第二章 信号描述及其分析

第二章信号描述及其分析通过测量装置变成容易测量、记录、和分析的变化量电信号工程测试信号分析和处理有用信息信号分析：研究信号的构成和特征。信号处理：把信号经过必要的变换过程以获得所需信息的过程。信号分析和信号处理的基本方法：将信号抽象为变量之间的函数关系，特别是时间函数或空间函数，从数学上加以研究。信号的频谱分析，是最重要的信号分析技术之一。本章主要讲述信号的分类、信号的描述和信号的分析等方面的知识第一节信号及分类信号有各种形式，可以不同的角度对其进行分类。一.确定性信号能用确定的数学关系式描述，因而可确定其任何时刻的量值的信号。有周期信号和非周期信号。按一定时间间隔周而复始重复出现，无始无终的信号。1.周期信号：如其周期、频率、角频率关系为其表达式的形式为简单周期信号复杂周期信号2.非周期信号确定性信号中不具有周期重复性的信号。非周期信号中包含准周期信号和瞬变非周期信号。瞬态信号：除准周期信号以外的非周期信号，是一些或在一定的时间区间内存在，或随着时间的增长而衰减至零的信号。准周期信号：由两个以上的周期信号合成的，但其组成分量间无法找到公共周期，无法按某时间间隔周而复始重复出现的信号。不能准确预测未来瞬时值，也无法用数学关系式描述的信号。如汽车行驶时的震动和环境噪声等。随机信号可以用数理统计的方法进行描述。二.随机信号（非确定性信号）噪声信号(平稳)统计特性变异噪声信号(非平稳)连续信号的幅值可以是连续的，也可以是离散的。幅值连续的连续信号称模拟信号。三.连续信号和离散信号确定性信号的数学表达式中的独立变量取值是连续的。特点：1.连续信号确定性信号的数学表达式中的独立变量取值是离散的信号。2.离散信号特点：离散信号的幅值可以是连续的，也可以是离散的。在所有时间点上有定义的信号（幅值连续）称为采样信号，幅值离散的信号称为数字信号。在非电量测量中，把被测信号转换为电流或电压信号来处理。若电压信号加在电阻R

(R=1Ω)上，四、能量信号和功率信号信号的功率为：信号的能量为:此时；信号的能量是信号的功率对时间的积分。

1.能量信号在所分析的区间（-∞，∞），能量为有限值的信号称为能量信号，满足条件：一般持续时间有限的瞬态信号是能量信号。若能量无限,即2.功率信号：一般持续时间无限的信号都属于功率信号:但它在有限区间(t1,t2)内的平均功率是有限的，简称功率信号。即注意：在这里的信号的功率和能量，不一定具有真实功率和能量的量纲。第二节周期信号与离散频谱抽象为以时间为自变量表达的函数，称为信号的时域描述。求取信号幅值的特征参数以及信号波形在不同时刻的相似性和关联性，称为信号的时域分析。时域描述只能反映信号的幅值随时间的变化的特征，而不能明显表示出信号的频率构成，即信号中蕴含的频率结构和各频率成分的幅值、相位关系。描述信号的独立变量是频率，称为信号的频域描述。以频率作为独立变量建立信号与频率的函数关系，称为频域分析或频谱分析。频谱分析的主要方法之一是傅里叶变换。时域描述和频域描述是可以相互转换的。一．傅立叶级数与周期信号的频谱周期函数，若在有限区间内，满足“狄里赫利”条件，则可展成傅立叶三角级数，其展开式为1．傅立叶级数的三角函数展开式“狄里赫利”条件：周期函数在一个周期内连续，或只有有限个第一类间断点，至多只有有限个极值点。其中，常值分量余弦分量的幅值正弦分量的幅值式中T——周期——角频率上式中令上式表明，任何满足狄里赫利条件的周期信号，均可在一个周期内表示成一个常值分量和一系列正弦分量之和的形式。其中，n=1的那个正弦分量称为基波，相应的频率称为基频；当n=2，3，…时，依次称为二次、三次…n次谐波，相应的频率称为二次、三次…n次谐波频率。2.周期信号的频谱从上式可见，周期信号是由一个或几个、乃至无穷多个不同频率的谐波叠加而成的。以圆频率为横坐标，幅值

或相角为纵坐标作图，则分别得其幅频图和相频图。幅频谱、相频谱统称频谱。对信号进行变换，获得频谱的过程也就是对信号进行频谱分析的过程。例2-1：求如图所示的周期方波的频谱。解：该方波在一个周期内的表达式为常值分量：余弦分量的幅值：正弦分量的幅值：相频图其相频谱中基波和各次谐波的初相位都为零。例2-2：求如图所示的三角波的频谱。解：在一个周期中可表示为常值分量：余弦分量的幅值：正弦分量的幅值：因此，周期三角波的傅里叶级数三角函数展开式为：周期信号的频谱的特点：（1）离散性频谱是离散的。（2）谐波性频谱中的谱线只出现在基频的整数倍频率处，即各次谐波频率都是基频的整数倍。（3）收敛性各次谐波分量随频率增加，其总的趋势是衰减的。因此在实际频谱分析中，根据精度要求决定所取谐波的次数。通过频谱分析可以把一个复杂的时间信号分解成一系列简单的正弦谐波分量来研究，以获得信号的频谱结构以及各次谐波幅值和相位信息。动态测试中具有重要的意义。以上分析可以看出，时域波形变化剧烈的，其频谱成分中高频成分多，反之低频成分多。此图表明时域描述、频域描述是对同一信号的不同描述方法，并没有改变信号本身的特性，它们只是通过不同的描述方法表征了不同特征。二、傅立叶级数的复指数函数展开式根据欧拉公式：上两个式代入傅里叶级数三角函数展开式，可得令得为纵坐标，为横坐标画图，得到的和图分别称为幅频谱图和相频谱图。Cn的实部CnI和虚部CnR与频率ω的关系作的幅频图，分别称为实频谱图和虚频谱图。当取负值时，为“负频率”。其意是旋转方向为逆时针方向为正，顺时针方向为负。例2-3：求例2-1中周期方波的指数形式的傅里叶级数展开式。解：该方波在一个周期内的表达式为把此式代入上式可得所以，周期方波的复指数傅里叶展开式为三角函数形式的频谱为单边谱(ω从0到+∞),复数函数形式的频谱为双边谱(ω从-∞到+∞)。2.两种频谱各谐波幅值在量值上有确定的关系，即傅立叶级数的两种展开式有以下联系：3.双边频谱为偶函数，双边相频谱为奇函数。第三讲第三节傅里叶变换及非周期信号的频谱非周期信号：可分为准周期信号和瞬变非周期信号。准周期信号：两个以上简谐信号组成，但各简谐信号的频率比不是有理数。频谱也具有离散性，从表达式便可知其频率结构。如x(t)=sin(t)+sin(√2t)。非周期信号是时间上不会重复出现的信号，一般为时域有限信号，具有收敛可积条件，其能量为有限值。这种信号的频域分析手段是傅立叶变换。瞬变非周期信号如下图所示。一、傅里叶变换周期函数x(t)的周期为T，在（-T/2，T/2）区间进行傅里叶级数展开式为上式中代入得周期信号频谱谱线的间隔，当T趋向于无穷大时，其频率间隔区域无穷小，谱线无限靠近，离散变量演变为连续变量，导致离散频谱线的顶点演变为连续的曲线，求和符号变为积分符号了。这就是傅里叶积分。上式括号里面的积分，积分变量是时间t，故积分之后只是ω的函数，记作X（ω），得到上式可以改写为在数学中，称为的傅里叶变换，称为的傅里叶逆变换，两者互称为傅里叶变换对。表示为，简写为。记作。将代入可以得到以f为变量的傅里叶变换对。一般是实变量的复函数，可以写成为信号的连续幅值谱，的频谱函数。称为为信号的连续相位谱。这样在傅里叶变换中避免出现的常数因子。其关系是其中：例2-4求如图所示的矩形窗的频谱，该函数为其中，T为时间宽度，称为窗宽。解：sinc

x的函数值从专门的数学表可查到，它以2π为周期，并随x的增加而做衰减振荡。其谱线如下图所示。二、傅里叶变换的性质以及应用信号的时域、频域分析，从不同的角度揭示了信号的物理特性，两者通过傅里叶变换来确立相互一一对应关系。

时域分析变得困难时，可通过傅里叶变换到频域分析，因此要熟悉傅里叶变换的主要性质。1．线性叠加性如果则其中a、b均为常数。它表明两个信号线性组合的傅里叶变换是单个信号傅里叶变换的线性组合。2．对称性该性质表明，信号的时域波形和频域波形有着互相对应的关系。证明：以-t代替t，并将t与f互换，得到即为实偶函数，为实奇函数。3．奇偶虚实性一般X(f)是实变量f的复变函数。可写成上式改写成是频率的偶函数。幅频谱a.为实偶函数，则，b.为实奇函数，则，为虚奇函数。为实偶函数。讨论几种特殊情况：相频谱是频率的奇函数。为虚偶函数。为实奇函数。c.为虚偶函数，则，d.为虚奇函数，，了解这个性质有助于估计傅立叶变换对的相应图形性质，减少不必要的变换。4．时间尺度改变特性证明：在（2—30）中若a＞1时，时域波形在时间轴上被压缩a倍，导致频域波形在频率轴上被扩展a倍；若a＜1时，时域波形在时间轴上被扩展1/a倍，导致频域波形在频率轴上被压缩1/a倍。时域压缩（a>1)频域扩展（幅值降低）时域扩大（a<1）频域压缩（幅值增加）如：记录磁带慢录快放，即使时间尺度压缩。尺度改变特性说明了时间和频率两个资源之间的关系，在时域中压缩信号的持续时间，则对应于在频域中扩展了它的频率带宽，反之亦然。所以，在时域中提高信息的处理速度，必须以牺牲带宽为代价，如果降低处理效率，则在信号的处理过程中，对后续设备的通频带要求可以降低。5．时延特性信号在时域中沿时间轴前后移动，产生时移，则变换到频率域中，其幅值谱保持不变，其频谱相应产生附加相移。其相角的改变量和频率成正比：时域移动对应于频域相移。上式表明，X（f）在频域中沿频率轴移动，则对应于x（t）在时域中产生一相位因子。反过来，函数x（t）乘以，可使整个频谱X（f）搬移±f0。在无线广播和通信技术中，经常需要将低频信号搬移到高频段发射，就是采用这一特性，将信号与正（余）弦信号相乘实现，这个过程称为幅度调制。6.频移特性7．微分和积分特性推广到n阶微分：（上式中如果，则）在振动测试中，如果测得系统的位移、速度、或加速度中的任意参数的频谱，利用微分、积分特性就可以获得其它参数的频谱。若对时间积分在频域中微分也存在类似的性质，即8．卷积特性若时域卷积对应于频域乘积；时域乘积对应于频域卷积。两个函数x1(t)和x2(t)，定义为x1(t)和x2(t)的卷积。9．能量积分在很多情况下，卷积积分用直接积分的方法来计算是有困难的，但它可以利用变换的方法来解决，从而使分析工作大为简化。上式称为巴塞伐尔定理，也叫能量等式。它表明在时域中计算信号的总能量等于频域中计算的总能量。称为能量谱密度，它决定信号沿频率轴能量密度的分布。时域频域对应关系频域时域性质线性叠加线性对称对称性压缩与扩展尺度变换表2-1傅里叶变换的基本性质时移与相移时移时域频域对应关系频域时域性质调制与频移频移时域微分频域微分时域积分频域卷积乘积和卷积时域卷积时域频域对应关系频域时域性质三、典型信号的频谱1.矩形窗函数的频谱其中，T为时间宽度，称为窗宽。谱线如下图所示。其频谱函数为由图可知，一个在时域有限区间内有值的信号，其频域却延伸至无线频率。若在时域中截取信号的一段记录，则相当于原信号和窗函数之乘积，因而所得频域将是原信号频域函数和sinc函数的卷积，它将是连续的、频率无限延伸的频谱。主瓣其它为旁瓣主瓣宽度为2/T，与时域窗宽度T成反比。可见时域窗宽愈大，截取信号时长愈大，主瓣宽度愈小。2．单位脉冲信号（狄拉克函数、δ函数）①定义：在ε时间内激发一个矩形脉冲Sε(t)，其面积为1。当ε趋近于0时，Sε(t)的极限就称为狄拉克函数。a．从函数值极限角度看b．从面积（也称为函数强度）角度来看由定义记作：实际应用中，常用瞬时冲击来近似实现δ信号，如图2-11所示。图2-11②函数的性质1）采样性质如果任意连续函数与函数相乘，其乘积在t=0处得到，其余各点（t≠0）之乘积为零。如果任意连续函数与函数相乘，在（-∽，∽）区间中积分，则得同理，对于延时t0的δ函数，它与连续函数的乘积只有时刻不为零，δ函数的采样性质是对连续信号进行离散采样的理论依据。在（-∽，∽）区间中积分，则得2）卷积性质两个函数与的卷积定义为；因此任意函数和的卷积表示为同理可得可见函数和卷积的结果，就是在函数的坐标位置上（以此作为坐标原点）简单地将重新构图。代入卷积式得例③δ函数的频谱逆变换为因此，时域的δ函数具有无限宽广的频谱，而且在所有频段上都是等强度的。常称为“均匀谱”。根据傅里叶变换性质，可得到几对重要的傅里叶变换对。时域频域3.周期单位脉冲序列（梳状函数）及其频谱其图像为......周期单位脉冲序列的数学表达式为用傅里叶指数的复指数函数形式表示，comb(t,T)在一个周期内δ函数只有一个。其系数为而当时，所以根据复数指数函数的傅里叶变换对comb(t，T)的频谱也是梳状函数，其图形为............若时域周期为，则频域脉冲序列的周期为；由图可以看出时域周期单位脉冲序列的频谱也是周期脉冲序列。时域脉冲强度为1，则频域中脉冲强度为。4．正、余弦信号的频谱由于正、余弦函数不满足绝对可积，不能用傅里叶变换公式直接进行，而需要引入δ函数。根据欧拉公式可表示为根据傅里叶变换的频移特性可得正、余弦函数的傅里叶变换为其频谱图如下第四节数字信号的离散化数字信号的优点：有较高的抗干扰性；易于存储；可以使用计算机处理。已成为现代测试技术的一个重要组成部分。模拟信号通过A/D转换可变为数字信号，在这一过程中涉及采样间隔与频率的混淆、采样长度与频率分辨率、量化与量化误差、泄露与窗函数等诸多方面。这些内容涉及的参数在使用某些测试设备或编制测试软件时需要进行设置。设模拟信号的傅里叶变换为。为了利用计算机，必须使x(t)变换成有限长的离散时间序列。为此对x(t)进行采样和截断。采样就是用一个等时距的周期脉冲序列s(t)去乘x(t)。等时距的周期脉冲序列s(t)的傅里叶变换S(f)也是周期脉冲序列，其频率间距为fs=1/Ts，如下图所示。图中；时距Ts称为采样间隔；1/Ts=fs称为采样频率。时间域中，采样后的信号如下图所示。频率域中，其图形为下图所示。由于计算机只能进行有限长序列的运算，采样后的信号的时间序列截取有限长的一段来计算，其余部分视为零而不予考虑。这就是把采样后信号（时间序列）乘上一个矩形窗函数w(t)，窗宽为T。所截取的时间序列数据点数N=T/Ts也称序列长度。窗函数w(t)的傅里叶变换W(f)如图所示。因此进入计算机的信号

是长度为N的离散信号。时域相乘对应着频域卷积。它的频谱函数是，是一个频域连续函数。在卷积中，的旁瓣引起新频谱的皱波。如图所示。计算机按照一定算法，比如离散傅里叶变换（DFT）将N点长的离散时间序列变换成N点的离散频率序列，并输出。DFT不仅算出的“频谱”，而却同时对其频谱实施了频域的采样处理，使其离散化。相当于在频域中乘上图下所示的采样函数。计算机实际输出是（左图）。时域函数（周期函数）频域采样形成频域函数离散化，相应地把其时域函数周期化了。原来希望获得模拟信号的频域函数。输入计算机的数据却是序列长度为N的离散采样后信号，计算机输出是用来近似。1.采样与采样定律（1）采样将连续的时域信号转变为离散的时间序列的过程。实质上是将模拟信号按一定的时间间隔Ts逐点取其瞬时值，使之成为离散信号。Ts称为采样间隔，fs=1/Ts称为采样频率。（2）采样（香农）定律带限信号不丢失信息的最低采样频率为。其中:fc—为原信号的最高频率。不满足采样定律，将会产生频率混叠现象。理论上是将模拟信号与时间间隔为Ts的周期单位脉冲序列函数相乘，即。频域图b中用过大的采样间隔Ts对不同频率的正弦波采样，得到一组相同的采样值无法辨认两者的差异，将其中的高频信号误认为某种相应的低频信号，出现所谓的混叠现象。（3）频率混叠由于采样频率选取不当而出现高低频率成分发生混叠的一种现象。时域中若图a所示的Ts采样，将得点1、2、3、4等的采样值，无法分清曲线A、B、C的差别，并把B、C误认为A。图a是信号x(t)及其傅里叶变换X(f)，其频率范围是-fc~fc。图b是采样信号xs(t)及其傅里叶变换，它的频谱是根据δ函数的卷积性质，将X(f)在频域重新构图。图中表明当满足采样定律时，谱图是分离的。而图c是不满足采样定律时，谱图相互重叠，使信号复原时产生混叠。1）提高采样频率以满足采样定律，一般取。2）用低通滤波器滤掉不必要的高频成分以防频率混叠的产生，此时的低通滤波器也称为抗混叠滤波器。解决频率混叠的方法有：2.采样频率和频率分辨率当差样间隔Ts一定时，采样长度T越长，数据的点数N越大。为了减少计算量T不宜过长。但是若T过短，则不能反映信号的全貌，因为在作傅里叶分析时，频率分辨率Δf与采样长度成反比，即若分析频率取各档频率分辨率为若采样频率为；当时，。当时，。3.量化及量化误差量化：采样得到的离散信号的电压幅值，用二进码组表示，就是离散信号变成数字信号的过程。一般在工程信号分析中，采样点N选取2的整数幂，使用较多的有512、1024、2048等。量化是从一组有限个离散电平中取一个来近似代表采样点的信号实际幅值电平。这些离散电平称为量化电平，每个量化电平对应一个二进制数码。例：A/D转换器的位数是一定的。一个b位（数据字长）的二进制数，共有L=2b个数码。如果A/D的工作范围为D（±5V或0~10V）。其中采用2(b-1)而不用2b，是应为实际字长的第一位用作符号位。则两相邻量化电平之间之差为Δx，即用有限位的二进制数只能表示Δx的整数倍的电平值，如果实际幅值电平落在这些离散的量化电平之间就要采用四舍五入的方法归到相近的量化电平上。量化误差：量化误差=量化电平－实际电平量化误差均在(-Δx,+Δx)区间，各点出现的概率是相等的。例：假定字长，峰值电平等于峰值电平与误差标准差值比为A/D转换器位数选择应视信号的具体情况和量化的精度要求而定。4.泄露及窗函数（1）泄露现象数字信号处理只能对有限长的信号进行分析运算，因此需要去合理的采样长度T对信号进行截断。截断是在时域将该信号函