第十六章 第1讲 随机抽样与样本估计总体

抽样方法及用样本估计总体考纲要求考纲研读1.随机抽样．(1)理解随机抽样的必要性和重要性．(2)会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法．2．总体估计．(1)了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点．(2)理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差．(3)能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并作出合理的解释．(4)会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想．(5)会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.用样本估计总体是统计学的重要思想．从总体中如何抽取样本，以及如何研究样本数据是本节需要掌握的主要内容．根据总体的特点可采取合适的抽样方式，然后从列表，画图途径来体现样本数据特征，而样本的数字特征则是其客观体现，从而进一步去估计总体特征.

1．总体、个体、样本 把所考察对象的某一个数值指标的全体构成的集合看成总体，构成总体的每一个元素为个体，从总体中随机抽取若干个个体构成的集合叫做总体的一个样本．2．随机抽样均等的

抽样时保证每一个个体都可能被抽到，每一个个体被抽到的机会是________，满足这样的条件的抽样是随机抽样．3．简单随机抽样相等抽签法

设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都_____，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．最常用的简单随机抽样方法有两种——_______和_____________．随机数表法

4．系统抽样 (1)当总体元素个数很大时，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体得到所需要的样本，这种抽样方式叫做系统抽样．(2)步骤：①编号．采用随机的方式将总体中的个体编号，编号的方式可酌情处理；分段③确定起始个体编号．在第1段用________________确定起始的个体编号S；简单随机抽样

④按照事先确定的规则抽取样本．通常是将S加上间隔k，得到第2个个体编号S＋k，再将(S＋k)加上k，得到第3个个体编号S＋2k，这样继续下去，获得容量为n的样本．其样本编号依次是：S，S＋k，S＋2k，…，S＋(n－1)k.5．分层抽样明显差异

当总体由_________的几部分组成时，按某种特征在抽样时将总体中的各个个体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层中独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样的方法叫做分层抽样．随机抽样中的有关概念【例1】某次考试有70000名学生参加，为了解这70000名考生的数学成绩，从中抽取1000名考生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，有以下四种说法：①1000名考生是总体的一个样本；②可用1000名考生数学成绩的平均数去估计总体平均数；③70000名考生的数学成绩是总体；④样本容量是1000.其中正确的说法有()A．1种B．2种C．3种D．4种解析：根据有关概念知，说法②③④是正确的．故选C.答案：C点评：(1)掌握常用的抽样方法，理解他们之间的区别与联系，根据不同的具体情况确定不同的抽样方法；(2)简单随机抽样是最简单、最基本的抽样，比较容易理解，步骤性强，操作方便．关键是掌握操作步骤：随机数表法的操作要点：编号、选起始数、读数、获取样本；抽签法的操作要点：编号、制签、搅匀、抽取．变式探究1．(2013·湖南卷)某学校有男、女学生各500名．为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是()A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法解析：因为抽样的目的与男女性别有关，所以采用分层抽样法能够反映男女人数的比例．故选D.答案：D系统抽样【例2】一个总体中有100个个体，随机编号为0,1，2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1,2，3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k小组中抽取的号码个位数字与m＋k的个位数字相同．若m＝6，则在第7组中抽取的号码是____________．思路点拨：此问题总体中个体的个数较多，因此采用系统抽样．按题目中要求的规则抽取即可．解析：∵m＝6，k＝7，m＋k＝13，∴在第7小组中抽取的号码是63.答案：63点评：系统抽样，是在总体容量大，且总体差异不明显的情况下采用；基本步骤为：(1)要先计算，得出组数，即间距；(2)确定是否需要剔除，并定出样本分段间隔；(3)采用简单随机抽样在第一组中定出第一个样本编号；(4)得出样本编号．变式探究2．(2013·云港上学期期末)某单位有职工52人，现将所有职工按1、2、3、…、52随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号、32号、45号职工在样本中，则样本中还有一个职工的编号是________．解析：设样本中还有一个职工的编号是x号，则用系统抽样抽出的四个职工的号码从小到大排列：6号、x号、32号、45号，它们构成等差数列，所以6＋45＝x＋32，所以x＝6＋45－32＝19，因此，另一学生编号为19.答案：19分层抽样【例3】(1)某班有男生36人，女生24人，从全班抽取一个容量为10的样本，分析某种身体素质指标，已知这种身体素质指标与性别有关．问应采取什么样的抽样方法？并写出抽样过程．(2)某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表.一年级二年级三年级女生/名373xy男生/名377370z已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为()A．24名B．18名C．16名D．12名解析：(1)因为这种身体素质指标与性别有关，所以男生，女生身体素质指标差异明显，因而采用分层抽样的方法．具体过程如下：①将60人分为2层，其中男生、女生各为一层．②按照样本容量的比例随机抽取各层应抽取的样本，即变式探究3．(1)(2013·无锡上学期期末)某中学高中一年级有400人，高中二年级有320人，高中三年级有280人，现从中抽取一个容量为200人的样本，则高中二年级被抽取的人数为________．(2)(2013·广州二模)某商场销售甲、乙、丙三种不同型号的钢笔，甲、乙、丙三种型号钢笔数量之比依次为2∶3∶4.现用分层抽样的方法抽出一个容量为n的样本，其中甲型钢笔有12支，则此样本容量n＝________.抽样方法的恰当选择【例4】某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点．公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②，则完成①②这两项调查宜采用的抽样方法依次是()A．分层抽样法，系统抽样法B．分层抽样法，简单随机抽样法C．系统抽样法，分层抽样法D．简单随机抽样法，分层抽样法变式探究4．要完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②从某中学高一年级的12名体育特长生中选出3人调查学习负担的情况，应采用的抽样方法是()A．①用简单随机抽样法②用系统抽样法B．①用分层抽样法②用简单随机抽样法C．①用系统抽样法②用分层抽样法D．①②都用分层抽样法解析：①中各部分差异明显，用分层抽样法；②中总体的个体数较少，用简单随机抽样法．故选B.答案：B思路点拨：此题为抽样方法的选取问题．当总体中个体较多时宜采用系统抽样；当总体中的个体差异较大时，宜采用分层抽样；当总体中个体较少时，宜采用随机抽样．解析：依据题意，第①项调查应采用分层抽样法，第②项调查应采用简单随机抽样法．故选B.答案：B点评：三种抽样方法的联系：简单随机抽样是最基本的抽样方法，是其他两种方法的基础，对于多种方法交叉使用的问题，要将问题细化，在不同的层面上，使用合理的抽样方法．三种抽样方法的共同点及联系：提示：类别共同点各自特点相互联系适用范围简单随机抽样抽样过程中每个个体被抽取的机会均等从总体中逐个抽取总体中的个体数较少系统抽样将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分抽取在起始部分抽样时采用简单随机抽样总体中的个体数较多分层抽样将总体分成几层，分层进行抽取各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样总体由差异明显的几部分组成各种抽样方法中各个体被抽到的概率问题【例5】某批零件共320个，其中一级品96个，二级品128个，三级品64个，等外品32个．从中抽取一个容量为40的样本．请说明分别用简单随机抽样、系统抽样和分层抽样法抽取时总体中的每个个体被抽到的概率是否相同？思路点拨：要说明每个个体被抽到的概率是否相同，只需计算出用三种抽样方法抽取个体时，每个个体被抽到的概率是否相同即可．C．都相等，且为D．都相等，且为

从2004名学生中选取50名组成参观团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2004人中剔除4人，剩下的2000)C人再按系统抽样的方法进行．则每人入选的概率( A．不全相等 B．均不相等 25 1002

140课堂练习：变式探究5．李老师为了分析一次数学考试情况，全年级抽了50人，将分数分为5组．第一组到第三组的频数分别是10,23,11，第四组的频率是0.08，那么落在第五组89.5～99.5的频数是________，频率是__________，全年级300人中分数在89.5～99.5中的约有________人．复习检测：一.统计1、统计图表包括条形图、折线图、饼图、茎叶图。2、刻画一组数据集中趋势的统计量有平均数、中位数、众数。刻画一组数据离散程度的统计量有极差、方差、标准差。2．用样本估计总体1．作频率分布直方图的步骤(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)．(2)决定组距与组数．(3)将数据分组．(4)列频率分布表．(5)画频率分布直方图．6.频率分布直方图(1)求极差：极差是一组数据的最大值与最小值的差．(2)决定组距和组数：当样本容量不超过100时，常分成5～12组．组距＝______.

(3)将数据分组：通常对组内数值所在区间取左闭右开区间．最后一组取闭区间．也可以将样本数据多取一位小数分组． (4)列频率分布表：登记频数，计算频率，列出频率分布表． 将样本数据分成若干个小组，每个小组内的样本个数称作频数，频数与样本容量的比值叫做这一小组的______．频率反映这组数据在样本所占比例的大小．频率极差组数(5)绘制频率分布直方图：把横轴分成若干段，每一段对应一个组距，然后以线段为底作一矩形，它的高等于该组的频率组距，这样得到一系列的矩形，每个矩形的面积恰好是该组上的频率．这些矩形就构成了频率分布直方图． 7．频率分布折线图和总体密度曲线 (1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的_____，就得到频率分布折线图．中点

(2)总体密度曲线：随着__________的增加，作图时所分的组数增加，_______减小，相应的频率折线图会接近于一条光滑的曲线，即总体密度曲线．样本容量组距2．频率分布折线图和总体密度曲线(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得频率分布折线图．(2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线．3．样本的数字特征思考探究：在频率分布直方图中，中位数、众数与平均数如何确定？提示：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值，而平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．众数是最高的矩形的中点的横坐标．(5)标准差：s＝_______________________________________.

8．茎叶图 在样本数据较少、较为集中，且位数不多时，用茎叶图表示数据的效果较好，它较好的保留了原始数据信息，方便记录与表示．茎是中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数．

练习：

为了让学生了解环保知识，增强环保意识，其中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计．请你根据尚未完成的频率分布表和频率分布直方图，解答下列问题.分组频数频率[50.5,60.5)40.08[60.5,70.5)0.16[70.5,80.5)10[80.5,90.5)160.32[90.5,100.5]合计50(1)填充频率分布表中的空格(将答案直接填在表格内)；(2)补全频率分布直方图；（3）估计900名学生参加竞赛成绩的中位数、众数、平均数(4)若成绩在[75.5,85.5)分的学生可以获得二等奖，问获得二等奖的学生约有多少人？解：(1)分组频数频率[50.5,60.5)40.08[60.5,70.5)80.16[70.5,80.5)100.20[80.5,90.5)160.32[90.5,100.5]120.24合计501.00(2)频率分布直方图如图所示

因为成绩在[80.5,90.5)分的学生的频率为0.32，所以成绩在[80.5,85.5)分的学生的频率为0.16.所以成绩在[75.5,85.5)分的学生的频率为0.26，由于有900名学生参加了这次竞赛，所以该校获得二等奖的学生约有0．26×900＝234(人)．茎叶图的应用【例2】甲、乙两篮球队各10名队员的身高如下(单位：cm)：甲队182185183176190184186180187186乙队182183185189179180191189178173用茎叶图表示两队队员的身高，并判断哪个队的身高更整齐一些．解析：用茎叶图表示两队队员的身高如下图：由上图可知甲队身高较集中，即甲队身高更整齐一些．思路点拨：学会用茎叶图表示数据的方法，并会进行统计推断．点评：(1)茎叶图刻画数据的优点：①所有数据信息都可由茎叶图看到；②茎叶图便于记录和表示，能反映数据在各段上的分布情况；(2)茎叶图不能直接反映总体的分布情况，这就需要通过茎叶图给出的数据求出数据的数字特征，进一步估计总体情况．变式探究2．(2013·重庆卷)以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为()A．2,5 B．5,5 C．5,8 D．8,8解析：由于甲组中有5个数，比中位数小的有两个数为9,12，比中位数大的也有两个数24,27，所以10＋x＝15，x＝5.又因 =16.8，所以y＝8，故选C.答案：C【互动探究】

5．(2010年广东广州越秀区高三摸底)甲、乙两名同学在5次数学考试中，成绩统计用茎叶图表示如图15－1－5，若甲、乙两)B人的平均成绩分别用x甲，x乙表示，则下列结论正确的是( A.x甲<x乙，且甲比乙成绩稳定 B.x甲<x乙，且乙比甲成绩稳定 C.x甲>x乙，且甲比乙成绩稳定 D.x甲>x乙，且乙比甲成绩稳定 图15－1－5

(1)平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义、平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述波动大小．(2)平均数、方差的公式推广1.2.3．(2013·汕尾二模改编)甲乙两位学生参加数学竞赛培训，在培训期间他们参加5次预赛成绩记录如下：甲：7876749082乙：9070758580(1)用茎叶图表示这两组数据；(2)现要从中选派一人参加数学竞