高中数学人教A版1第二章圆锥曲线与方程双曲线

双曲线同步检测1.已知M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=3,则动点P的轨迹是()A.双曲线 B.双曲线左边一支C.双曲线右边一支D.一条射线答案：C解析：解答：∵|PM|-|PN|=3<4,由双曲线定义知,其轨迹为双曲线的一支.又∵|PM|>|PN|,故点P的轨迹为双曲线的右支.故选C.分析：本题考查了双曲线的定义，根据|PM|-|PN|=3，可得是双曲线的右支。2.设动点P到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)距离的差等于6，则P点的轨迹方程是()A.B.C.D.答案：D解析：解答：由题意知点P的轨迹是双曲线靠近B点的右支，且c＝5，a＝3，∴b＝4.∴点P的轨迹方程是故点P的轨迹为双曲线的右支.故选D.分析：本题考查了双曲线的定义，根据动点P到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)距离的差等于6，可得是双曲线的右支。3．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为()．A．－B．－4C．4D.答案：D解析：解答：由双曲线方程mx2＋y2＝1，知m<0，则双曲线方程可化为，则a2＝1，a＝1，又虚轴长是实轴长的2倍，∴b＝2，∴－＝b2＝4，∴m＝－，故选A.分析：本题考查了双曲线的定义，双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，可得b=2a，根据双曲线的标准方程，可得a=1即可。4.双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点是（0，3），则k的值是()C.D.答案：D解析：解答：由题知双曲线焦点在y轴上，且c=3,双曲线方程可化为∴k=-1.，故选A.分析：因为双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点是（0，3），所以c=3,将双曲线化为标准方程即可。5．双曲线的离心率e∈(1，2)，则k的取值范围是________．A.－12<k<-1B.0<k<12C.－12<k<0D.k<－12或0<k答案：C解析：解答：双曲线方程可变为，则a2＝4，b2＝－k，c2＝4－k，e＝，又∵e∈(1，2)，则1<<2，解得－12<k<0.故选C.分析：因为双曲线的离心率e∈(1，2)，根据e＝确定1<<2，解不等式即可。＞9是方程表示双曲线的()（A）充要条件（B）充分不必要条件（C）必要不充分条件（D）既不充分又不必要条件答案：C解析：解答：当k＞9时，9－k<0，k－4>0，方程表示双曲线．当k<4时，9－k>0，k－4<0，方程也表示双曲线．∴k>9是方程表示双曲线的充分不必要条件．故选C.分析：因为.k＞9是方程可得焦点在y轴上,将双曲线化为标准方程即可7．已知双曲线的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，则其渐近线方程为（）A． B． C． D．答案：C解析：解答：双曲线的右焦点到左顶点的距离为a＋c，右焦点到渐近线距离为b，所以有：a＋c＝2b，由得，取a＝3，b＝4，则c＝5，满足a＋c＝2b．故选：分析：本题旨在考查双曲线的几何性质，可用筛选法．8．与椭圆C：共焦点且过点(1，)的双曲线的标准方程为()A．x2－＝1 B．y2－2x2＝1C. D.－x2＝1答案：C解析：解答：椭圆的焦点坐标为(0，－2)，(0,2)，设双曲线的标准方程为，则解得m＝n＝2，故选C.分析：根据椭圆C：，可得a2=16，b2=12，可求出焦点坐标，即可。9．平面内有两个定点F1(－5，0)和F2(5，0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝6，则动点P的轨迹方程是()．A.(x≤－4)B.(x≤－3)C.(x≥4)D.(x≥3)答案：C解析：解答：根据两个定点F1(－5，0)和F2(5，0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝6，所以c=5，a=3，所以b=4，故选D分析：根据双曲线的定义可得．10.双曲线的顶点到渐进线的距离等于（）A.B.C.D.答案：C解析：解答：双曲线的右顶点为,渐近线方程为,则顶点到渐近线的距离为.故选C分析：先求顶点，后求渐近线方程，再用距离公式求解.11.已知双曲线C：QUOTEx2a2-y2b2=1（a>0,=±QUOTE14x=±QUOTE13x=±x=±x答案：C解析：解答：.因为，所以，又因为，所以，得，所以渐近线方程为.故选C分析：根据题目中给出离心率确定与之间的关系，再利用确定与之间的关系，即可求出渐近线方程.12.已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，其一条渐近线方程为y=x，点P（,y0）在该双曲线上，则=()（A）-12(B)-2(C)0(D)4答案：C解析：解答：由题意：∴双曲线方程为∵点在该双曲线上，∴y0=±1,∴P,又F1(-2,0),F2(2,0)，∴=-1+1=0，或=-1+1=0..故选C分析：根据双曲线的渐近线方程求出b的值，然后把P点坐标求出来，再利用数量积的运算律计算.13.已知双曲线的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为,则p=() B.答案：C解析：解答：如图,A,B两点是双曲线的渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线的交点,其坐标分别为，故△AOB的面积为,又因为双曲线的离心率为2,即c=2a,由b2=c2-a2得b=a,所以p=2..故选C分析：画出图示,确定抛物线的准线与双曲线的渐近线的交点坐标,表示出△AOB的面积,然后求解.14．一动圆C与两定圆C1：x2+(y-1)2=1和圆C2：x2+(y+1)2=4都外切，求动圆圆心C的轨迹方程。A.4y2+x2=1（y≥）B.4y2-x2=1（y≥） C.4y2-x2=1（y） D.4y2+x2=1（y）答案：B解析：解答：解：设动圆圆为C(x,y),半径为r,∴|cc2|-|cc1|=1<|c1c2|,∴点c的轨迹为双曲线的一支∵，c=1,∴,∴c轨迹方程为4y2-x2=1（y≥）故选B分析：因为一动圆C与两定圆C1：x2+(y-1)2=1和圆C2：x2+(y+1)2=4都外切,∴|cc2|-|cc1|=1<|c1c2|,然后求解即可.15、已知分别是双曲线的左和右焦点，是双曲线上的一点，且=120，求的面积()A.B.C.D.答案：D解析：解答：双曲线可化为，设由题意可得即所以故选D分析：双曲线可化为，设,然后余弦定理求解.16.双曲线C：的离心率为；渐近线的方程为．答案：|解析：解答：由双曲线的标准方程知，，则，所以.，又渐近线方程为.分析：本题考查双曲线的性质，离心率、渐近线。17.双曲线的两条渐近线的方程为.答案：解析：解答：由双曲线得a=4,b=3,故两条渐近线的方程为。分析：利用双曲线的标准方程求出a,b再利用渐近线公式求解.18．双曲线的一个焦点到中心的距离为3，那么m＝________.答案：7或－2解析：解答：(1)当焦点在x轴上，有m>5，则c2＝m＋m－5＝9，∴m＝7；(2)当焦点在y轴上，有m<0，则c2＝－m＋5－m＝9，∴m＝－2；综上述，m＝7或m＝－2.分析：双曲线的一个焦点到中心的距离为3，分情况讨论求解即可。19．如果双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的离心率为_____．答案：解析：解答：由题意知，所以离心率分析：本题旨在考查双曲线的离心率，根据公式求解即可．20.若双曲线上存在四个点，使得四边形是正方形，则双曲线的离心率的取值范围是.答案：解析：解答：由正方形的对称性可知，其对称中心在原点，且在第一象限的顶点坐标为（x,x），所以双曲线的渐近线的斜率，离心率..分析：本题考查了双曲线的性质及分析问题、解决问题的能力.21．已知双曲线的方程为x2－eq\f(y2,4)＝1，如图，点A的坐标为(－eq\r(5)，0)，B是圆x2＋(y－)2＝1上的点，点M在双曲线的右支上，求|MA|＋|MB|的最小值．答案：设点D的坐标为(eq\r(5)，0)，则点A，D是双曲线的焦点，由双曲线的定义，得|MA|－|MD|＝2a∴|MA|＋|MB|＝2＋|MB|＋|MD|≥2＋|BD|，又B是圆x2＋(y－)2＝1上的点，圆的圆心为C(0，)，半径为1，故|BD|≥|CD|－1＝－1，从而|MA|＋|MB|≥2＋|BD|≥＋1，当点M，B在线段CD上时取等号，即|MA|＋|MB|的最小值为＋1.解析：分析：本题考查了双曲线的定义分析问题、解决问题的能力.22.已知与双曲线共焦点的双曲线过点求该双曲线的标准方程？答案：已知双曲线据c2＝a2＋b2，得c2＝a2＋b2＝16＋9＝25，∴c＝5.设所求双曲线的标准方程为依题意，c＝5，∴b2＝c2－a2＝25－a2，故双曲线方程可写为∵点在双曲线上，化简得，4a4－129a2＋125＝0，解得a2＝1或又当时，b2＝25－a2＝不合题意,舍去，故a2=1,b2=24.∴所求双曲线的标准方程为解析：分析：由共焦点可求出c，然后用待定系数法求解，要注意检验.；待定系数法求双曲线标准方程的步骤(1)作判断：根据条件判断双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能．(2)设方程：根据上述判断设方程为或或mx2-ny2=1(mn＞0)．(3)寻关系：根据已知条件列出关于a，b，c（或m,n）的方程组．(4)得方程：解方程组，将a，b（m,n）代入所设方程即为所求.23．已知双曲线的右焦点为F(c,0)．（1）若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；答案：∵双曲线的渐近线为y＝±x，∴a＝b.∴c2＝a2＋b2＝2a2＝4.∴a2＝b2＝2.∴双曲线方程为（2）以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－，求双曲线的离心率．答案：设点A的坐标为(x0，y0)，∴直线AO的斜率满足·(－)＝－1.∴x0＝y0.①依题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，将①代入圆的方程得3yeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝c2，即y0＝c，∴x0＝eq\f(\r(3),2)c.∴点A的坐标为（，c）.代入双曲线方程得即b2c2－a2c2＝a2b2，②又∵a2＋b2＝c2，∴将b2＝c2－a2代入②式，整理得c4－2a2c2＋a4＝0，∴＋4＝0，∴(3e2－2)(e2－2)＝0，∵e＞1，∴e＝，∴双曲线的离心率为.解析：分析：(1)根据双曲线的一条渐近线方程为y＝x，双曲线的渐近线为y＝±x，所以a＝b.求解即可；（2）因为是以原点O为圆心，c为半径作圆，可得圆的方程为x2＋y2＝c2，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－，可设点A的坐标为(x0，y0)，直线AO的斜率满足·(－)＝－1.代入圆的方程，化简即可。24．设双曲线的两个焦点分别为F1、F2离心率e=2.（1）求此双曲线的渐近线l1、l2的方程；答案：已知：双曲线方程为．所以a=1，b=，所以渐近线方程：（2）若A、B分别为l1、l2上的点，且求线段AB的中点M的轨迹方程.答案：设A（x1，y1）、B（x2，y2）AB的中点M（x，y）∵2|AB|=5|F1F2|∴|AB|=10∴(x1，x2)2+(y1–y2)2=100，又，，x1+x2=2x，y1+y2=2y．∴，∴即（3）过点N（1，0）能否作直线l，使l与双曲线交于不同两点P、Q.且，若在，求直线l的方程，若不存在，说明理由.答案：假设存在这样的直线e，设其方程为P(x1，y1)，Q(x2，y2