第24讲 势能 重力做功 机械能守恒定律

从价值观的角度看，科学概念的力量在于它具有解释和概括一大类自然现象的能力．在这方面能量概念的作用十分独特．所以通过对重力做功与对应势能的关系，可以类比电场力做功与电势能、分子力做功与分子势能的关系．/jty/main/index.shtm第24讲势能重力做功机械能守恒定律自主·基础构建导学建议机械能守恒定律是人们在“追寻守恒量”过程中发现的重要规律，也是高考命题的重点和热点，熟练掌握应用机械能守恒定律是深刻理解能量守恒定律的前提和保证．一、机械能1．重力做功的特点：重力做功与①路径无关，只与初末位置的②高度差有关；重力做功不引起系统的机械能变化．2．重力势能(1)定义：物体由于被举高而具有的能量被称为重力势能．(2)表达式：地表附近的物体相对零势能参考面h高度时的重力势能Ep＝③mgh./jty/main/index.shtm导学建议(3)重力势能是④标量，但有正负之分，其正负表示⑤大小．物体在⑥参考平面以下，其重力势能为负；在参考平面以上，其重力势能为正．(4)对重力势能的理解①重力势能是⑦地球和物体组成的系统共有的，而不是物体单独具有的．通常常简略说成“某物体的重力势能”．②重力势能的大小是相对的，与⑧参考平面的选取有关，但重力势能的变化量与参考平面的选取⑨无关．(5)重力做功和重力势能变化的关系：WG＝－ΔEp重力对物体做正功，重力势能⑩减小；重力对物体做负功，重力势能⑪增加．重力势能的增加量ΔEp等于物体克服重力做的功WG./jty/main/index.shtm

名师点拨(1)重力势能具有相对性，参考平面的选取不同，物体对应的重力势能大小也不同；重力势能具有系统性，是物体和地球共同具有；(2)重力势能的变化只与重力做功的大小有关；一般情况下，重力为恒力．如图所示，质量为m的小球从离桌面H高处由静止下落，桌面离地高度为h.若以桌面为参考平面，那么小球落地时的重力势能及整个过程中重力势能的变化分别是(

)/jty/main/index.shtm达标自测1A．mgh，减少mg(H－h)B．mgh，增加mg(H＋h)C．－mgh，增加mg(H－h)D．－mgh，减少mg(H＋h)【解析】重力势能Ep′＝mg(－h)＝－mgh重力势能的变化ΔEp＝E1′－Ep＝－mgh－mgH＝－mg(h＋H)即重力势能减少mg(H＋h)．【答案】D/jty/main/index.shtm3．弹性势能(1)定义：物体由于发生⑫弹性形变而具有的能．(2)大小：弹性势能的大小与形变量及劲度系数有关，如弹簧的伸长量越大，劲度系数越大，则弹簧的弹性势能越大．(3)在弹性限度内，弹簧⑬伸长和压缩相等长度时弹性势能⑭相等．(4)W弹＝－ΔE弹．4．机械能：动能、⑮重力势能、⑯弹性势能统称为机械能，即E＝Ek＋Ep./jty/main/index.shtm名师点拨弹性势能变化量等于弹力所做的功，理解时可类比重力势能变化与重力做功的关系，但是弹力做功时弹力为变力，求解弹力做功可用图象法、平均力法等．二、机械能守恒定律1．内容：在只有⑰重力(或系统内弹簧的弹力)做功的情形下，物体的⑱动能和重力势能(或弹性势能)发生相互转化，但机械能的总量⑲保持不变，这个结论叫做机械能守恒定律．2．机械能守恒的条件：只有⑳重力或弹簧的弹力作为内力对物体做功．/jty/main/index.shtm下列四个图中，木块均在固定的斜面上运动，其中图A、B、C中的斜面是光滑的，图D中的斜面是粗糙的；图A、B中的F为木块所受的外力，方向如图中箭头所示，图A、B、D中的木块向下运动，图C中的木块向上运动．在这四个图所示的运动过程中，机械能守恒的是(

)【解析】依据机械能守恒条件：只有重力(或系统内弹簧的弹力)做功的情况下，物体的机械能才守恒，由此可见，A、B均有外力F参与做功，D中有摩擦力做功，故A、B、D均不符合机械能守恒的条件．综上所述，C项正确．/jty/main/index.shtm达标自测2【答案】C3．机械能守恒定律的多种表达方式当系统满足机械能守恒的条件以后，常见的守恒表达式有以下几种：(1)Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2，即初状态的动能与势能之和等于末状态的动能与势能之和；(2)ΔEk＝－ΔEp或ΔEp＝－ΔEk，即动能(或势能)的增加量等于势能(或动能)的减少量；(3)ΔEA＝－ΔEB，即在两个物体组成的守恒系统中，A物体机械能的增加量等于B物体机械能的减少量．4．应用机械能守恒定律解题的基本步骤/jty/main/index.shtm(1)根据题意选取研究对象(物体或系统)；(2)明确研究对象的运动过程，分析对象在过程中的受力情况，弄清各力做功的情况，判断机械能是否守恒；(3)恰当地选取零势面，确定研究对象在过程中初末状态的机械能；(4)选取机械能守恒定律的合适表达式列方程，并求解．一物体以速度v从地面竖直上抛，当物体运动到某高度时，它的动能恰为重力势能的一半(以地面为零势能面)，不计空气阻力，则这个高度为(

)/jty/main/index.shtm达标自测3/jty/main/index.shtm题型一：判断机械能是否守恒在如图所示的物理过程示意图中，甲图为一端固定有小球的轻杆，从右偏上30°角释放后绕光滑支点摆动；乙图为末端固定有小球的轻质直角架，释放后绕通过直角顶点的固定轴O无摩擦转动；丙图为置于光滑水平面上的A、B两小车，B静止，A获得一向右的初速度后向右运动，某时刻连接两车的细绳绷紧，然后带动B车运动；丁图为置于光滑水平面上的带有竖直支架的小车，把用细绳悬挂的小球从图示位置释放，小球开始摆动．则关于这几个物理过程(空气阻力忽略不计)，下列判断中正确的是(

)/jty/main/index.shtm互动·方法探究题型方法例题1A．甲图中小球机械能守恒B．乙图中小球A的机械能守恒C．丙图中两车组成的系统机械能守恒D．丁图中小球的机械能守恒[思维点拨]判断系统的机械能是否守恒，首先要明确对象．判断的对象可以是物地系统—重力势能(可以为单个物体与地球，也可以是两个或两个以上的物体与地球)，也可以是物弹系统—/jty/main/index.shtm弹性势能，还可以是物地弹系统—重力势能、弹性势能．判断物体系统是否满足机械能守恒定律，可以看物体是否只有重力或弹力做功，或者看系统内是否只有动能和势能相互转化，值得注意的是只有重力做功和只受重力是两回事．[规范解析]甲图过程中轻杆对小球不做功，小球的机械能守恒；乙图过程中轻杆对A的弹力不沿杆的方向，会对小球做功，所以每个小球的机械能不守恒，但把两个小球作为一系统时机械能守恒；丙图中绳子绷紧的过程虽然只有弹力作为内力做功，但弹力突变有内能转化，机械能不守恒；丁图过程中细绳也会拉动小车运动，取地面为参考系，小球的轨迹不是圆弧，细绳会对小球做功，小球的机械能不守恒，把小球和小车当做一个系统，机械能才守恒．【答案】A/jty/main/index.shtm判断系统机械能守恒的方法(1)用做功来判断：分析物体受力情况，明确各力做功情况，若对物体或系统只有重力或弹簧弹力做功，则机械能守恒；(2)用能量转化判断：对某一系统，物体间只有动能和重力势能及弹性势能相互转化，系统跟外界没有发生机械能的传递，机械能也没有转化为其他形式的能(如内能)，则系统的机械能守恒．题型二：易形变物体的势能与动能的转化问题如图甲所示，一长为L的均匀铁链对称地挂在一轻质小滑轮上，由于某一微小的扰动使得链条向一侧滑动，则铁链完全离开滑轮时的速度大小为(

)/jty/main/index.shtm例题2/jty/main/index.shtm[思维点拨]对于“链条类”问题，一般可以利用机械能守恒定律解决，但是在解答中要注意重力势能的计算，要注意选取对象的质量与物体总质量的区别．解答时可以巧选参考系，化简解题过程．①本题中因滑轮很小，所以滑动前链条相当于对折．②本题中忽略了铁链各环之间的摩擦生热．[规范解析]铁链向一侧滑动的过程受重力和滑轮弹力的作用，弹力始终与对应各节链条的运动方向垂直，故只有重力做功．设铁链刚好完全离开滑轮时的速度为v，由机械能守恒定律有：/jty/main/index.shtm易形变物体只有重力做功时机械能守恒，在求解高度变化引起的速度变化时常用如下方法计算其重力势能的变化量：初末两状态有部分区域在相同高度，则其重力势能的变化量等于其他区域重力势能的变化量．题型三：与机械能守恒定律相关的图象问题

[2008年高考·上海卷]物体做自由落体运动，Ek代表动能，Ep代表势能，h代表下落的距离，以水平地面为零势能面．下列所示图象中，能正确反映各物理量之间关系的是(

)[思维点拨]图象问题是高中物理的难点．解答时要注意纵轴物理量与横轴物理量的关系，特别是要注意纵、横轴物理量是什么．/jty/main/index.shtm例题3/jty/main/index.shtm应对图象问题的最好方法就是看清横纵坐标的物理量后，先“视而不见”图象，利用解析法找到各量之间的关系，然后利用这种关系对照图象解答．题型四：机械能守恒定律与动能定理在解题中的联系与区别

[2007年高考·全国理综卷Ⅱ]如图所示，位于竖直平面内的光滑轨道，由一段斜的直轨道和与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R.一质量为m的小物块从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动．要求物块能通过圆形轨道最高点，且在该最高点与轨道间的压力不能超过5mg(g为重力加速度)．求物块初始位置相对圆形轨道底部的高度h的取值范围．/jty/main/index.shtm例题4[思维点拨]动能定理和机械能守恒定律是力学中重要的两大规律，两者既有联系，也有区别．(1)从应用上看，机械能守恒是有条件的(只有重力、弹簧弹力做功时，系统机械能守恒)，而动能定理是无附加条件的，因此动能定理应用范围更广泛一些．(2)在物理意义上二者却相去甚远：动能定理表述是合外力对物体所做的功是物体动能变化量的量度；其他力(重力、弹簧弹力以外的力)所做的功是物体机械能变化的量度．/jty/main/index.shtm(3)关注的角度是不同的：动能定理只注重动能的变化及其改变动能的方式(做功)情况，机械能守恒定律注重的是初末状态能量形式，与过程无关．(4)机械能守恒定律和动能定理都是从做功和能量转化的角度，来研究物体在力的作用下运动状态的改变，表达这两个规律的方程都是标量方程，这是它们的共同点．/jty/main/index.shtm/jty/main/index.shtm1.单个可当做质点的物体机械能守恒时，既可应用机械能守恒定律解题，也可应用动能定理解题，两种方法等效．2．发生形变的物体和几个物体组成的系统机械能守恒时，一般应用机械能守恒定律解题，不方便应用动能定理解题．如图所示,一轻质弹簧左端固定在长木板m2的左端,右端与小木块m1连接，且m1与m2及m2与地面之间接触面均光滑.开始时m1和m2均静止.现同时对m1、m2施加等大、反向的水平恒力F1和F2,从两物体开始运动至以后的整个过程中,关于m1、m2和弹簧组成的系统(整个过程中弹簧形变不超过其弹性限度),下列说法中正确的是(

)/jty/main/index.shtm高考排雷例题5A．由于F1、F2等大、反向，故系统机械能守恒B．由于F1

、F2分别对m1、m2做正功，故系统动能不断增加C．由于F1

、F2分别对m1

、m2做正功，故系统机械能不断增加D．当弹簧弹力大小与F1

、F2大小相等时，m1

、m2的动能最大【错解】①F1

、F2等大、反向，做的功相互抵消，故机械能守恒，选项A正确．②F1

、F2对m1

、m2一直做正功，两物体动能都增大，故选项B正确．③选项C、D都错误．【剖析】对于机械能守恒定律的理解与应用，许多同学常在以下几个方面容易犯错误，需加以纠正：/jty/main/index.shtm(1)带电粒子在只受重力、电场力作用下运动时，误认为机械能守恒，事实上应为机械能、电势能的总和守恒，因为电势能不属于机械能．(2)认为弹力作为内力做功时不影响系统机械能，这是错误的．例如物体之间的非弹性碰撞、连接两物体的细绳突然被绷紧等都有机械能损失．(3)错误地认为系统只受一对大小相等方向相反的力作用时，机械能守恒．这样一对力(包括作用力与反作用力)可以同时做正功，可以同时做负功，可以一个力做功一个力不做功，也可以一个力做正功一个力做负功，故不能据此判断系统的机械能是否守恒．/jty/main/index.shtm【正解】开始时m1向右运动,m2向左运动,力F1对物体m1做正功，力F2对物体m2做正功，而并不是一正一负,因此系统机械能不守恒，选项A错误．当F1、F2大于弹力时，m1、m2做加速运动；当F1、F2小于弹力时，m1、m2做减速运动，因此系统的动能不可能一直增加．当弹簧弹力大小与F1、F2大小相等时，m1、m2的动能最大，所以选项B错、D对．当m1、m2减速为零后反向运动时，F1、F2对物体做负功，系统机械能减少，所以选项C错．【答案】D1．[2010年高考·安徽理综卷]伽利略曾设计如图所示的一个实验，将摆球拉至M点放开，摆球会达到同一水平高度上的N点．如果在E或F处钉上钉子，摆球将沿不同的圆弧达到同一高度/jty/main/index.shtm五年高考的对称点；反过来，如果让摆球从这些点下落，它同样会达到原水平高度上的M点．这个实验可以说明，物体由静止开始沿不同倾角的光滑斜面(或弧线)下滑时，其速度的大小(

)A．只与斜面的倾角有关B．只与斜面的长度有关C．只与下滑的高度有关D．只与物体的质量有关[命题分析]经典实验，美丽再现是时下新课标高考选择题中经常出现的一种命题方式，试题难度不大，但是值得回味．/jty/main/index.shtm球下滑的高度有关，与物体的质量、斜面的倾角及长度均无关．【答案】C2．[2010年高考·福建理综卷]如图甲所示，质量不计的弹簧竖直固定在水平面上，t＝0时刻，将一金属小球从弹簧正上方某一高度处由静止释放，小球落到弹簧上压缩弹簧到最低点，然后又被弹起离开弹簧，上升到一定高度后再下落，如此反复．通过安装在弹簧下端的压力传感器，测出这一过程弹簧弹力F随时间t变化的图象如图乙所示，则(

)/jty/main/index.shtmA．t1时刻小球动能最大B．t2时刻小球动能最大C．t2～t3这段时间内，小球的动能先增加后减少D．t2～t3这段时间内，小球增加的动能等于弹簧减少的弹性势能[命题分析]以弹簧问题命题在高考中较为常见．因为弹簧背景常规，但是就其考查内容看，可以从力、能、图象等多个角度命题，也能联系实际问题，与“向中档题靠拢”和“学以致用”的观点能较好地吻合．[规范全解]弹簧的弹力F最大时(如题图中的t2时刻，此时的弹力F一定大于小球的重力)，即弹簧被压缩到最短时，也是小球的动能最小时；当弹力F等于小球的重力时，小球的动能最大；选项A、B均错误．/jty/main/index.shtmt1～t2这段时间内，小球在压缩弹簧；t2～t3这段时间内，小球在上升，弹簧在恢复形变；前一段时间，向上的弹力F大于小球的重力，小球做加速运动，动能增加；后一段时间，向上的弹力F小于小球的重力，小球做减速运动，动能减小；选项C正确．t2～t3这段时间内，小球增加的机械能等于弹簧减小的弹性势能，选项D错误．【答案】C3．[2006年高考·江苏卷]江苏省沙河抽水蓄能电站自2003年投入运行以来，在缓解用电高峰电力紧张方面，取得了良好的社会效益和经济效益．抽水蓄能电站的工作原理是，在用电低谷时(如深夜)，电站利用电网多余电能把水抽到高处蓄水池中，到用电高/jty/main/index.shtm峰时，再利用蓄水池中的水发电．如图所示，蓄水池(上游水库)可视为长方体，有效总库容量(可用于发电)为V，蓄水后水位高出下游水面H，发电过程中上游水库水位最大落差为d.统计资料表明，该电站年抽水用电为2.4×108kW·h，年发电量为1.8×108kW·h.则下列计算结果正确的是(水的密度为ρ，重力加速度为g，涉及重力势能的计算均以下游水面为零势能面)(

)A．能用于发电的水的最大重力势能