高中数学人教B版本册总复习总复习 2023版模块综合测评1

模块综合测评(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.若a<1，b>1，那么下列命题中正确的是()\f(1,a)>eq\f(1,b) \f(b,a)>1<b2 <a＋b【解析】利用特值法，令a＝－2，b＝2.则eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，A错；eq\f(b,a)<0，B错；a2＝b2，C错.【答案】D2.一个等差数列的第5项a5＝10，且a1＋a2＋a3＝3，则有()【导学号：18082141】＝－2，d＝3 ＝2，d＝－3＝－3，d＝2 ＝3，d＝－2【解析】∵a1＋a2＋a3＝3且2a2＝a1＋a3∴a2＝1.又∵a5＝a2＋3d＝1＋3d＝10，d＝3.∴a1＝a2－d＝1－3＝－2.【答案】A3.已知△ABC的三个内角之比为∠A∶∠B∶∠C＝3∶2∶1，那么对应的三边之比a∶b∶c等于()∶2∶1 \r(3)∶2∶1\r(3)∶eq\r(2)∶1 ∶eq\r(3)∶1【解析】∵∠A∶∠B∶∠C＝3∶2∶1，∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＝90°，∠B＝60°，∠C＝30°.∴a∶b∶c＝sin90°∶sin60°∶sin30°＝1∶eq\f(\r(3),2)∶eq\f(1,2)＝2∶eq\r(3)∶1.【答案】D4.在坐标平面上，不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥x－1，,y≤－3|x|＋1))所表示的平面区域的面积为()\r(2)\f(3,2)\f(3\r(2),2)【解析】由题意得，图中阴影部分面积即为所求.B，C两点横坐标分别为－1，eq\f(1,2).∴S△ABC＝eq\f(1,2)×2×eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－－1))＝eq\f(3,2).【答案】B5.已知△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若∠A＝eq\f(π,3)，b＝2acosB，c＝1，则△ABC的面积等于()\f(\r(3),2) \f(\r(3),4)\f(\r(3),6) \f(\r(3),8)【解析】由正弦定理得sinB＝2sinAcosB，故tanB＝2sinA＝2sineq\f(π,3)＝eq\r(3)，又∠B∈(0，π)，所以∠B＝eq\f(π,3).又∠A＝∠B＝eq\f(π,3)，则△ABC是正三角形，所以S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×1×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),4).【答案】B6.等差数列的第二，三，六项顺次成等比数列，且该等差数列不是常数数列，则这个等比数列的公比为().4C【解析】设等差数列的首项为a1，公差为d，则a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d，a6＝a1＋5d，又∵a2·a6＝aeq\o\al(2,3)，∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)，∴d＝－2a1，∴q＝eq\f(a3,a2)＝3.【答案】A7.若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))恒成立，则a的最小值为()【导学号：18082142】B.－2C.－eq\f(5,2)D.－3【解析】x2＋ax＋1≥0在x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上恒成立⇔ax≥－x2－1⇔a≥eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))))max，∵x＋eq\f(1,x)≥eq\f(5,2)，∴－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))≤－eq\f(5,2)，∴a≥－eq\f(5,2).【答案】C8.已知{an}是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则()>0，dS4>0 <0，dS4<0>0，dS4<0 <0，dS4>0【解析】∵a3，a4，a8成等比数列，∴aeq\o\al(2,4)＝a3a8，∴(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋7d)，展开整理，得－3a1d＝5d2，即a1d＝－eq\f(5,3)d2.∵d≠0，∴a1d<0.∵Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d，∴S4＝4a1＋6d，dS4＝4a1d＋6d2＝－eq\f(2,3)d2<0.【答案】B9.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋2n，则a10等于()024 023C.2048 046【解析】a1＝1，a2－a1＝2，a3－a2＝22，a4－a3＝23，…，a10－a9＝29，上面各式相加，得a10＝1＋2＋22＋…＋29＝eq\f(1－210,1－2)＝210－1＝1023，故选B.【答案】B10.设x，y∈R，a＞1，b＞1.若ax＝by＝3，a＋b＝2eq\r(3)，则eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最大值为()\f(3,2)\f(1,2)【解析】∵2eq\r(3)＝a＋b≥2eq\r(ab)，∴ab≤3.由ax＝by＝3得x＝loga3，y＝logb3，∴eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝eq\f(1,loga3)＋eq\f(1,logb3)＝log3a＋log3b＝log3ab≤log33＝1.故选C.【答案】C11.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若∠B＝2∠A，a＝1，b＝eq\r(3)，则c＝()\r(3).2C\r(2)【解析】由正弦定理得：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，∵∠B＝2∠A，a＝1，b＝eq\r(3)，∴eq\f(1,sinA)＝eq\f(\r(3),2sinAcosA).∵A为三角形的内角，∴sinA≠0.∴cosA＝eq\f(\r(3),2).又0＜∠A＜π，∴∠A＝eq\f(π,6)，∴∠B＝2∠A＝eq\f(π,3).∴∠C＝π－∠A－∠B＝eq\f(π,2)，∴△ABC为直角三角形.由勾股定理得c＝eq\r(12＋\r(3)2)＝2.【答案】B12.一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有()项项项项【解析】设该数列的前三项分别为a1，a1q，a1q2，后三项分别为a1qn－3，a1qn－2，a1qn－1.所以前三项之积aeq\o\al(3,1)q3＝2，后三项之积aeq\o\al(3,1)q3n－6＝4，两式相乘，得aeq\o\al(6,1)q3(n－1)＝8，即aeq\o\al(2,1)qn－1＝2.又a1·a1q·a1q2·…·a1qn－1＝64，所以aeq\o\al(n,1)·qeq\f(nn－1,2)＝64，即(aeq\o\al(2,1)qn－1)n＝642，即2n＝642，所以n＝12.【答案】B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13.在△ABC中，BC＝2，∠B＝eq\f(π,3)，当△ABC的面积等于eq\f(\r(3),2)时，sinC＝________.【导学号：18082143】【解析】由三角形的面积公式，得S＝eq\f(1,2)AB·BCsineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2)，易求得AB＝1，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·coseq\f(π,3)，得AC＝eq\r(3)，再由三角形的面积公式，得S＝eq\f(1,2)AC·BCsinC＝eq\f(\r(3),2)，即可得出sinC＝eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)14.若变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤4，,x－y≤2，,3x－y≥0，))则3x＋y的最大值是________.【解析】画出可行域，如图阴影部分所示，设z＝3x＋y，则y＝－3x＋z，平移直线y＝－3x知当直线y＝－3x＋z过点A时，z取得最大值.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝4，,x－y＝2，))可得A(3,1).故zmax＝3×3＋1＝10.【答案】1015.国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策.现知某种酒每瓶70元，不加附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税k元(叫做税率k%)，则每年的产销量将减少10k万瓶.要使每年在此项经营中所收取附加税金不少于112万元，则k的取值范围为________.【解析】设产销量为每年x万瓶，则销售收入每年70x万元，从中征收的税金为70x·k%万元，其中x＝100－10k.由题意，得70(100－10k)k%≥112，整理得k2－10k＋16≤0，解得2≤k≤8.【答案】[2,8]16.设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N＋，则a1＝________，S5＝________.【解析】∵an＋1＝2Sn＋1，∴Sn＋1－Sn＝2Sn＋1，∴Sn＋1＝3Sn＋1，∴Sn＋1＋eq\f(1,2)＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Sn＋\f(1,2)))，∴数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(Sn＋\f(1,2)))是公比为3的等比数列，∴eq\f(S2＋\f(1,2),S1＋\f(1,2))＝3.又S2＝4，∴S1＝1，∴a1＝1，∴S5＋eq\f(1,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(S1＋\f(1,2)))×34＝eq\f(3,2)×34＝eq\f(243,2)，∴S5＝121.【答案】1121三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若m＝(a2＋c2－b2，－eq\r(3)a)，n＝(tanB，c)，且m⊥n，求∠B的值.【解】由m⊥n得(a2＋c2－b2)·tanB－eq\r(3)a·c＝0，即(a2＋c2－b2)tanB＝eq\r(3)ac，得a2＋c2－b2＝eq\f(\r(3)ac,tanB)，所以cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(\r(3),2tanB)，即tanBcosB＝eq\f(\r(3),2)，即sinB＝eq\f(\r(3),2)，所以∠B＝eq\f(π,3)或∠B＝eq\f(2π,3).18.(本小题满分12分)在等差数列{an}中，S9＝－36，S13＝－104，在等比数列{bn}中，b5＝a5，b7＝a7,求b6.【解】∵S9＝－36＝9a5，∴a5∵S13＝－104＝13a7，∴a7∴beq\o\al(2,6)＝b5·b7＝a5·a7＝32.∴b6＝±4eq\r(2).19.(本小题满分12分)已知数列{log2(an－1)}为等差数列，且a1＝3，a3＝9.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{an}的前n项和Sn.【解】(1)设等差数列{log2(an－1)}的公差为d.由a1＝3，a3＝9，得2(log22＋d)＝log22＋log28，解得d＝1，∴log2(an－1)＝1＋(n－1)×1＝n，∴an＝2n＋1.(2)∵an＝2n＋1，∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(2＋1)＋(22＋1)＋…＋(2n＋1)＝(2＋22＋…＋2n)＋n＝eq\f(21－2n,1－2)＋n＝2n＋1＋n－2.20.(本小题满分12分)解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R).【导学号：18082144】【解】原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0⇒(ax－2)(x＋1)≥0.(1)当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0⇒x≤－1；(2)当a>0时，原不等式化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,a)))(x＋1)≥0⇒x≥eq\f(2,a)或x≤－1；(3)当a<0时，原不等式化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,a)))(x＋1)≤0.①当eq\f(2,a)>－1，即a<－2时，原不等式等价于－1≤x≤eq\f(2,a)；②当eq\f(2,a)＝－1，即a＝－2时，原不等式等价于x＝－1；③当eq\f(2,a)<－1，即－2<a<0时，原不等式等价于eq\f(2,a)≤x≤－1.综上所述：当a<－2时，原不等式的解集为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(2,a)))；当a＝－2时，原不等式的解集为{－1}；当－2<a<0时，原不等式的解集为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,a)，－1))；当a＝0时，原不等式的解集为(－∞，－1]；当a>0时，原不等式的解集为(－∞，－1]∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)，＋∞)).21.(本小题满分12分)如图1，在扇形AOB中，圆心角等于60°，半径为2，在弧AB上有一动点P(不与点A，B重合)，过点P引平行于OB的直线和OA交于点C，设∠AOP＝θ，求△POC的面积的最大值及此时θ的值.图1【解】∵CP∥OB，∴∠CPO＝∠POB＝60°－θ，∠OCP＝120°.在△POC中，由正弦定理得：eq\f(OP,sin∠PCO)＝eq\f(CP,sinθ)，即eq\f(2,sin120°)＝eq\f(CP,sinθ)，∴CP＝eq\f(4,\r(3))sinθ.又∵eq\f(OC,sin60°－θ)＝eq\f(2,sin120°)，∴OC＝eq\f(4,\r(3))sin(60°－θ).∴△POC的面积为S△POC＝eq\f(1,2)CP·OCsin120°＝eq\f(1,2)×eq\f(4,\r(3))sinθ·eq\f(4,\r(3))sin(60°－θ)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(4,\r(3))sinθsin(60°－θ)＝eq\f(4,\r(3))sinθeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cosθ－\f(1,2)sinθ))＝eq\f(2,\r(3))sin(2θ＋30°)－eq\f(\r(3),3)，θ∈(0°，60°).∴当θ＝30°时，△POC的面积取得最大值eq\f(\r(3),3).22.(本小题满分12分)某厂用甲、乙两种原料