第2章动能定理

例题第2章动能定理1半径为2r的圆轮在水平面上作纯滚动如图示，轮轴上有绕有软绳，轮轴半径为r，绳上作用常值水平拉力F，求轮心C运动x距离时，力F所作的功。

2rOrCxF例题2-1例题

第2章

动能定理2例题2-1例题

第2章

动能定理3将力F向轮心简化，产生力偶MC=Fr

，轮的转动角度为。根据式力F所作的功为2rOrCxF解：例题2-1例题

第2章

动能定理4

坦克或拖拉机履带单位长度质量为，轮的半径为r，轮轴之间的距离为d，履带前进的速度为v0。求全部履带的总动能。v0C2C1dr例题2-2例题

第2章

动能定理5例题2-2例题

第2章

动能定理6v0C2C1dr

解：在C1C2杆上建立动系C1x´y´。x´y´

牵连运动为水平平移，牵连速度为v0；

相对运动为绕在两个作定轴转动圆轮上履带的运动。圆轮的角速度为＝v0/r,履带上各点的相对速度均为v0。例题2-2v0例题

第2章

动能定理7应用柯希尼定理，全部履带的总动能为例题2-2v0C2C1drx´y´v0例题

第2章

动能定理8

平台的质量

m

=

30kg，固连在刚度系数

k

=

18N·mm－1的弹性支承上。现在从平衡位置给平台以向下的初速度v0

=

5m·s－1，求平台由这位置下沉的最大距离s，以及弹性支承中承受的最大力，假设平台作平动。例题2-3l0λ1=

λssλ2=λs+sv0A1A2v2=0mgF(a)(b)(c)例题

第2章

动能定理9例题2-3例题

第2章

动能定理10解：

取平台为研究对象。从平衡位置A1(图a)运动到最大下沉位置A2(图b)，平台的初动能

T1=mv02/2

，而末动能

T2=0

。弹簧的初变形1=

s=mg/k，末变形

2=s+s

，作用在平台上的力有重力mg

和弹性力

F(图c)。例题2-3l0λ1=

λssλ2=λs+sv0A1A2v2=0mgF(a)(b)(c)例题

第2章

动能定理11根据动能定理的积分形式2202210skmv-=-由此求得平台的最大下沉距离弹性支承有最大压缩量2=s+s

,故承受的最大压力Fmax=k(s+s)=mg+ks=4kN2222])([2ssllskkmgWss-=+-+=s=204mm它们的总功为l0λ1=

λsδλ2=λs+δv0A1A2v2=0mgF(a)(b)(c)例题2-3例题

第2章

动能定理12

运送重物用的卷扬机如图a所示。已知鼓轮重

W1，半径是

r,对转轴

O的回转半径是

。在鼓轮上作用着常值转矩

MO，使重

W2的物体

A沿倾角为

的直线轨道向上运动。已知物体

A与斜面间的动摩擦因数是

f；假设系统从静止开始运动，绳的倾斜段与斜面平行，绳的质量和轴承

O

的摩擦都忽略不计。试求物体

A沿斜面上升距离

s时，物体

A的速度和加速度。(a)sA2AA1OMOα例题2-4例题

第2章

动能定理13

用v表示这时物体的速度大小。则鼓轮的角速度大小=v/r。从而有系统从静止开始运动的，初动能

T1=0。在重物上升的单向路程为s时。系统的动能T2可计算如下。取鼓轮、绳索和物体A组成的系统为研究对象。解:(b)AOM0W2FNFFOxFOyW1av例题2-4例题

第2章

动能定理14由此求出物体

A的速度根据动能定理的积分形式T2T1=W，有在物体

A上升

s路程中，作用在系统上的力的总功为(b)AOM0W2FNFFOxFOyW1av例题2-4例题

第2章

动能定理15根号内必须为正值，故当满足条件MO≥W2r(sin+fcos)时，卷扬机才能开始工作。把上式中的s看作变值，并求两端对时间

t的导数，有考虑到在单向的直线运动中

dv/dt=a，ds/dt

=v，故例题2-4例题

第2章

动能定理16

物体

A

装在下部有轮子

B

的铅直轴

z

上，轮B的半径是

r

，其上缠着不可伸长的细绳。此绳跨过小滑轮

C

，在下端系有质量是

m的物块

D

。当物块下降时，带动

A

绕轴

z

旋转。(1)已知轴

z上物体系对此轴的转动惯量为

Jz

,试求物块D由静止开始下降距离

s

时的速度和加速度；

(2)若由试验测得当物块下降距离

s

所需的时间是t

，试求重物A

对转轴

z

的转动惯量。轴承摩擦,空气阻力以及小滑轮C和绳索的质量都不计。17-9(b)ωAvzBrsmgaCD例题2-5例题

第2章

动能定理17解：

取整个系统为研究对象。作用在系统上的全部约束力的功总和为零。物块下降过程中，只有物块D做功W

=

mgs系统的初动能

T1=0，而末动能根据T2T1=W，得17-9(b)ωAvzBrsmgaCD例题2-5例题

第2章

动能定理18由此求得物块D的速度把式(1)中

s看作时间的函数，求此式两端对时间的导数故由上式求得物块D的加速度17-9(b)ωAvzBrsmgaCD例题2-5例题

第2章

动能定理19因初速度为v0=0，故由直线匀变速运动公式，得物块

D的运动规律从而得关系式17-9(b)ωAvzBrsmgaCD例题2-5例题

第2章

动能定理20

系统在铅直平面内由两根相同的匀质细直杆构成，

A，B为铰链，D为小滚轮，且AD水平。每根杆的质量m=6kg，长度l=0.75m。当仰角1=60º时，系统由静止释放。求当仰角减到2=20º时杆AB的角速度。摩擦和小滚轮的质量都不计。ABDFEmgmgα1α1(a)BAFEmgmgα2α2(b)例题2-6例题

第2章

动能定理21例题2-6例题

第2章

动能定理22解:

取整个系统为研究对象，其中杆AB定轴转动，而杆BD平面运动。由图b知，杆BD的速度瞬心是Cv。分析点B的速度有

由于BCv

=BD=AB，代入上式，求得ωAB=ωBDAB

·ωAB=BCv

·ωBDABDFEmgmgFAxFAyFD(a)BADFEmgmgF'AxF'AyF'Dα2α2ωBDωAB(b)vBvDCvα1α1例题2-6例题

第2章

动能定理23ωAB=ωBD但两者的转向相反。另外，当2=20º时，有DCv=2lsin20º由余弦定理可求得Cv

E

，从而得杆BD质心C的速度vE

=Cv

E

·ωBDABDFEmgmgFAxFAyFD(a)BADFEmgmgF'AxF'AyF'DvBvDα2α220º20º70º70ºωBDωAB(b)Cvα1α1vE例题2-6例题

第2章

动能定理24

在运动过程中，只有杆的重力做功。所以作用在系统中的力在运动过程中的总功为系统开始时处于静止，初动能

T1=0，而末动能等于ABDFEmgmgFAxFAyFD(a)BADFEmgmgF'AxF'AyF'DvBvEvDα2α220º20º70º70ºωBDωAB(b)Cvα1α1例题2-6例题

第2章

动能定理25从而得杆AB的角速度大小ωAB=3.9rad·s－1(顺钟向)代入动能定理积分形式的方程

T2T1=W例题2-6例题

第2章

动能定理26

如图所示质量为

m1

的物块

A

悬挂于不可升长的绳子上，绳子跨过滑轮与铅直弹簧相连，弹簧刚度系数为

k。设滑轮的质量为m2，并可看成半径是

r

的匀质圆盘。现在从平衡位置给物块

A

以向下的初速度

v0

，试求物块

A由这位置下降的最大距离s，弹簧和绳子的质量不计。skAv0v2=0O例题2-7例题

第2章

动能定理27例题2-7例题

第2章

动能定理28解：

取整个系统作为研究对象。系统运动过程中做功的力为有势力(重力和弹性力)，故可用机械能守恒定律求解。

取物块A的平衡位置作为初位置。弹簧的初变形λ1=λs=m1g/k。物块

A有初速度

v1=v0，故系统初动能skAv0v2=0O

以物块

A的最大下降点作为末位置，则弹簧的末变形λ2=λs+s；系统的末动能

T2=0。例题2-7例题

第2章

动能定理29

取弹簧未变形时的位置作为弹性力场的零点，又取物块A的平衡位置作为重力场的零点。于是，系统的初势能

，而末势能应用机械能守恒定律，有考虑到λ1=λs，λ2=λs+s，m1g=kλs

，将上式整理后得从而求得物块A的最大下降距离skAv0v2=0O例题2-7例题

第2章

动能定理30质量为m的物体，自高处自由落下，落到下面有弹簧支持的板上，如图所示。设板和弹簧的质量都忽略不计，弹簧的刚度系数为k。求弹簧的最大压缩量。mⅠⅡⅢhsmax例题2-8例题

第2章

动能定理31例题2-8例题

第2章

动能定理32求得物体从位置Ⅰ落到板上时是自由落体运动，速度由0增到v1，动能由0变为。mⅠⅡⅢhsmax在这段过程中，重力作的功为mgh。应用动能定理得解：例题2-8例题

第2章

动能定理33在这段过程中重力作的功为

mgsmax

，弹簧力作的功为。物体继续向下运动，弹簧被压缩，物体速度逐渐减小。当速度等于零时，弹簧被压缩到最大值smax。mⅠⅡⅢhsmax应用动能定理得例题2-8例题

第2章

动能定理34求得由于弹簧的压缩量必定是正值，因此答案取正号，即mⅠⅡⅢhsmax例题2-8例题

第2章

动能定理35同时也可把上两段合在一起考虑，即对质点从开始下落至弹簧压缩到最大值的过程应用动能定理。解得的结果与前面所得相同。mⅠⅡⅢhsmax在这一过程的始末位置质点的动能都等于零。在这一过程中，重力作的功为mg(h+smax)，弹簧力作的功同上，于是有例题2-8例题

第2章

动能定理36卷扬机如图所示。鼓轮在常力偶M的作用下将圆柱沿斜坡上拉。已知鼓轮的半径为R1，质量为m1，质量分布在轮缘上；圆柱的半径为R2，质量为m1，质量均匀分布。设斜坡的倾角为θ，圆柱只滚不滑。系统从静止开始运动，求圆柱中心C经过路程s时的速度。θOMDC例题2-9例题

第2章

动能定理37圆柱和鼓轮一起组成质点系。作用于该质点系的外力有：重力m1g和m2g，外力偶M，水平轴支反力FOx和FOy，斜面对圆柱的作用力FN和静摩擦力Fs。应用动能定理进行求解，先计算力的功。因为点O没有位移。力FOx，FOy和m1g所作的功等于零；圆柱沿斜面只滚不滑，边缘上任一点与地面只作瞬时接触，因此作用于瞬心D的法向约束力FN和摩擦力Fs不作功，此系统只受理想约束，且内力作功为零。解：θOMCm1gFOxFOym2gFNFsDω1ω2例题2-9例题

第2章

动能定理38质点系的动能计算如下：式中J1，JC分别为鼓轮对于中心轴O，圆柱对于过质心C的轴的转动惯量：ω1和ω2分别为鼓轮和圆柱的角速度，即主动力所作的功计算如下：θOMCm1gFOxFOym2gFNFsDω1ω2例题2-9例题

第2章

动能定理39由动能定理得以代入，解得：于是θOMCm1gFOxFOym2gFNFsDω1ω2例题2-9例题

第2章

动能定理40在绞车的主动轴Ⅰ上作用一恒力偶M以提升重物，如图所示。已知重物的质量为m；主动轴Ⅰ和从动轴Ⅱ连同安装在轴上的齿轮附件的转动惯量分别为J1和J2，传动比；鼓轮的半径为R。轴承的摩擦和吊索的质量均可不计。绞车开始静止，求当重物上升的距离为h时的速度。ⅠⅡMmg例题2-10例题

第2章

动能定理41例题2-10例题

第2章

动能定理42解：选取绞车和重物为研究的质点系。

将代入上式，得把重物的静止位置和升高了h的位置作为质点系运动的始点和终点，在这两瞬时的动能分别为ⅠⅡMmg例题2-10例题

第2章

动能定理43质点系具有理想约束，各处约束反力的功等于零；质点系内力功的和显然等于零。因，，于是由动能定理得（a）主动力的功为ⅠⅡMmg例题2-10例题

第2章

动能定理44解得

重物运动过程中，速度v及上升的距离h都是变化的，将式（a）两端对时间取一阶导数，并注意到上式两端消去v，可求得重物的加速度得ⅠⅡMmg例题2-10例题

第2章

动能定理45材料承受冲击的能力可在冲击试验机上测定，如图所示。试验机摆锤质量为18kg，重心到转动轴的距离l=840mm。杆重不计。试验开始时，将摆锤升高到摆角的地方然后释放，冲断试件后，摆锤上升的摆角。求冲断试件需用的能量。试件lα1α2mg例题2-11例题

第2章

动能定理46解：冲断试件前后，摆锤的角速度发生突然变化。摆锤损失的动能被试件吸收，就是冲断试件需用的能量。设摆锤冲击试件前的角速度为ω1，将试件冲断后摆锤的角速度为ω2。角速度的变化是在冲击的一瞬间发生的，这时摆锤在铅直位置。摆锤在的位置开始下落，这时角度速度等于零，因此动能等于零。当摆锤落到铅直位置与试件相撞前，角速度为ω1，这时动能为T1。在这一过程中重力作正功。先研究冲击试件前的下落过程。试件lα1α2mg例题2-11例题

第2章

动能定理47代入已知数据，得现在研究冲断试件后摆锤的上升过程。刚冲断试件的瞬时，设摆锤的角速度为ω2，动能为T2。当摆锤到达最高位置时，角速度为零，动能等于零，在这过程中，重力作负功。代入已知数据，得根据动能定理有根据动能定理有试件lα1α2mg例题2-11例题

第2章

动能定理48摆锤在冲断试件时损失的动能等于冲断试件需要的能量Wk，即设试件的最小横断面面积为S，则有称为材料的冲击韧度，它是衡量材料抵抗冲击能力的一个指标。试件lα1α2mg例题2-11例题

第2章

动能定理49此例题也可以在α1和α2两摆角之间直接应用动能定理。代入数据，同样求得试件lα1α2mg根据动能定理，有例题2-11例题

第2章

动能定理50如图所示的鼓轮D匀速转动，使绕在轮上钢索下端的重物以v=0.5m·s－1匀速下降，重物质量为m=250kg。设当鼓轮突然卡住时，钢索的刚度系数k=3.35×106N·m－1

。求此后钢索的最大张力。δstmgδmaxⅠⅡ自然位置平衡位置D例题2-12例题

第2章

动能定理51

轮匀速转动时，重物处于平衡状态，临卡住的前一瞬刻钢索的伸长量，钢索的张力。当鼓轮被卡住后，由于惯性，重物将继续下降，钢索继续伸长，钢索对重物作用的弹性力逐渐增大，重物的速度逐渐减小。当速度等于零时，弹性力达最大值，此值等于钢索的最大张力。解：δstmgδmaxⅠⅡ自然位置平衡位置D例题2-12例题

第2章

动能定理52取重物平衡位置为重力和弹性力的零势能点，则在Ⅰ、Ⅱ两位置系统的势能分别为因,于是有注意到，上式可改写为因重物只受重力和弹性力的作用，因此系统的机械能守恒。δstmgδmaxⅠⅡ自然位置平衡位置D例题2-12例题

第2章

动能定理53因δmax应大于δst，因此上式应取正号。解得钢索的最大张力为代入数据，求得由此可见，当鼓轮被突然卡住后，钢索的张力增大了5.9倍。δstmgδmaxⅠⅡ自然位置平衡位置D例题2-12例题

第2章

动能定理54求第二宇宙速度。第二宇宙速度是使宇宙飞船能脱离地球引力场，从地面发射所需的最小速度。取宇宙飞船为研究质点，设飞船质量为m1，地球质量为m2。飞船仅受地球引力的作用，在引力场内运动时机械能守恒。取离地球无限远处为零势能点，设在地球表面附近飞船的速度为v1，此后某一时刻的速度为v2，根据机械能守恒定律有解：例题2-13例题

第2章

动能定理55

代入上式，得在地球表面，地球引力等于重力，即欲使宇宙飞船脱离地球引力场飞向太空，应在r2→∞

处时v2=0。又有r1=R=6370km(地球半径)，代入上式，可求得第二宇宙速度例题2-13例题

第2章

动能定理56一空间飞行器返回地球时，设飞行轨道AB为通过地球中心O的平面内的椭圆曲线，并在大气层之外。已知在A点的速度为vA=2.5km·s－1

，A点离地心的距离rA=17000km。B点离地心的距离rB=17000

km，如图所示。求飞行器在B点的速度vB。AOPBvAvvBrrArBF例题2-14例题

第2章

动能定理57例题2-14例题

第2章

动能定理58此题可应用质点动能定理求解。AOPBvAvvBrrArBF解：由质点动能定理得不计空气阻力，设飞行器在任一位置P的速度为v，只受地球的引力F作用。按牛顿引力规律此处G为引力常数，m为飞行器的质量，Me为地球的质量。例题2-14例题

第2章

动能定理59代入数据和R=6370km，得由于则AOPBvAvvBrrArBF例题2-14例题

第2章

动能定理60绳的一端系小球，另端固定，如图所示。设球以初速vA=3m·s－1从位置OA摆下，当摆到铅直位置时，绳受到固定在O1点的钉子限制，开始绕此点摆动。已知l=1m,h=0.7m,θA=60°。（1）求小球到达点C时的速度vC。（2）设球的质量为m=0.5kg，不计绳的质量，设绳碰撞时无能量损失。求当绳碰到O1点的钉子前、后，且仍在铅直位置时，绳中的拉力TB

和

TB'。hCABMM'O1Oll'θAθvAvC例题2-15例题

第2章

动能定理61例题2-15例题

第2章

动能定理62球的轨迹可分为两段：一段是以O为中心、l为半径的圆弧AB。另一段是以O1为中心、l'为半径的圆弧BC。显然绳的拉力T在运动过程中总垂直位移，故拉力T的功，而重力的功。代入后得

(a)解：hCABMM'O1OvATmgvvCll'θAθA到B的运动阶段，球的受力图如图中M位置所示。应用质点动能定理，得1.求小球到达点C时的速度vC。例题2-15例题

第2章

动能定理63再考察B到C的运动阶段，球的受力图如图中M′

位置所示，应用质点动能定理，得同理，约束力的功，而重力的功为(b)hCABMM'TmgO1OvAvvCll'θAθmgv'T'代入后得将式

代入得例题2-15例题

第2章

动能定理64如果把ABC视作一个连续运动的阶段，应用质点动能定理，因绳的拉力不作功，得得（c）将数据代入（c），得hCABMM'TmgmgO1OvAvv'vCll'θAθT'例题2-15例题

第2章

动能定理65应用牛顿定律在法线方向的投影式求绳的拉力TB和TB'

。这里，也应分开两种状态。在第一种情形下，小球是沿圆弧AB运动，圆心为O，半径为l，B点的法向加速度为，hCABMM'TmgmgO1OvAvvBvCll'θAθTB2.绳中的拉力TB

和

TB'。由牛顿第二定律例题2-15例题

第2章

动能定理66代入数据得将式

代入得hCABMM'TmgmgO1OvAvvBvCll'θAθTB例题2-15例题

第2章

动能定理67在第二种情形下，小球是沿圆弧BC运动，圆心为O1，半径为l′，B点的法向加速度为。代入数据得TB′约为TB

的2.53倍。hCABMM'TmgmgO1OvAvvBv'vCll'θAθTB'由牛顿第二定律得例题2-15例题

第2章

动能定理68一质量为m=1kg的套筒M可沿固定光滑导杆运动，套筒上系一弹簧，如图所示。设弹簧原长为r=0.2m，弹簧刚度系数为k=200N·m－1，当套筒在A点时其速度为vA=1.5m·s－1。求（1）套筒滑到B点时的速度vB；（2）套筒在B点处所受到的动约束力。

例题2-16rO1OABFBvA例题

第2章

动能定理69设套筒在任意位置M时，受力图如图所示。这里，重力的功为，弹性力的功为，约束力的功为。rO1OAMBFNFFNBFBmgmgvAvB解:1.求套筒滑到B点时的速度vB。当套筒由A点滑到B点时，应用质点动能定理得代入数据得代入上式得例题2-16例题

第2章

动能定理70

要求套筒在B点的动约束力，须先求得套筒在此时的加速度。在套筒到达B点前的一瞬时，由牛顿定律的法向投影式得因，代入得rO1OAMBFNFFNBFBmgmgvAvB2.求套筒在B点的动约束力。代入数据得例题2-16例题

第2章

动能定理71达到B点后的一瞬时，因法线加速度为零，故应用平衡条件可求得FNB'

：负号表示约束力FNB'方向向下。由此可知，当套筒到达B点时，法向约束从62.2N突然变到－1.91N。

rO1OAMBNFNB'

FBmgmgvAvB例题2-16例题

第2章

动能定理72一不能伸长的柔绳跨过一小滑车A，绳的两端分别系质量为m1和m2的两物块M1和M2，物块M1沿光滑的铅直导杆滑动，如图所示。开始时M1与A点在同一水平线上，质点系处于静止。假设在重力作用下，物块M1往下运动。不计绳和滑车的质量，求物块M1降到某一高度h1时的速度v1

。

v2h1aM1M2m1gm2gv1A例题2-17例题

第2章

动能定理73这是两个质点组成的一非自由质点系，仅有一个自由度，为了建立两质点位移之间的关系，由图b可知M1点下降的位移x1与M2点上升的位移x2之间有如下关系：（b）对式（a）求导可得M1与M2的速度v1与v2之间的关系：（a）解：x1aM2M20x2O（b）例题2-17例题

第2章

动能定理74因绳不伸长，导杆光滑，所有约束力的功的和为零。由动能定理得，代入式（a）和（b）后，令得（c）（b）（a）x1aM2M20x2Ov2h1aM1M2m1gm2gv1A例题2-17例题

第2章

动能定理75由式（d）知，只有≥0时，物块M1才能降到h1的位置。故m1≥才能实现题设的运动。当时，可求得物块M1下降的最大距离（d）这是物块M1下降高度h1时所具有的速度。x1aM2M20x2Ov2h1aM1M2m1gm2gv1A例题2-17例题

第2章

动能定理76一长为l的链条置放在光滑桌面上，有长为b一段悬挂下垂，如图所示。设链条开始时处于静止，在自重作用下运动。当末端滑离桌面时，求链条的速度。

l-bb例题2-18例题

第2章

动能定理77设链条的单位长度的质量为ρ，则整个链条的质量为ρl。任一瞬时链条下垂部分的长度为x，此部分的重力为W=ρgx。从此位置算起，链条下滑一微小位移dx。积分得解：xdxvl-bb设此时链条的速度为v，应用质点系动能定理的微分式，略去高阶无限小量。不考虑摩擦力，桌面约束力不作功。得例题2-18例题

第2章

动能定理78此处v为所求的速度。xdxvl-bb例题2-18例题

第2章

动能定理79选桌面高度为重力场势能的基准点，根据机械能守恒定律得l-bb应用机械能守恒定律求解。例题2-18例题

第2章

动能定理80如图所示为一卷扬机的传动机构，设启动时电动机转子作用在联轴节上的常力矩为M，大齿轮和鼓轮对轴AB的转动贯量为J2，小齿轮和联轴节对轴CD的转动贯量为J1。鼓轮的半径为R，已知齿轮的传动比为，被提升的重物的重量为mg，试求启动时重物的平均加速度a。ABCDRr2r1smgMavω1ω2从动轴鼓轮大齿轮主动轴联轴节J2J1吊索例题2-19例题

第2章

动能定理81(a)考虑除电机其转子以外的整个系统为一质点系，设起始瞬时质点系静止。因此式（a）可表示为式中φ1为主动轴CD的转角，s为重物相应上升的距离。各部分的运动间关系(b)解：ABCDRr2r1smgMavω1ω2从动轴鼓轮大齿轮主动轴联轴节J2J1吊索由质点系动能定理得例题2-19例题

第2章

动能定理82将上式（b）两边对时间取导数，并注意到和，即可得故（c）ABCDRr2r1smgMavω1ω2从动轴鼓轮大齿轮主动轴联轴节J2J1吊索(b)例题2-19例题

第2章

动能定理83汽车连同车轮总重量为m1g，如图所式，每个轮子重m2g，半径为r，对轮心的回转半径为ρ。发动机汽缸中气体的平均压力经过变速箱和后桥齿轮系传到后轮上，成为作用在后轮上的平均驱动力矩M。设汽车由静止开始运动，空气阻力与汽车速度的平方成正比，F=μv2，μ为阻力系数，由实验测定。每个轮子受到地面的滚动摩阻力矩为Mr，略去所有的轴承摩擦。求汽车的加速度和能达到的极限速度。vFFN2FN1F2F1MMrMr例题2-20例题

第2章

动能定理84由于,，代入上式并求微分得(b)应用质点系动能定理来建立汽车运动方程。(a)设vC为汽车的速度，即轮子中心的速度，ω为轮子的角速度，汽车的动能为解：vFFN2FN1F2F1MMrMr例题2-20例题

第2章

动能定理85将式（b）、（c）、（d）代入（a），并在等式两边除以无限小时间间隔dt后得作功的外力有阻力F和滚动摩阻力矩Mr，所以(c)内力的功为驱动力矩M在后轮无限小转角dφ上的功：(d)vFFN2FN1F2F1MMrMr例题2-20例题

第2章

动能定理86因,,则这就是汽车的加速度。当汽车到达其极限速度v*时aC=0

，由式（e）知(e)得vFFN2FN1F2F1MMrMr例题2-20例题

第2章

动能定理87车床电动机的功率P=4.5kw，主轴的最低转速为n=42rpm，如图所示。设传动时由于摩擦而损耗的功率是输入功率的30%，如工件的直径d=100mm，求在此转速时的切削力F。nndrF例题2-21例题

第2章

动能定理88车床正常运转时是匀速的，因此动能不随时间改变，即，故输入功率与输出功率和消耗功率之和平衡。解:nndrF由题意知，代入上式得例题2-21例题

第2章

动能定理89对比上两式得如忽略走刀阻力，则P有用就表示切削力F的功率，如图所示。即nndrF例题2-21例题

第2章

动能定理90设质量为m，半径为r的园柱体在一个半径为R的大园槽内作无滑动的滚动，如图所示。如不计滚动摩阻，求园柱体围绕其平衡位置作微小摆动的周期。ORACrEφ例题2-22例题

第2章

动能定理91例题2-22例题

第2章

动能定理92其中。至于角速度ω可以这样确定：利用无滑动的条件，接触点A为瞬时速度中心，因此可得到，或者。系统的动能（a）解：将这些关系代入上式，就有ORACrmgFFNEφ例题2-22例题

第2章

动能定理93如以平衡位置为重力势能的零点，则在任一位置系统的势能为将转动惯量用回转半径表示，上式可化为（b）（c）ORACrmgFFNEφ例题2-22例题

第2章

动能定理94此式给出了系统的速度随位置的变化规律。根据机械能定恒定律得（d）为了得到运动微分方程，可将式（d）对时间求导数ORACrmgFFNEφ则微小摆动的周期为（e）在微小摆动情况下，可近似地取。上式可简化为例题2-22例题

第2章

动能定理95

如图所示，摆的质量为m，点C为其质心，O端为光滑铰支，在点D处用弹簧悬挂，可在铅直平面内摆动。设摆对水平轴O的转动惯量为JO，弹簧的刚度系数为k；摆杆在水平位置处平衡。设OD=CD=b。求摆从水平位置处初角速度ω0摆下作微幅摆动时，摆的角速度与φ

角的关系。

φω0ODCmg例题2-23例题

第2章

动能定理96例题2-23例题

第2章

动能定理97研究摆的运动。作用于摆的力有弹簧力F，重力mg和支座约束力FOx和FOy。前两力为保守力，后两力不作功，因此摆的机械能守恒。 取水平位置为摆的零势能位置，此时机械能等于动能。摆作微幅摆动，φ角极小。系统对平衡位置的势能为，而动能为。解此方程得摆杆的角速度为解：φω0ODCmg由机械守恒，有例题2-23例题

第2章

动能定理98Rr（+）αθFaCmgFNOC均质圆轮半径为r，质量为m，受到轻微扰动后，在半径为R的圆弧上往复滚动，如图所示。设表面足够粗糙，使圆轮在滚动时无滑动。建立圆轮质心的运动微分方程。例题2-24O1例题

第2章

动能定理991.应用功率方程建立该方程。得应用功率方程轮与地面接触点为瞬心，如图所示，因此摩擦力与法向约束力不作功。重力的功率为Rr（+）αθFaCmgFNOC解：均质圆轮作平面运动，动能为例题2-24O1例题

第2章

动能定理100Rr（+）αθFaCmgFNOC因当θ很小时，，于是得质心C的运动微分方程为例题2-24O1例题

第2章

动能定理101取质心的最低位置O为重力场零势能点，圆轮在任意位置的势能为同一瞬时的动能为因机械能守恒，有把V和T的表达式代入，取导数后得从前面的分析已知，地面的法向约束力和摩擦力不作功，只有重力作功，因此系统的机械能守恒。于是质心的运动微方程也可通过机械能守恒定律建立。Rr（+）αθFaCmgFNOC2.应用机械能守恒定律建立该方程。例题2-24O1例题

第2章

动能定理102因于是得当θ很小时，于是得圆轮作微幅摆动时质心的运动微分方程为Rr（+）αθFaCmgFNOC例题2-24O1例题

第2章

动能定理103一平板与水平面成角θ，板面上有一质量为m的小球，如图所示。若不计摩擦等阻力，问平板以多大加速度向右平动时，小球能保持相对静止？若平板又以两倍这个加速度向右平动时，小球应沿板向上运动。问小球沿板走了l距离后，小球的相对速度是多少？θmae例题2-25例题

第2章

动能定理104解：1.在平板上固结一动参考系O'x'y'z'。

从中解出得θx'y'O'maeFNF*emgOxy小球受的有重力mg，平板的支承力FN。小球的牵连惯性力的大小为F*e=mae，方向与平板向右作平动的加速度ae相反，如图所示。因动系作平动，所以没有科氏惯性力，小球相对静止方程为例题2-25例题

第2章

动能定理105解得整理后得2.当加速度时，牵连惯性力，应用相对运动动能定理，有θx'y'O'maeFNF*emgOxy例题2-25例题

第2章

动能定理106半径为R的环形管，绕铅垂轴z以匀角速度ω转动，如图所示。管内有一质量为m的小球，原在最低处平衡。小球受微小扰动时可能会沿圆管上升。忽略管壁摩擦，求小球能达到的最大偏角φmax。φRωz例题2-26例题

第2章

动能定理107例题2-26例题

第2章

动能定理108以环形管为动参考系，小球在任一角度φ时，其牵连惯性力大小为，方向如图。小球在最低处和最高处的相对速度都等于零。列出此二位置间的相对运动的动能定理，得φRωmgF*ez经过微小角度dφ时，此惯性力作功为解：例题2-26例题

第2章

动能定理109由积分可得或解出因上式变为φRωmgF*ez例题2-26例题

第2章

动能定理110其中一解为对应于小球在最低处的情况，即另一解为得可以看出，上述结果只在ω2R≥g时才有意义，此时有cosφmax

≤1；而当ω2R<g时，小球不会沿圆管上升，而在最低点处才是稳定的。φRωmgF*ez例题2-26例题

第2章

动能定理111ⅠⅡMmg在绞车的主动轴Ⅰ上作用一恒力偶M以提升重物，如图所示。已知重物的质量为m；主动轴Ⅰ和从动轴Ⅱ连同安装在轴上的齿轮附件的转动惯量分别为J1和J2，传动比；鼓轮的半径为R。轴承的摩擦和吊索的质量均可不计。绞车开始静止，求当重物上升的距离为h时的加速度。例题2-27例题

第2章

动能定理112当重物速度为v时，系统动能为两端消去v，得重物上升加速度为此时主动轴Ⅰ的角速度为，忽略摩擦，此系统总功率为代入功率方程式，得ⅠⅡMmg解:例题2-27例题

第2章

动能定理113如图所示，物块质量为m，用不计质量的细绳跨过滑轮与弹簧相连。弹簧原长为l0，刚度系数为k，质量不计。滑轮半径为R，转动惯量为J。不计轴承摩擦，试建立此系统的运动微分方程。ssxxl0δ0δ0mgφθ例题2-28例题

第2章

动能定理114例题2-28例题

第2章

动能定理115若弹簧由自然位置拉长任一长度s，滑轮转过角φ，物块下降，显然有s=

φR。重物下降速度