高中数学人教A版第一章解三角形应用举例 第一章（三）

学习目标1.能够运用正弦、余弦定理解决航海测量中的实际问题.2.掌握三角形的面积公式的简单推导和应用．知识点一航海中的测量问题思考在浩瀚无垠的海面上航行，最重要的是定位和保持航向．阅读教材，看看船只是如何表达位置和航向的？答案用方向角和方位角．梳理方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角．方向角：从指定方向到目标方向线所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.知识点二三角形面积公式的拓展思考如果已知底边和底边上的高，可以求三角形面积．那么如果知道三角形两边及夹角，有没有办法求三角形面积？答案在△ABC中，如果已知边AB、BC和角B，边BC上的高记为ha，则ha＝ABsinB．从而可求面积．梳理在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则△ABC的面积S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB.类型一航海中的测量问题例1如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行nmile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32°的方向航行nmile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离？(角度精确到°，距离精确到nmile)解在△ABC中，∠ABC＝180°－75°＋32°＝137°，根据余弦定理，AC＝eq\r(AB2＋BC2－2AB×BC×cos∠ABC)＝eq\r＋－2×××cos137°)≈.根据正弦定理，eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，sin∠CAB＝eq\f(BCsin∠ABC,AC)≈eq\f137°,≈5，所以∠CAB＝°，75°－∠CAB＝°.答此船应该沿北偏东°的方向航行，需要航行nmile.反思与感悟解决航海问题一要搞清方位角(方向角)，二要弄清不动点(三角形顶点)，然后根据条件，画出示意图，转化为解三角形问题．跟踪训练1甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时eq\r(3)a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？解如图所示．设经过t小时两船在C点相遇，则在△ABC中，BC＝at(海里)，AC＝eq\r(3)at(海里)，B＝90°＋30°＝120°，由eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AC,sinB)，得sin∠CAB＝eq\f(BCsinB,AC)＝eq\f(at×sin120°,\r(3)at)＝eq\f(\f(\r(3),2),\r(3))＝eq\f(1,2)，∵0°<∠CAB<90°，∴∠CAB＝30°，∴∠DAC＝60°－30°＝30°，∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．类型二三角形面积公式的应用命题角度1求面积例2在△ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S.(精确到cm2)(1)已知a＝cm，c＝cm，B＝°；(2)已知B＝°，C＝°，b＝cm；(3)已知三边的长分别为a＝cm，b＝cm，c＝cm.解(1)应用S＝eq\f(1,2)casinB，得S＝eq\f(1,2)×××sin°≈(cm2)．(2)根据正弦定理eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，得c＝eq\f(bsinC,sinB)，S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)b2eq\f(sinCsinA,sinB)，A＝180°－(B＋C)＝180°－°＋°)＝°，S＝eq\f(1,2)××eq\f(sin°sin°,sin°)≈(cm2)．(3)根据余弦定理的推论，得cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ca)＝eq\f＋－,2××≈7，sinB＝eq\r(1－cos2B)≈eq\r(1－72)≈4.应用S＝eq\f(1,2)casinB，得S≈eq\f(1,2)×××4≈(cm2)．反思与感悟三角形面积公式S＝eq\f(1,2)absinC，S＝eq\f(1,2)bcsinA，S＝eq\f(1,2)acsinB中含有三角形的边角关系．因此求三角形的面积，与解三角形有密切的关系．首先根据已知，求出所需，然后求出三角形的面积．跟踪训练2在△ABC中，AB＝eq\r(3)，AC＝1，B＝30°，求△ABC的面积．解由正弦定理，得eq\f(1,sin30°)＝eq\f(\r(3),sinC)，∴sinC＝eq\f(\r(3),2).∵0°<C<180°，∴C＝60°或120°.①当C＝60°时，A＝90°，∴S△ABC＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×1＝eq\f(\r(3),2)；②当C＝120°时，A＝30°，S△ABC＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×1×sin30°＝eq\f(\r(3),4).命题角度2已知三角形面积例3在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝eq\f(π,3).若△ABC的面积等于eq\r(3)，求a，b.解由余弦定理及已知条件，得a2＋b2－ab＝4，又因为△ABC的面积等于eq\r(3)，所以eq\f(1,2)absinC＝eq\r(3)，得ab＝4，联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2－ab＝4，,ab＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝2.))反思与感悟题目条件或结论中若涉及三角形的面积，要根据题意灵活选用三角形的面积公式．跟踪训练3如图所示，已知半圆O的直径为2，点A为直径延长线上的一点，OA＝2，点B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC，求B在什么位置时，四边形OACB的面积最大．解设∠AOB＝α，在△ABO中，由余弦定理，得AB2＝12＋22－2×1×2cosα＝5－4cosα，α∈(0，π)，∴S＝S△AOB＋S△ABC＝eq\f(1,2)OA·OB·sinα＋eq\f(\r(3),4)AB2＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＋eq\f(5,4)eq\r(3).当α－eq\f(π,3)＝eq\f(π,2)，α＝eq\f(5π,6)，即∠AOB＝eq\f(5π,6)时，四边形的面积最大．1．一艘海轮从A处出发，以40nmile/h的速度沿南偏东40°方向直线航行，30min后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()A．10eq\r(2)nmile B．10eq\r(3)nmileC．20eq\r(2)nmile D．20eq\r(3)nmile答案A解析如图所示，由已知条件可得，∠CAB＝30°，∠ABC＝105°，AB＝40×eq\f(1,2)＝20(nmile)．∴∠BCA＝45°，∴由正弦定理可得eq\f(AB,sin45°)＝eq\f(BC,sin30°).∴BC＝eq\f(20×\f(1,2),\f(\r(2),2))＝10eq\r(2)(nmile)．2．已知三角形面积为eq\f(1,4)，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为()A．1B．2\f(1,2)D．4答案A解析设三角形外接圆半径为R，则由πR2＝π，得R＝1，∵S△＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(abc,4R)＝eq\f(abc,4)＝eq\f(1,4)，∴abc＝1.3．在△ABC中，已知a＝3eq\r(2)，cosC＝eq\f(1,3)，S△ABC＝4eq\r(3)，则b＝________.答案2eq\r(3)解析∵cosC＝eq\f(1,3)，C∈(0，eq\f(π,2))，∴sinC＝eq\r(1－cos2C)＝eq\f(2\r(2),3)，∵eq\f(1,2)absinC＝4eq\r(3)，a＝3eq\r(2)，∴b＝2eq\r(3).1．在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．2．解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之．(2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解．40分钟课时作业一、选择题1．台风中心从A地以20km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30km内的地区为危险区，城市B在A的正东40km处，则B城市处于危险区内的时间为()A．hB．1hC．hD．2h答案B解析设A地东北方向上点P到B的距离为30km时，AP＝x，在△ABP中，PB2＝AP2＋AB2－2AP·ABcosA，即302＝x2＋402－2x·40cos45°，化简得x2－40eq\r(2)x＋700＝0.设该方程的两根为x1，x2，则P点的位置有两处，即P1，P2.则|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝400，|x1－x2|＝20，即P1P2＝20(km)，故t＝eq\f(P1P2,v)＝eq\f(20,20)＝1(h)．故选B.2．甲骑电动车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是()A．6km B．3eq\r(3)kmC．3eq\r(2)km D．3km答案C解析由题意知，AB＝24×eq\f(1,4)＝6(km)，∠BAS＝30°，∠ASB＝75°－30°＝45°.由正弦定理，得BS＝eq\f(ABsin∠BAS,sin∠ASB)＝eq\f(6sin30°,sin45°)＝3eq\r(2)(km)．3．在△ABC中，已知面积S＝eq\f(1,4)(a2＋b2－c2)，则角C的度数为()A．135°B．45°C．60°D．120°答案B解析∵S＝eq\f(1,4)(a2＋b2－c2)＝eq\f(1,2)absinC，∴a2＋b2－c2＝2absinC，∴c2＝a2＋b2－2absinC.由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC，∴sinC＝cosC，∴tanC＝1，又∵C∈(0°，180°)，∴C＝45°.4．已知三角形的三边分别为a，b，c，面积S＝a2－(b－c)2，则cosA等于()\f(2,3)\f(4,5)\f(12,13)\f(15,17)答案D解析S＝a2－(b－c)2＝a2－b2－c2＋2bc＝－2bccosA＋2bc，∵S＝eq\f(1,2)bcsinA，∴eq\f(1,2)bcsinA＝2bc－2bccosA.即4－4cosA＝sinA.平方得17cos2A－32cosA＋15＝0.即(17cosA－15)(cosA－1)＝0.得cosA＝1(舍)或cosA＝eq\f(15,17).5．在△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为()\f(\r(3),2)\f(3\r(3),4)\f(15\r(3),2)\f(15\r(3),4)答案D解析在△ABC中，由余弦定理知AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cosB，即49＝BC2＋25－2×BC×5×(－eq\f(1,2))，整理得BC2＋5BC－24＝0，解得BC＝3或BC＝－8(舍去)．S△ABC＝eq\f(1,2)×AB×BC×sin120°＝eq\f(1,2)×5×3×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(15\r(3),4).6．在△ABC中，若cosB＝eq\f(1,4)，eq\f(sinC,sinA)＝2，S△ABC＝eq\f(\r(15),4)，则b等于()A．4B．3C．2D．1答案C解析依题意得，c＝2a，b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋(2a)2－2×a×2a×eq\f(1,4)＝4a2，所以b＝c＝B＝eq\r(1－cos2B)＝eq\f(\r(15),4)，又S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)×eq\f(b,2)×b×eq\f(\r(15),4)＝eq\f(\r(15),4)，所以b＝2，选C.二、填空题7．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则sinB＝________.答案eq\f(3\r(3),14)解析由正弦定理，得eq\f(7,sin120°)＝eq\f(5,sinC)，∴sinC＝eq\f(5\r(3),14)且C为锐角(A＝120°)．∴cosC＝eq\f(11,14).∴sinB＝sin(180°－120°－C)＝sin(60°－C)＝eq\f(\r(3),2)cosC－eq\f(1,2)sinC＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(11,14)－eq\f(1,2)×eq\f(5\r(3),14)＝eq\f(3\r(3),14).8．某海岛周围38海里有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30海里后，测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船________触礁的危险．(填“有”或“没有”)答案没有解析如图所示，在△ABC中，AB＝30，∠BAC＝30°，∠ABC＝135°，∴∠ACB＝15°，由正弦定理，得BC＝eq\f(ABsin∠BAC,sin∠ACB)＝eq\f(30×sin30°,sin15°)＝eq\f(15,\f(\r(6)－\r(2),4))＝15(eq\r(6)＋eq\r(2))．过点C作CD垂直于AB，交AB的延长线于点D.在Rt△BDC中，CD＝eq\f(\r(2),2)BC＝15(eq\r(3)＋1)>38.所以没有触礁的危险．9．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A船到灯塔的距离为2km，B船在灯塔C北偏西40°处，A，B两船间的距离为3km，则B船到灯塔C的距离为________km.答案eq\r(6)－1解析由题意知，∠ACB＝80°＋40°＝120°，AC＝2km，AB＝3km，设B船到灯塔C的距离为xkm，即BC＝xkm.由余弦定理可知AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos∠ACB，即9＝4＋x2－2×2x×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，整理得x2＋2x－5＝0，解得x＝－1－eq\r(6)(舍去)或x＝－1＋eq\r(6)(km)．三、解答题10．已知△ABC的面积为1，tanB＝eq\f(1,2)，tanC＝－2，求△ABC的各边长以及△ABC外接圆的面积．解∵tanB＝eq\f(1,2)>0，∴B为锐角，∴sinB＝eq\f(\r(5),5)，cosB＝eq\f(2\r(5),5).∵tanC＝－2<0，∴C为钝角，∴sinC＝eq\f(2\r(5),5)，cosC＝－eq\f(\r(5),5)，∴sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝eq\f(\r(5),5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),5)))＋eq\f(2\r(5),5)×eq\f(2\r(5),5)＝eq\f(3,5).∵S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝2R2sinAsinBsinC＝2R2×eq\f(3,5)×eq\f(\r(5),5)×eq\f(2\r(5),5)＝1.∴R2＝eq\f(25,12)，R＝eq\f(5\r(3),6).∴πR2＝eq\f(25,12)π，即外接圆的面积为eq\f(25,12)π.∴a＝2RsinA＝eq\r(3)，b＝2RsinB＝eq\f(\r(15),3)，c＝2RsinC＝eq\f(2\r(15),3).综上，a＝eq\r(3)，b＝eq\f(\r(15),3)，c＝eq\f(2\r(15),3)，△ABC外接圆的面积为eq\f(25,12)π.11．如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，求cosθ的值．解在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×