第三章2时域求解3.1

第三章连续系统的时域分析教学要求：3、深刻理解系统单位冲激响应和阶跃响应；4、牢固掌握卷积积分的运算规律、主要性质，熟练求取卷积积分；5、能够应用卷积积分的方法求线性时不变系统的零状态响应1、了解描述系统激励与响应关系的微分方程时域求解方法；了解系统的特征方程、特征根的意义；2、深刻理解系统全响应的三种分解方式：

零输入响应与零状态响应；自由响应与强迫响应；瞬态响应与稳态响应;

教学重点与难点：

1、微分方程及其解的基本特点；2、阶跃响应和冲激响应的求解；

3、卷积运算（难点）；

4、卷积及其在系统分析中的应用。3.1系统的微分方程描述及其求解3.1.1系统的微分方程RLC电路的微分方程为：n阶LTI连续系统微分方程的通式齐次解特解

3.1.2微分方程的经典解微分方程的解可以分为齐次解和特解之和。自由响应强迫响应系统的全响应可以分解为自由响应与强迫响应之和。若设该微分方程的特征根为，则相应的特征方程为：根据特征方程的特征根的不同形式，决定齐次解的不同形式。（1）齐次解（自由响应）齐次解就是齐次微分方程的解（a）当特征方程存在n个不同的单根：、……则其解为：其中为待定常数，由系统的初始状态决定（b）当特征方程存在r个重根和n-r个单根及则其解为：其中和为待定常数，由系统的初始状态决定(2)特解微分方程的特解形式取决于外界激励信号的函数形式。（P60）表3.1-1特征根为齐次解yh(t)【例1】

已知某二阶线性时不变连续时间系统的微分方程如下

初始条件y(0)=1,y’(0)=2,输入信号，求系统的完全响应y(t)。

1)求齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t)=0的齐次解yh(t)特征方程为解：2)求非齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t)=

f(t)的特解yp(t)由输入f(t)的形式，设方程的特解为将特解带入原微分方程即可求得常数K=1/3解得

C1=5/2，C2=-11/63)求方程的全解代入初始值，得

3.1.3系统的零输入响应和零状态响应零输入响应是指：外界激励，系统靠初始储能所维持的响应即；零状态响应是指：系统初始储能为零，系统靠外界激励来维持的响应。可以将零输入响应看成是一种系统内部特殊“电源”作用下的响应，即将初始状态等效成理想电压源或理想电流源。系统的响应可分为两部分响应之和：1）零输入响应（Zero－InputResponse）对微分方程，零输入响应则是f(t)=0，仅由系统初始储能所引起的响应y(t)零输入响应的求解相当于求微分方程的齐次解，但条件应用不同。初始状态2）零状态响应（Zero-StateResponse）当系统中储能为零时，由外加的输入激励信号f（t）产生的响应称为零状态响应。零状态响应的解可表示为：

yf(t)=齐次解+特解初始状态3）全响应y(t)的求法零输入响应和零状态响应都已求出，则全响应为自由响应448447632148476零状态响应强迫响应零输入响应)(ee)()()(11tycctytytypnitfnitxfxiiii++=+=åå==ll32143421强迫响应自由响应)(e1tycpnitii+=å=l完全响应＝自由响应＋强迫响应＝零输入响应＋零状态响应＝齐次解＋特解＝暂态响应＋稳态响应全解【例2】已知系统的输入输出方程为起始状态为 。求自由响应、强迫响应和零输入响应、零状态响应。得，特征根

λ=-3λ+3=0【解】首先求自由响应和强迫响应。由特征方程所以，齐次解为

设特解yp(t)=A，代入微分方程，得A=1。

所以

全解为

已知

所以由此，系统自由响应和强迫响应分别为

求零输入响应和零状态响应：可设零输入响应、零状态响应分别为因为 ，可分别解得

所以，系统零输入响应和零状态响应分别为

全响应强迫响应自由响应零状态响应零输入响应注：1、自由响应的变化规律取决于系统的特征根（固有频率），强迫响应则取决于外加激励的形式；2、瞬态响应表示随着t的增长，响应最终趋于零的分量，稳态响应则表示了响应恒定或保持为某个稳定函数的关系。稳态响应瞬态响应3.2.1阶跃响应阶跃响应是指系统在阶跃信号u(t)作用下所产生的零状态响应。LTI系统f(t)=u(t)x(0)=0y(t)LTI系统的单位阶跃响应3.2冲激响应与阶跃响应对于一阶系统

则阶跃响应：特解特征根代入原微分方程，求特解的系数阶跃响应所以阶跃响应为3.2.2冲激响应LTI系统f(t)=δ(t)x(0)=0y(t)=h(t)图：LTI系统单位冲激响应