四阶行列式计算方法的一些教学探讨

四阶行列式计算方法的一些教学探讨【摘要】行列式的计算是线性代数中主要的基础知识之一，利用倍加性质造零是四阶行列式的计算方法中最关键的步骤，也是难点。针对高职高专学生的特点，总结出学生容易理解接受的新技巧———找1造0，横写竖算（竖写横算），有效地突破这一难点，提高教学效果。【关键词】四阶行列式；倍加造零；找1造0；横写竖算；竖写横算行列式计算的思想和方法其实是以行列式的性质为工具，把四阶行列式化为一些特殊的行列式或是三阶行列式来求解。而数字行列式一般是降为三阶行列式来进行计算，因此计算方法离不开倍加性质和拉普拉斯展开式。二、分析探讨我们先回忆一下倍加性质：把行列式的某一行（列）的元素乘以常数k，再加到另一行（列）的对应元素上，行列式的值不变。这条性质主要用于把元素化为零，因此又叫“倍加造”下几点：行化。（2）“倍加”二字包括乘法和加法两种运算，也就意味着具体计算是先乘法后加法。（3）常数k如何取，取什么数才能合乎题意，这是难点。（4）最终目的是造零，零的个数越多，求解就越简便，但某一行（列）最多也就是三个零。对于四阶行列式的求解有两种办法，一种是利用拉普拉斯展开式，直接降阶为三阶行列式，这种计算方法的缺点是计算量大，至少要计算两个或两个以上的三阶行列式。而通过倍加造零后再降阶，造零后的四阶行列式最终可以直接转化成一个三阶行列式来计算。目标：先把四阶行列式的某一行（列）的三个元素变成零。为了使造零的过程简单些，再根据高职高专学生的水平基础，我们一般先找到最多零所在的行或列，最后留住一个1，造三个0；找到某一行就是横写，找到某一列就是竖写，写啥呢？写一个1，三个0，写完以后，记得明确横写，那么造零的过程只能列与列之间的倍加变换；竖写，那么造零的过程就只能行与行之间的倍加变换。这就是第一个技巧叫横写竖算或竖写横算。以实际例子来示范，比如：，我们先找到最多零的第二行（也可以第四行，方法类似），上10；析的二个，以第一列和第二列的元素全部保持不变，再接着写完整就是，第一个步骤完成。接下来分析，真正要计算的元素实际上只有6个，这6个如何计算，利用倍加性质。先看第三个元素由变成0，利用倒推法，只有加上1才等于0，找1造0，相当于1只要乘以1倍还是1，因此得到第一列乘以常数1，再加到第三列，；同理可知第四个元素的造法，由2变成0，只有加上，相当于1只要乘以就行，因此是第一列乘以常数，再加到第四列，这就是找1造零。最后再利用拉普拉斯展开式，转化成一个三阶行列式来计算。综合起来：这个解题技巧就是横写竖算，找1造0.同理我们也可以进行竖写横算，比如我们找到最多零的第二列（也可以第四列，方法类似），按上述步骤，先竖写好1和0，对比原式第一行和第二行没有变化，所以；第二步找1造0，第一行乘以加到第三行，第一行乘以加到第四行，；最后再降为三阶行列式计算。综合起来：利用横写竖算（竖写横算）和找1造0这两个技巧，高职高专的学生更容易找到解题的方法和诀窍，计算起来也更加准确清晰，不会被这么多数字搞迷糊。当然，在倍加造零这条性质里，并不仅仅只能找1造0，其实找任何数字都可以造0，只不过按照高职高专学生的基础而言，找1造0是最简单也是最容易计算的，这种题型在实际求解题型中也是最多的。如果找其他数字造零，倍数有可能需要的是分数，而不是整数，计算起来相对复杂一些，但原理也是一样的。比如上题，找0多的所在行（列）展开降阶，这一分析过程和前面是一样的，我们仍以第二列展开，第二行的4个元素1、0、3、1，如果不找1来造0，我们选择3来造0，那么3要把1变成0的话，1依旧加上才能等于0，但倍数要从3得到的话，只能是3乘以