第八章 应力状态分析与强度理论

第八章应力状态分析和强度理论主要内容：

应力状态概论

平面应力状态分析

利用应力圆确定主应力大小和主平面方位

用应力圆确定极值切应力及其所在平面的位置

广义胡克定律

强度理论§8－1应力状态概念不都是沿着横截面破坏的，因此需要研究各不同斜截面的应力。即危险点的应力状态。一点的应力状态：就是受力构件内任一点处不同方位的截面上应力的分布情况。（单元体）单元体尺寸极细微小，可认为单元体各面上的应力均匀分布，且两个平行面上的应力相同。单元体上切应力为零的平面称为主平面。主平面上的正应力称为主应力。一般，在受力构件的任意点皆可找到三个相互垂直的主平面，因而每一点都有三个主应力。σ1≥σ2≥σ3

单向拉伸或压缩，三个主应力中只有一个不等于零---单向应力状态三个主应力中有两个不等于零---二向应力状态（平面应力状态）三个主应力都不等于零---三向应力状态（空间应力状态）单向应力状态二向应力状态三向应力状态二向应力状态和三向应力状态统称为复杂应力状态。σ1≥σ2≥σ3

§8－2平面应力状态分析

平面应力状态应力分析的解析法任意斜截面上的应力

在图示单元体上取任意斜截面a,其外法线n与x轴正向的夹角为α

。规定：α角自x轴正向逆时针转到n为正。截面ef把单元体分成两部分,现研究aef部分的平衡。斜截面ef上的应力以正应力σα和切应力τα表示。若ef的面积为dA，则af面和ae面的面积分别是dAsinα和dAcosα

。由静力平衡方程

式中τxy=τyx，代入上式，化简后得

平面应力状态任意斜截面上的应力计算公式

将式对α求导数，并令dσ/dα=0，得

主平面和主应力

分析构件强度时，考虑的是应力的极值及斜截面的位置α=α0时，导数为零。带入上式：主应力即为最大（最小）正应力若σx≥σy,确定的两个角度α0中,绝对值较小的一个确定σmax所在的主平面。可得两个α0,相差90度，即确定两个相互垂直的平面大小方位

极值切应力

令dτx/dα=0，由式这说明最大或最小切应力所在平面与主平面成45º角。此处所指的极值切应力是指平面应力状态下与零应力面垂直的各斜截面中的切应力的极值,并不是指三向应力状态下单元体的最大切应力。得切应力的极值和他们所在的平面

例1一铸铁材料的圆轴,试分析扭转时边缘上点A的应力情况。

解：圆轴受扭时，横截面边缘处切应力最大，其值为：取边缘上的点A分析主应力方向：例8-1§8－6广义胡克定律

广义胡克定律

对应于主应力σ1、σ2、σ3方向的线应变分别为ε1、ε2、ε3，称为主应变。各向同性材料，小变形条件下，应变满足叠加原理，主应变ε1可看成各主应力单独作用时，在σ1方向上产生的应变叠加的结果。在σ1的单独作用下，沿σ1方向的线应变为在σ2和σ3的单独作用下，在σ1方向引起的线应变分别为根据叠加原理，在σ1、σ2、σ3三个主应力的共同作用下，沿σ1方向的主应变为同理，可求出沿σ2和σ3方向的主应变ε2和ε3，结果有广义胡克定律（主应力表示主应变）广义胡克定律（正应力表示正应变）

对于各向同性材料，当变形很小且应力不超过比例极限时，线应变只与正应力有关，与切应力无关；切应变只与切应力有关，与正应力无关：9个应力分量表示该点处的应力状态§8－7

强度理论

强度理论的概念由于材料破坏主要有两种形式,相应地存在两类强度理论。一类是断裂破坏理论,主要有最大拉应力理论和最大拉应变理论等；另一类是屈服破坏理论,主要是最大切应力理论和形状改变比能理论。根据不同的强度理论可以建立相应的强度条件,从而为解决复杂应力状态下构件的强度计算提供了依据。

常用的四种强度理论

最大拉应力理论(第一强度理论)

引起材料断裂破坏的主要因素是最大拉应力。因此，材料发生破坏的条件为相应的强度条件是

σ1—构件危险点处的最大拉应力；[σ]—单向拉伸时材料的许用力。

试验表明，这个理论对于脆性材料，在单向、二向或三向拉断裂时，最大拉应力理论与试验结果基本一致。在存在有压应力的情况下，则只有当最大压应力值不超过最大拉应力值时，拉应力理论才正确。这个理论没有考虑其他两个主应力对断裂破坏的影响。同时对于压缩应力状态，由于根本不存在拉应力，这个理论无法应用。最大伸长线应变理论(第二强度理论)

不论材料处于何种应力状态，只要最大伸长应变ε1达到材料单向拉伸断裂时的最大伸长应变值ε01，材料即发生断裂破坏。因此，材料发生断裂破坏的条件为对于铸铁等脆性材料，从受力到断裂，其应力、应变关系基本符合胡克定律，强度条件为试验表明，脆性材料在二向拉伸——压缩应力状态下，且压应力绝对值较大时，试验与理论结果比较接近；二向压缩与单向压缩强度有所不同，但混凝土、花岗石和砂岩在两种情况下的强度并无明显差别；铸铁在二向拉伸时应比单向拉伸时更安全，而试验并不能证明这一点。

最大切应力理论(第三强度理论)

不论材料处于何种应力状态，只要最大切应力τmax

达到材料单向拉伸屈服时的最大切应力τ0max

，材料即发生屈服破坏，屈服条件为相应的强度条件为

试验表明,对塑性材料，如常用的Q235A、45钢、铜、铝等，此理论与试验结果比较接近。

形状改变比能理论(第四强度理论)

积蓄在单位体积内的变形能，包括因体积改变和因形状改变而产生的比能两个部分。相应的强度条件为

四种强度理论的适用范围

大量的工程实践和实验结果表明,上述四种强度理论的有效性取决于材料的类别以及应力状态的类型。1)在三向拉伸应力状态下,不论是脆性材料还是塑性材料，都会发生断裂破坏，应采用最大拉应力理论。2)在三向压缩应力状态下,不论是塑性材料还是脆性材料，都会发生屈服破坏，适于采