第五章 拉伸与压缩

第7章拉伸和压缩§7-1横截面上的应力§7-2拉压杆的强度计算§7-3斜截面上的应力§7-4拉（压）杆的变形与位移§7-5拉（压）杆内的应变能1§7-6低碳钢和铸铁受拉伸和压缩时的力学性能§7-7简单的拉、压超静定问题§7-8拉（压）杆接头的计算2工程中有很多构件，例如屋架中的杆，是等直杆，作用于杆上的外力的合力的作用线与杆的轴线重合。在这种受力情况下，杆的主要变形形式是轴向伸长或缩短。3§7-1横截面上的应力在第6章中已讨论过轴向拉伸、压缩杆件横截面上的内力——轴力FN。显然，它是横截面上法向分布内力的合力。4要判断一根杆件是否会因强度不足而破坏，还必须联系杆件横截面的几何尺寸、分布内力的变化规律找出分布内力在各点处的集度——应力。杆件横截面上一点处法向分布内力的集度称为正应力，以符号s表示。定义：法向分布内力的集度—mm截面C点处的正应力s

为：mmC（7-1）5

是矢量，因而正应力s也是矢量，其方向垂直于它所在的截面。正应力的量纲为。在国际单位制中，应力的单位为帕斯卡(Pascal)，其中文代号是帕，国际代号是Pa。mmC6受力后受力前由于应力在截面上的变化规律还不知道，所以无法求出。解决此问题的常用方法是，以杆件在受力变形后表面上的变形情况为根据，由表及里地作出内部变形情况的几何假设，再根据分布内力与变形间的物性关系，得到应力在截面上的变化规律，然后再通过静力学中求合力的概念得到以内力表示应力的公式。7在杆受轴向拉伸时，两横向周线虽然相对平移，但每一条周线仍位于一个平面内。受力前受力后8平面假设：原为平面的横截面A和B，在杆变形后仍为平面，且仍与杆的轴线垂直。这意味着杆件受轴向拉伸时两横截面之间的所有纵向线段其绝对伸长相同，伸长变形的程度也相等。受力后9在工程上常假设材料是均匀的，连续的,而且是各向同性的。于是根据拉杆的变形情况，可以推断，横截面上各点处的正应力处处相等。按静力学求合力的概念可知：10（7-2）式中，FN为轴力，A为横截面面积。对于轴向压缩的杆件，如果它具有足够的抵抗弯曲的刚度，上式同样适用。对应于伸长变形的拉应力为正，对应于缩短变形的压应力为负。11外力作用于杆端的方式（例如，外力作用在杆件端面的局部或者整个端面），在一般情况下只会影响外力作用处附近横截面上的应力分布情况，而影响范围不大于杆的横向尺寸。注意上式只在杆上离外力作用点稍远的部分才正确，而在外力作用点附近的应力情况比较复杂。圣维南原理：12当杆受几个轴向外力作用时，从截面法可求得其最大轴力；对等直杆来讲，将它代入公式,即得杆内的最大应力为：（7-3）此最大轴力所在横截面称为危险截面，由此式算得的正应力即危险截面上的正应力，称为最大工作应力。13一横截面面积A=400mm2的等直杆，其受力如图所示。试求此杆的最大工作应力。解：此杆的最大轴力为：最大工作应力为：20kN20kN30kN.ABCDFN（kN）x3020O例题7-114一横截面为正方形的砖柱分上下两段，其受力情况、各段长度及横截面尺寸如图所示。已知F=50kN,试求荷载引起的最大工作应力。

解：首先作轴力图。由于此柱为变截面杆，因此要求出每段柱的横截面上的正应力，从而确定全柱的最大工作应力。50kN150kN例题7-2370FFF240长度单位:mm15例题7-250kN150kN(b)370FFF240(a)16最大工作应力为：例题7-250kN150kN(b)370FFF240(a)17试论证若杆件横截面上的正应力处处相等，则相应的法向分布内力的合力必通过横截面的形心。反之，法向分布内力的合力虽通过形心，但正应力在横截面上却不一定处处相等。根据平行力系求合力的办法，可知杆件横截面上的正应力均匀分布，则其合力必过横截面的形心（即该合力为轴力），但横截面上的正应力非均匀分布时，它们仍可能只组成轴力。思考题7-118

注意：拉、压杆横截面上正应力的计算公式是建立在变形符合平面假设的基础上的。因而杆件受轴向拉伸或压缩时，只有在变形符合这一假设，且材料均匀连续的条件下,才能应用该公式。工程上常见的带有切口、油孔等的轴向受拉杆件，在上述那些部位，由于截面尺寸急剧变化，同一横截面上的正应力并非处处相等，而有局部增大现象，即产生所谓“应力集中”。应力集中处的局部最大应力smax与按等截面杆算得的应力s0之比称为应力集中系数a。19最大应力smax与按等截面杆算得的应力s0之比即应力集中系数a：20§7-2拉压杆的强度计算为使杆件在外力作用下不致发生断裂或者显著的永久变形（即塑性变形），即不致发生强度破坏，杆件内最大工作应力smax不能超过杆件材料所能承受的极限应力su，而且要有一定的安全储备。这一强度条件可用下式来表达上式中，n是大于1的因数，称为安全因数，其数值通常是由设计规范规定的。它包括了两方面的考虑。一方面是强度条件中有些量的本身就存在着主观认识与客观实际间的差异，另一方面则是给构件以必要的安全储备。21材料受拉伸（压缩）时的极限应力要通过试验来测定。极限应力除以安全因数得到材料能安全工作的容许应力[s]。于是强度条件又可写作应用强度条件可对拉、压杆件进行如下三类计算：223.确定许可荷载——已知杆件的横截面积A、材料的容许应力[s]以及杆件所承受的荷载的情况，根据强度条件确定荷载的最大容许值。2.选择截面尺寸——已知荷载及容许应力，根据强度条件选择截面尺寸。1.校核强度——已知杆件的横截面面积A、材料的容许应力[s]以及杆件所承受的荷载，检验是否满足下式，从而判定杆件是否具有足够的强度。23

解：首先作杆的轴力图。一横截面为矩形的钢制阶梯状直杆，其受力情况、各段长度如图(a)所示。BC段和CD段的横截面面积是AB段横截面面积的两倍。矩形截面的高度与宽度之比h/b=1.4，材料的容许应力[s]=160MPa。试选择各段杆的横截面尺寸h和b。OxFN/kN202030(b)对于AB段，要求：例题7-3ABCD20kN40kN50kN0.5m0.5m1m(a)24对于CD段，要求由题意知CD段的面积是AB段的两倍，应取例题7-3OxFN/kN202030(b)ABCD20kN40kN50kN0.5m0.5m1m(a)则25可得AB段横截面的尺寸b1及h1：由由可得CD段横截面的尺寸b2及h2：例题7-3ABCD20kN40kN50kN0.5m0.5m1m26图示一等直杆在自重和力F作用下的示意图。已知杆的横截面面积为A，材料密度为r，容许应力为[s]。试分析杆的自重对强度的影响。解：要研究自重对杆的强度的影响，应探讨自重与杆内最大正应力的关系，为此可先算出杆的任一横截面上的轴力，从而求出杆的最大轴力。FlCB例题7-427作轴力图如下：FNxFF+Arg

lFlCBxFArg

xFN(x)FN(x)=F+Arg

x例题7-428由此可见，若杆的rg

l与其材料的[s]相比很小，则杆的自重影响很小而可忽略不计。FNxFF+Arg

l例题7-429解：(1)首先求斜杆和横杆的轴力与荷载的关系。有一三角架如图所示，其斜杆由两根等边角钢组成，横杆由两根10号槽钢组成，材料均为Q235钢，容许应力[s]=120MPa。求许可荷载[F]。例题7-5yxFF2F1AACF30(2)计算许可轴力。由型钢表查得：由强度条件知许可轴力为：例题7-5yxFF2F1AACF31(3)计算许可荷载。故斜杆和横杆都能安全工作的许可荷载应取例题7-5yxFF2F1AACF32§7-3斜截面上的应力实验表明，拉（压）杆的强度破坏并不一定沿横截面发生，有时是沿某一斜截面发生。为了研究其破坏原因，现讨论斜截面上的应力。kFFk33kFFk(a)问题：kFk(b)Fa34仿照前面求正应力的分析过程，同样可知斜截面上的应力处处相等。(A为横截面的面积)kFk(b)Fa35A(c)36应力状态：通过一点的所有各截面上的应力其全部情况。单向应力状态：一点处的应力状态由其横截面上的正应力即可完全确定。以上的分析结果对压杆也同样适用。以上两式表达了通过拉杆内任一点的不同斜截面上的正应力和切应力随a

角而改变的规律。37FF由式和可知：38拉（压）杆最大切应力发生在与轴线成±45º的斜截面上，其大小为最大正应力的一半。39思考题7-2受轴向拉（压）的杆件，其斜截面上的应力与横截面上的应力有下面的确定关系，那么，对于由某种材料制成的拉杆如果实际上是由于而引起的强度破坏，是否可用作为强度破坏的判据呢？40（3）拉（压）杆任意两个互相垂直的截面k-k和n-n上的切应力为：kFFknn41切应力互等定理:任何受力物体内一点处，两个相互垂直截面上与这两个面的交线垂直方向的切应力，也必定大小相等，而指向都对着（或都背离）这两个垂直截面的交线。F(b)kFFknn42单向拉伸（压缩）时的应力圆：代表斜截面上应力的点必落在这个圆周上。C(a)O（4）关于应力圆的概念43比较可知，而且b与a

的转向相同。由图可得与式OCDEAsa44(2)如果是这样，是否说明了以及？思考题7-3(1)应力圆上代表拉（压）杆两个相互垂直截面上应力的点，是否位于直径的两端？OCDEAsa45参照右图可得出如下结论：OCDEAF思考题7-346图示一从拉杆内取出的一个微小的正六面体（单元体）及其应力状态，求图示斜截面上的应力，并求该单元体中的最大切应力及其作用面。xyn(a)解：(1)作应力圆C(b)DOBA例题7-647xn(c)求所示斜截面上的应力，如图(c)所示。(3)求最大切应力,如图(b)所示。最大切应力发生在B及B′点，并有：例题7-6CDOBA(b)48xn(d)最大切应力的作用面如下图所示。例题7-6xn(e)49(1)图(e)所示斜截面上的正应力和切应力其数值和指向是否正确？思考题7-4xn(e)50xyn(a)(2)图(a)所示斜截面上的应力，其数值和指向与图(b)所示是否相同？(b)xy(b)参照下图分析思考题7-4CDOBA51§7-4拉（压）杆的变形与位移1.胡克定律FFld实验表明，工程上许多材料，如低碳钢、合金钢等都有一个线弹性阶段，即：（FN为轴力，A为截面积）52引入比例常数E有：上式即为拉（压）杆的胡克定律。式中E为弹性模量，其量纲为，常用单位为MPa。FFld(单向应力状态时的胡克定律)53FFld该式表达的是均匀伸长时的线应变。542.横向变形系数——泊松比n横向线应变为：实验证实：泊松比是一与材料有关的无量纲的量，其数值通过实验测定。FFld55若在受力物体内一点处已测得两个相互垂直的x和y方向均有线应变，则是否在x和y方向必定均作用有正应力？若测得仅x方向有线应变，则是否y方向无正应力？若测得x和y方向均无线应变，则是否x和y方向必定均无正应力？思考题7-556

解：首先作轴力图。若认为基础无沉陷，则砖柱顶面下降的位移等于全柱的缩短。一横截面为正方形的砖柱分上下两段，其受力情况、各段长度及横截面尺寸如图所示。已知F=50kN,材料的弹性模量。试求砖柱顶面的位移。由于此柱为变截面杆，且上下两段轴力不等因此要分段计算。例题7-750kN150kN370FFF240Ⅱ长度单位:mm57由此得例题7-750kN150kN(b)370FFF240(a)Ⅱ58图示两根材料相同的等截面杆，(1)它们的总变形是否相同？(2)它们的变形程度是否相同？(3)两杆哪些相应截面的纵向位移相同？思考题7-6FA(a)FA/2(b)59图(a)是一等直杆在自重和力F作用下的示意图。已知杆的横截面面积为A，材料密度为r，弹性模量为E,杆长为l。试求杆的总伸长。解：要求杆的总伸长，首先作出轴力图。FlCB(a)例题7-860作轴力图如下：FNxFF+Arg

lFArg

xFN(x)FN(x)=F+Arg

xFlCBx例题7-861FN(x)=F+Arg

x(P为杆的总重量)自重引起的伸长怎样考虑？例题7-8FlCBxFN(x)Arg

dxFN(x+dx)62例题7-8中杆任意横截面m-m的纵向位移是否可由下式计算：为什么式中积分的下限为l,而不取为零？为什么积分号前取正号？思考题7-7FN(x)=F+Arg

xFlCBxFN(x)Arg

dxFN(x+dx)63图示杆系由圆截面钢杆1、2组成。各杆的长度均为l=2m,直径均为d=25mm。已知钢的弹性模量E=2.1×105MPa，荷载F=100kN，变形前a=30o。试求节点A的位移DA。例题7-964解：分析可知结点A只有竖直位移例题7-965问题：位移与变形的区别？例题7-966应变能（U)：弹性体在外力作用下产生变形时，其内部储存的能量。当外力除去时这种弹性应变能也就随变形的消失而释放出来。本节研究拉（压）杆在线性弹性范围内工作时的应变能。§7-5拉（压）杆内的应变能67ABF(a)OFABF(b)68如果荷载缓慢地增大，而可以不计动能，并忽略热能等，根据能量守恒原理，荷载作的功在数值上等于拉杆内的应变能。对于图示杆，其应变能为：应变能的单位与功相同，为焦(J)：上面的公式适用于线弹性范围。ABF(a)69拉（压）杆单位体积内所积蓄的应变能——比能u为比能的常用单位是：V表示体积70杆系如图所示，(1)求该系统内的应变能U,(2)求外力所作的功W。例题7-971系统的应变能为：解：(1)例7-8的结果知例题7-972(2)外力的功为：例题7-973图示的三根圆截面杆，其材料、支撑情况、荷载F及长度l均相同，但直径及其变化不同。试比较这三根杆内的应变能。自重不计。F(b)2d2ddF(c)32dd例题7-10F(a)1d74解：计算1杆的应变能计算2杆的应变能时，应分段计算：例题7-10F(b)2d2ddF(a)1d75同理3杆的应变能为：体积增大，1、2、3杆的应变能依次减少。例题7-10F2d2ddF32ddF1d76如图所示，重量为P的重物从高处自由落下，在与杆AB下端的盘B碰撞后不发生回跳。已知自由落距为h，杆的长度为l,盘及杆重均可不计。试求杆的最大伸长及其横截面上的最大拉应力。P(a)ABPd(b)ABP(c)AB例题7-1177解：碰撞结束后，杆的伸长达到最大值——圆盘的最大位移。相应于这个最大位移的假想静荷载称为冲击荷载，以Pd表示。相应的应力称为冲击应力，以表sd示。例题7-11Pd(b)AB78材料在线弹性范围内工作时，上述结果正确。例题7-11Pd(b)AB79(1)若图中重物不是从高处自由下落而是骤然加在杆AB下端的盘B上，则冲击系数为多少？(2)图(b)、(c)、(d)所示三根杆件若承受图(a)那样的冲击，试求它们的冲击系数之比。思考题7-9P(a)ABP(c)2d2ddP(d)32ddP(b)1d80思考题7-9参考答案：(1)P(a)AB81思考题7-9参考答案：(2)P(a)ABP(c)2d2ddP(d)32ddP(b)1d82思考题7-9参考答案：P(a)ABP(c)2d2ddP(d)32ddP(b)1d83(3)推导公式时略去了碰撞过程中能量的损失，那么由此算得的Kd是偏大还是偏小？答：偏大P(a)ABP(c)2d2ddP(d)32ddP(b)1d84§7-6低碳钢和铸铁受拉伸和压缩时的力学性能1.材料的拉伸和压缩试验圆截面试样：l=10d或l=5d(工作段长度称为标距)。矩形截面试样：或。拉伸试样85试验设备：(1)万能试验机：强迫试样变形并测定试样的抗力。(2)变形仪：将试样的微小变形放大后加以显示的仪器。圆截面短柱(用于测试金属材料的力学性能)正方形截面短柱(用于测试非金属材料的力学性能)

压缩试样

86实验装置

（万能试验机）872.低碳钢试样的拉伸图及低碳钢的力学性能拉伸图纵坐标——试样的抗力F(通常称为荷载)横坐标——试样工作段的伸长量88低碳钢试样在整个拉伸过程中的四个阶段：(1)阶段Ⅰ——弹性阶段变形完全是弹性的，且Δl与F成线性关系，即此时材料的力学行为符合胡克定律。89(2)阶段Ⅱ——屈服阶段

在此阶段伸长变形急剧增大，但抗力只在很小范围内波动。此阶段产生的变形是不可恢复的所谓塑性变形；在抛光的试样表面上可见大约与轴线成45°的滑移线(，当α=±45°时τa的绝对值最大)。90(3)阶段Ⅲ——强化阶段

91卸载及再加载规律若在强化阶段卸载，则卸载过程中F－Δl关系为直线。可见在强化阶段中，Δl=Δle+Δlp。卸载后立即再加载时，F－Δl关系起初基本上仍为直线(cb)，直至当初卸载的荷载——冷作硬化现象。试样重新受拉时其断裂前所能产生的塑性变形则减小。92(4)阶段Ⅳ——局部变形阶段试样上出现局部收缩——颈缩，并导致断裂。93低碳钢的应力—应变曲线(s

－e曲线)为消除试件尺寸的影响，将低碳钢试样拉伸图中的纵坐标和横坐标换算为应力s和应变e，即，其中：A——试样横截面的原面积，l——试样工作段的原长。94低碳钢s－e曲线上的特征点：比例极限sp(proportionallimit)弹性极限se(elasticlimit)屈服极限ss(屈服的低限)(yieldlimit)强度极限sb(拉伸强度)(ultimatestrength)Q235钢的主要强度指标：ss=240MPa，sb=390MPa95低碳钢拉伸试件低碳钢拉伸破坏演示96低碳钢拉伸破坏断口97低碳钢的塑性指标：伸长率断面收缩率：A1——断口处最小横截面面积。Q235钢：y≈60%Q235钢：(通常d

>5%的材料称为塑性材料)98注意：(1)低碳钢的ss，sb都还是以相应的抗力除以试样横截面的原面积所得，实际上此时试样直径已显著缩小，因而它们是名义应力。(2)低碳钢的强度极限sb是试样拉伸时最大的名义应力，并非断裂时的应力。(3)超过屈服阶段后的应变还是以试样工作段的伸长量除以试样的原长而得，因而是名义应变(工程应变)。99(4)伸长率是把拉断后整个工作段的均匀塑性伸长变形和颈缩部分的局部塑性伸长变形都包括在内的一个平均塑性伸长率。标准试样所以规定标距与横截面面积(或直径)之比，原因在此。思考：低碳钢的同一圆截面试样上，若同时画有两种标距（l=10d和l=5d)，试问所得伸长率d10和d5哪一个大？1003.其他金属材料在拉伸时的力学性能101由s－e曲线可见：材料锰钢强铝退火球墨铸铁弹性阶段√√√屈服阶段×××强化阶段√√√局部变形阶段×√√伸长率>5%>5%>5%102sp0.2(规定非比例伸长应力，屈服强度)用于无屈服阶段的塑性材料103割线弹性模量用于基本上无线弹性阶段的脆性材料脆性材料拉伸时的唯一强度指标：sb←基本上就是试样拉断时横截面上的真实应力。104铸铁拉伸破坏演示1054.金属材料在压缩时的力学性能低碳钢拉、压时的ss基本相同。低碳钢压缩时s-e的曲线106低碳钢材料轴向压缩时的试验现象107低碳钢压缩破坏演示108铸铁压缩时的sb和d均比拉伸时大得多；不论拉伸和压缩时在较低应力下其力学行为也只近似符合胡克定律。灰口铸铁压缩时的s－e曲线109试样沿着与横截面大致成50°~55°的斜截面发生错动而破坏。材料依在常温(室温)、静荷载(徐加荷载)下由拉伸试验所得伸长率区分为塑性材料和脆性材料。110铸铁压缩破坏演示111铸铁压缩破坏断口：拉压破坏试件1125.几种非金属材料的力学性能(1)混凝土压缩时的力学性能使用标准立方体试块测定端面润滑时的破坏形式端面未润滑时的破坏形式113压缩强度sb及破坏形式与端面润滑情况有关。以s－e曲线上s

=0.4sb的点与原点的连线确定“割线弹性模量”。混凝土的标号系根据其压缩强度标定，如C20混凝土是指经28天养护后立方体强度不低于20MPa的混凝土。压缩强度远大于拉伸强度。114木材的力学性能具有方向性，为各向异性材料。如认为木材任何方面的力学性能均可由顺纹和横纹两个相互垂直方向的力学性能确定，则又可以认为木材是正交异性材料。松木在顺纹拉伸、压缩和横纹压缩是的s－e曲线如图。(2)木材拉伸和压缩时的力学性能木材的横纹拉伸强度很低(图中未示)，工程中也避免木材横纹受拉。木材的顺纹拉伸强度受木节等缺陷的影响大。115(3)玻璃钢（玻璃纤维与热固性树脂粘合而成的复合材料）纤维单向排列的玻璃钢沿纤维方向拉伸时的s－e曲线如图中(c)，纤维增强复合材料所用的纤维尚有碳纤维、硼纤维等。1167.7.1超静定的基本概念1.静定结构与超静定结构静定结构——由静力平衡方程可求出全部未知力。§7-7简单的拉、压超静定问题(b)(a)FACBFABCFN1FN2(c)ABFFN1FN2117超静定结构——仅由静力平衡方程不能求出全部未知力。超静定的次数——未知量数目与独立平衡方程数目之差。(b)FABCFN1FN2(c)ABFFN1FN2FACB(a)一次超静定结构1182.多余约束与超静定次数超静定结构=静定结构+多余约束多余约束——其对于保证结构的平衡与几何不变而言是多余的。多余约束的数目——超静定次数。超静定次数=全部未知力数目－独立的平衡方程数1197.7.2求解超静定问题的基本方法1.求解任何超静定问题,都必须同时考虑三个方面条件:(1)平衡条件(2)几何条件(3)物理条件2.解题步骤(1)画受力图,列出独立的平衡方程,并确定超静定次数;(2)画变形关系图,列出变形协调方程;(3)根据胡克定律,列出物理方程;120(4)将物理方程代入变形协调方程得补充方程;(5)联立求解平衡方程和补充方程,解出全部未知力。7.7.3荷载作用下的拉压杆超静定问题已知:F,l,E,A。求:smax

ABFFCDFAFB解:此为一次超静定问题(1)平衡方程(2)变形协调方程例题7-12ABFFCDlll121(b)(3)物理方程(c)例题7-12ABFFCDlll122(4)解方程,得:例题7-12ABFFCDFAFBxFNÅÅ123解:此为一次超静定问题(a)123aalABCF(b)(c)(d)例题7-13124(b),(c)正确(d),(e),(f),(g)错误判断上述变形图是否正确？(e)(f)(g)例题7-13125对(b)图:(1)平衡方程(b)(2)变形协调方程(3)物理方程例题7-13(a)123aalABCF126(4)补充方程将(b)代入(a)(b)(5)解方程,得:例题7-13(a)123aalABCF127例题7-13(a)12