第八章 曲线及曲面

2/3/20231第八章曲线和曲面2/3/20232目录§8-1曲线§8-2曲面概述§8-3回转曲面§8-4圆柱螺旋面2/3/20233§8-1曲线

一、曲线的形成和分类

曲线可以看作是由以下三种方式形成的：

1.不断改变方向的点连续运动的轨迹。

2.曲面立体表面的交线。

3.直线族或曲线族的包络。

点的运动轨迹曲表面的交线包络曲线2/3/20234§8-1曲线

曲线的分类：可分为规则曲线与不规则曲线，例如圆是规则曲线，地面等高线是不规则曲线；

又可分为平面曲线和空间曲线，曲线上所有的点都位于一个平面上，这样的曲线叫平面曲线；连续四个点不在同一平面上的曲线叫空间曲线。圆柱螺旋线就是空间曲线的例子。2/3/20235§8-1曲线

二、曲线的投影

画出曲线上一系列点的投影，可得到曲线的投影。为了准确地表示曲线，一般应画出曲线上特殊点的投影，以便控制好曲线的形状。

曲线的投影性质：

1.曲线的投影一般仍为曲线，特殊情形下平面曲线的投影可能退化成直线；

2/3/20236§8-1曲线

2.曲线的切线在某投影面上的投影仍与曲线在该投影面上的投影相切，而且切点的投影仍为切点；

3.二次曲线的投影一般仍为二次曲线，例如圆的投影一般为椭圆。2/3/20237§8-1曲线

平面曲线的投影，其形状视平面与投影面的倾斜状态而定，当平面平行于投影面时，曲线的投影反映曲线的实形；当平面垂直于投影面时，曲线的投影退化为直线；当平面倾斜于投影面时，曲线的投影为变了形的曲线。反映实形退化成直线变了形的曲线2/3/20238§8-1曲线

三、圆的投影

1.投影面垂直面上的圆

圆在所垂直的那个投影面上的投影为直线段，线段的长度等于圆的直径，圆的另外两投影为椭圆，椭圆的长轴长度等于圆的直径。2/3/20239§8-1曲线

例6-1

已知直径为d的圆位于铅垂面内，并知圆心O和PH的位置，试作出其投影。

解：水平投影为线段，长度等于d，重合在PH上；正面投影和侧面投影为椭圆，长轴竖直，长度等于d，短轴水平，长度根据水平投影作出。利用圆的辅助投影可作出椭圆上的一些中间点。2/3/202310§8-1曲线

2.一般斜平面上的圆

圆所在的平面倾斜于三个投影面时，圆的任一投影都是椭圆，椭圆长轴的长度总是等于圆的直径d。2/3/202311§8-1曲线

例6-2

半径为r的圆位于一般倾斜平面□ABCD上，并知圆心的位置，试作出其投影。

解：首先，在水平投影中作椭圆的长短轴：长轴的方向为面内水平线的水平投影的方向，长度等于圆的直径2r。短轴垂直于长轴，长度利用直角三角形法求出。2/3/202312§8-1曲线

四、螺旋线的投影

1.圆柱螺旋线的形成

点P沿圆柱面在绕轴线作等角速回转运动的同时又沿轴向作等速直线运动，该动点复合运动的轨迹就是圆柱螺旋线。

2/3/202313§8-1曲线

2、螺旋线的投影

螺旋线轴线为铅垂线时，螺旋线的水平投影为圆。把圆周等分（例如12等分），分点按旋向依次编号为0、1、2……；在正面投影中把导程也作相同的等分，过各分点作水平线；由水平投影中的各分点作竖直线与正面投影上的对应水平线相交，得0’、1’、2’……,把这些点连成光滑曲线，即为螺旋线的正面投影。2/3/202314§8-2曲面概述

一、曲面的形成和分类

曲面分为规则曲面和不规则曲面。规则曲面可以看成是运动的线按照一定的规则或受某种控制运动的轨迹。运动的线称为母线，曲面上任意位置的母线称为素线。控制母线运动的线或面，称为导线或导面。

2/3/202315§8-2曲面概述

由直母线运动生成的曲面称为直线面，例如圆柱面、圆锥面；只能由曲母线运动生成的曲面称为曲线面，例如球面。2/3/202316§8-2曲面概述

根据母线运动时有无旋转轴，曲面可以分为旋转面和非旋转面。在旋转面中，由直母线旋转生成的叫旋转直纹面，由曲母线旋转生成的叫旋转曲线面。2/3/202317按母线运动形式分回转面与非回转面。按曲面能否摊平分可展曲面与非可展曲面，在直线面中可展曲面的相邻素线平行或相交，又称单曲面，而不可展曲面相邻素线交叉，又称复曲面或扭曲面。按母线在运动过程中有无变化可分定线面与变线面。2/3/202318§8-2曲面概述

二、曲面的投影

平行于某个投射方向而且与曲面相切的投射线，形成投射平面或柱面，它们与曲面相切的切线称为该投射方向的曲面外形轮廓线，简称外形线。曲面在某个投影面上的投影，可以用该投射方向上外形线的投影来表示。此外，有时还需同时画出曲面上若干条素线。2/3/202319§8-2曲面概述

外形线同时还是曲面在该投射方向下可见与不可见部分的分界线。2/3/2023208-3回转曲面一、回转曲面的形成与投影母线绕一定轴旋转而形成的曲面称为回转曲面。母线上任意一点的运动轨迹都是垂直于回转轴的圆，称为纬圆。纬圆的半径等于点到轴的距离，其中距离最小的点形成的纬圆又称喉圆，距离最大的点形成的纬圆又称赤道圆，母线两端点形成了上底圆和下底圆。回转曲面上的素线又称经线，而平行于V面的经线则称主经线。2/3/202321§8-3回转曲面

二、回转曲面上的点和线

曲面上点的投影在曲面的同面投影上。这里讨论的问题是，已知曲面的投影，根据曲面上点的一个投影如何求出它的其余投影。与平面上定点类似，这里也要借助于辅助线。曲面上选用的辅助线，其投影应为直线或圆。对于直线面，可选用其直的素线为辅助线，用这种方法求点的投影称为素线法。对于旋转面可以选用纬圆作为辅助线，用这种方法求点的投影称为纬圆法。2/3/202322§8-3回转曲面

在圆锥面上用素线法和纬圆法求点的投影的例子：2/3/202323§8-3回转曲面

一、球面

圆绕其任一直径旋转生成球面。所以球面被任一平面截割，其交线均为圆。球的任一正投影也总是圆。圆的直径等于球的直径。2/3/202324§8-3回转曲面

在球面上作点，一般用纬圆法。例如已知球上点A的正面投影a’,过a’作水平纬圆的正面投影，得纬圆半径ra，在水平投影中以ra为半径画圆，得纬圆的水平投影，a在此圆上。2/3/202325§8-3回转曲面

例8-3根据部分球面的正面投影和水平投影，求作侧面投影，并根据球面上A点的正面投影a’

和B点的水平投影b，作出其余的投影。解：本题表示的是1/4球面，其侧面投影为一扇形。用纬圆法可求出A和B的其余各投影。2/3/202326§8-3回转曲面

二、环面

圆绕与其共面但不通过圆心的轴线旋转，生成环面。外半圆周生成外环面，内半圆周生成内环面。2/3/202327§8-3回转曲面

图示环面的正面投影上，画出了轴线和外形线，包括母线上最高、最低点的轨迹及两个反映实形的母线圆的投影，其中内半圆的投影为不可见。水平投影上画出了母线圆的圆心轨迹及外形线，包括母线圆上最外、最内点轨迹圆的投影。2/3/202328§8-3回转曲面

在环面上作点，一般用纬圆法。

例8-4

已知1/4环面上A、B两点的正面投影，求其余投影。

解：先根据已知投影的可见性，判断点在环面上的部位，作纬圆求出点的相应投影。

2/3/202329§8-4圆柱螺旋面

分别以圆柱螺旋线和其轴线为导线，直母线l沿此两导线移动而又同时与轴线保持一定的角度，这样形成的曲面称为螺旋面。若母线与轴正交，得到的叫正螺旋面，否则得到的叫斜螺旋面。2/3/202330§8-4圆柱螺旋面

1.正螺旋面投影图直观图2/3/202331§8-4圆柱螺旋面

应用实例：螺旋楼梯的作图2/3/202332§8-4圆柱螺旋面

塔柱上的螺旋楼梯

2/3/202333§8-4圆柱螺旋面

一、柱面

直母线l沿着一条导曲线运动，且始终平行于某一固定方向T，这样形成的曲面称为柱面。柱面的所有素线均互相平行，画柱面的投影时需画出外形线的投影（轮廓素线）。2/3/202334§8-4圆柱螺旋面在柱面上求点的投影，一般可用素线法。2/3/202335§8-4圆柱螺旋面

柱面的曲导线一般为平面曲线。柱面是按正截面的形状取名的，正截面是圆时，称为圆柱面；正截面是椭圆时，称为椭圆柱面，等等。如果柱面有两个以上的对称平面，则对称平面的交线称为柱面的轴。下面是几种有轴柱面的投影。2/3/202336§8-4圆柱螺旋面

二、锥面

直母线沿着一条曲导线C运动，且始终通过定点S，这样形成的曲面称为锥面。S称为锥顶，所有的素线都通过它。在投影图上，应画出锥顶、导曲线和锥面外形线的投影。2/3/202337§8-4圆柱螺旋面

在锥面上作点，一般利用素线法。当用投影面平行面能截出圆形交线时，也可以用纬圆法作点。下面是几种有轴的锥面。2/3/202338

直母线l沿着两条交叉直导线AB、CD运动，且始终平行于某一导平面Q，这样形成的曲面称为双曲抛物面，工程上也称扭面。§8-4圆柱螺旋面

四、双曲抛物面

双曲抛物面的投影图中，只需画出两条直导线和若干素线的投影，而不必画出导平面。2/3/202339§8-4圆柱螺旋面双曲抛物面在工程上有广泛的用途。水渠边坡渐变段道路边坡过渡段2/3/202340§8-4圆柱螺旋面

对于同一个双曲抛物面，也可以把它看作是以AD、BC为交叉直导线，以平行于端点连线AB、CD的平面P为导平面所形成的。也就是说，双曲抛物面上有两族素线，其中每一条素线与同族的所有素线都不相交，而与另一族的所有素线都相交。2/3/202341

直母线l沿着一条直导线EF和一条曲导线ABC运动，且始终平行于导平面P（P平行于两条导线端点的连线AE和CF），这样形成的曲面称为锥状面。

§8-4圆柱螺旋面

五、锥状面

2/3/202342§8-4圆柱螺旋面

六、柱