高中数学苏教版1第3章空间向量与立体几何单元测试

空间向量与立体几何-复习小结【学习目标】正确理解空间向量的有关概念、性质和定理，正确理解并记住各定理及公式的条件和结论，正确地选用基底或适当地建立坐标系，以向量为工具通过向量的运算解决问题．【学习过程】一．知识扫描1．空间线与面的平行与垂直设空间两条直线l1，l2的方向向量为eq\o(e1,\s\up6(→))，eq\o(e2,\s\up6(→))，平面α，β的法向量分别是eq\o(n1,\s\up6(→))，eq\o(n2,\s\up6(→))，则有：关系平行垂直l1与l2eq\o(e1,\s\up6(→))∥eq\o(e2,\s\up6(→))eq\o(e1,\s\up6(→))⊥eq\o(e2,\s\up6(→))l1与αeq\o(e1,\s\up6(→))⊥eq\o(n1,\s\up6(→))eq\o(e1,\s\up6(→))∥eq\o(n1,\s\up6(→))α与βeq\o(n1,\s\up6(→))∥eq\o(n2,\s\up6(→))eq\o(n1,\s\up6(→))⊥eq\o(n2,\s\up6(→))2．判定三点共线及四点共面主要依据空间向量的共线定理与共面定理，即如果非零向量eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(b,\s\up6(→))共线，则必存在唯一的实数λ，使得eq\o(b,\s\up6(→))=λeq\o(a,\s\up6(→))．如果三个非零向量eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(b,\s\up6(→))，eq\o(c,\s\up6(→))共面，则必存在一对实数λ，μ，使得eq\o(c,\s\up6(→))=λeq\o(a,\s\up6(→))+μeq\o(b,\s\up6(→))．由上可得以下结论：⑴空间三点A，B，C共线的条件是：存在实数λ或μ，使得eq\o(OC,\s\up6(→))=eq\f(1,1+λ)eq\o(OA,\s\up6(→))+eq\f(λ,1+λ)eq\o(OB,\s\up6(→))或eq\o(OC,\s\up6(→))=λeq\o(OA,\s\up6(→))+μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ+μ=1)．⑵空间四点A，B，C，D无三点共线，则它们共面的充要条件是：存在唯一一对实数x，y，z，使得eq\o(AD,\s\up6(→))=xeq\o(AB,\s\up6(→))+yeq\o(AC,\s\up6(→))或eq\o(OD,\s\up6(→))=xeq\o(OA,\s\up6(→))+yeq\o(OB,\s\up6(→))+zeq\o(OC,\s\up6(→))(x+y+z=1)．3．空间的角异面直线所成的角，直线与平面所成的角，两平面所成的角均可以由直线的法向量与平面的法向量求得，但最终结果必须符合所求角的范围，否则要改成它的补角或余角．二．例题讲解ADBCC1A1B1例1．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，ADBCC1A1B1⑴求证：AC⊥BC1；⑵求证：AC1∥平面CDB1．ABCDPNM例2．在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，又四边形ABCD是矩形，AD=eq\r(2)，DC=1，PD=1，M，N分别是AD，ABCDPNM⑴求证：PB⊥MN；⑵求证：平面MNC⊥平面PBC．ABCDPEFR例3．如图，四棱锥P-ABCD中，ABCD为平行四边形，E∈PC，PE=eq\f(1,3)PC，ABCDPEFRPF=eq\f(2,3)PB，R∈PD，PR=eq\f(2,3)PD，求证：PA∥面EFR．例4．已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=AB，∠BAC=90°，侧棱与底面成60°角，ABCxyzBC1=2eq\r(6)，BC1⊥AC，求三棱柱ABC-A1BABCxyz三．课堂小结1．用空间向量的方法解决立体几何问题，关键在于依托图形建立空间直角坐标系或恰当地选取基向量，将其它向量用坐标或基向量表示，进行适当的运算．2．求角的问题：⑴求两直线所成的角，可以先找出这两直线方向向量，然后通过向量的运算求出两方向向量的夹角即为两直线的夹角；若求出的不是锐角或直角，还要根据两直线所成的角不超过90°，取其补角；⑵求直线与平面所成的角，一般改成求直线与平面的法向量所成的角，这两个角是互余关系；⑶求两平面所成的角，一般找出两平面的法向量，先求出两法向量所成的角，再根据二面角的特点确定其平面角与两法向量所成的角相等或互补．四．课后作业1:1．对空间任意两个向量eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(b,\s\up6(→))(eq\o(b,\s\up6(→))≠eq\o(0,\s\up6(→)))，eq\o(a,\s\up6(→))∥eq\o(b,\s\up6(→))的充要条件是() A．eq\o(a,\s\up6(→))=eq\o(b,\s\up6(→)) B．eq\o(a,\s\up6(→))=−eq\o(b,\s\up6(→)) C．eq\o(b,\s\up6(→))=λeq\o(a,\s\up6(→)) D．eq\o(a,\s\up6(→))=λeq\o(b,\s\up6(→))2．已知向量eq\o(a,\s\up6(→))=(0，2，1)，eq\o(b,\s\up6(→))=(−1，1，−2)，则eq\o(a,\s\up6(→))与eq\o(b,\s\up6(→))的夹角为．3．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是4．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱AB的中点，且AB=1，则EC与平面A1B1CD所成角的正弦值为ABCDPMN5．如图：ABCD