2ac＋c2所以(a－c)2＝0，所以a＝c.又因为B＝60°，所以△ABC为等边三角形．答案：B4．已知p＝a＋eq\f(1,a－2)(a>2)，q＝2－x2＋4x－2(x>0)，则()A．p>q B．p<qC．p≥q D．p≤q解析：p＝a＋eq\f(1,a－2)＝(a－2)＋eq\f(1,a－2)＋2≥eq\a\vs4\al(2\r(a－2·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a－2)))))＋2＝＝2－x2＋4x－2＝2－(x－2)2＋2≤4.答案：C二、填空题(每小题5分，共10分)5．在非等边三角形中，要想得到A为钝角的结论，则三边a，b，c应满足的条件是________．解析：由余弦定理知cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，要使A为钝角，需有cosA<0，亦即eq\f(b2＋c2－a2,2bc)<0，从而得b2＋c2<a2.答案：b2＋c2<a26．使不等式eq\r(3)＋2eq\r(2)>1＋eq\r(p)成立的正整数p的最大值是_____________________________________________________________________________________________．解析：由eq\r(3)＋2eq\r(2)>1＋eq\r(p)，得eq\r(p)<eq\r(3)＋2eq\r(2)－1，即p<(eq\r(3)＋2eq\r(2)－1)2，所以p<12＋4eq\r(6)－4eq\r(2)－2eq\r(3)，由于12＋4eq\r(6)－4eq\r(2)－2eq\r(3)≈，因此使不等式成立的正整数p的最大值是12.答案：12三、解答题(每小题10分，共20分)7．(2023·新泰一中高二期中测试)设a，b，c为不全相等的正数，且abc＝1，求证：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)>eq\r(a)＋eq\r(b)＋eq\r(c).证明：∵a>0，b>0，c>0，且abc＝1，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝bc＋ca＋ab.又bc＋ca≥2eq\r(abc2)＝2eq\r(c)，同理bc＋ab≥2eq\r(b)，ca＋ab≥2eq\r(a)，∵a，b，c不全相等，∴上述三个不等式中的“＝”不能同时成立．∴2(bc＋ca＋ab)>2(eq\r(c)＋eq\r(a)＋eq\r(b))，即bc＋ca＋ab>eq\r(a)＋eq\r(b)＋eq\r(c)，故eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)>eq\r(a)＋eq\r(b)＋eq\r(c).8．设向量a＝(4cosα，sinα)，向量b＝(sinβ，4cosβ)，若tanαtanβ＝16，求证：a∥b.证明：∵a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，欲证a∥b，只需证4cosα·4cosβ－sinαsinβ＝0，即证16cosαcosβ＝sinαsinβ.∵tanαtanβ＝16，∴16cosαcosβ＝sinαsinβ成立．∴a∥b.9.(10分)已知a，b，c是不全相等的正数，且0<x<1.求证：logxeq\f(a＋b,2)＋logxeq\f(b＋c,2)＋logxeq\f(a＋c,2)<logxa＋logxb＋logxc.证明：要证明logxeq\f(a＋b,2)＋logxeq\f(b＋c,2)＋logxeq\f(a＋c,2)<logxa＋logxb＋logxc，只需要证明logxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)·\f(b＋c,2)·\f(a＋c,2)))<logx(abc)，由已知0<x<1，只需证明eq\f(a＋b,2)·eq\f(b＋c,2)·eq\f(a＋c,2)＞abc，由公式eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)>0，eq\f(b＋c,2)≥eq\r(bc)>0，eq\f(a＋c,2)≥eq\r(ac)>0.又∵a，b，c是不全相等的正数，∴eq\f(a＋b,2)·eq\f(b＋c,2)·eq\f(c＋a,2)>eq\r(a2b2