第3章 数字控制器模拟化设计

第三章数字控制器的模拟化设计3.1引言3.2离散化方法3.3PID数字控制器的设计3.4数字PID控制算法的改进3.5PID数字控制器的参数整定和设计举例第一节引言

在数字控制系统中，用数字控制器替代模拟调节器。计算机执行按某种算法编写的程序，实现对被控对象的控制和调节，称为数字控制器。设计方法一：把计算机控制系统近似看成模拟系统，用连续系统的理论来进行动态分析和设计，再将设计结果转变成数字计算机的控制算法，该方法称为模拟化设计方法，又称间接设计法。设计方法二：

把计算机控制系统经过适当变换，变成纯粹的离散系统，用Z变换等工具进行分析设计，直接设计出控制算法，该方法为离散化设计方法，又叫直接设计法。

模拟化设计方法基本思路：当系统的采样频率足够高时，采样系统的特性接近于连续变化的模拟系统，因而可以忽略采样开关和保持器，将整个系统看成是连续变化的模拟系统。设计实质是：将一个模拟调节器离散化，用数字控制器取代模拟调节器。设计基本步骤：用连续系统设计方法确定D（S）采用适当的离散化方法求出相应的D（Z）检查系统性能是否满足要求将D（z）化为差分控制算法，编制计算机程序必要时进行数模混合仿真，检验系统设计与程序编制是否正确第二节离散化方法

一．差分变换法模拟调节器若用微分方程的形式来表示，其导数可用差分近似。常用的差分方法：后向差分和前向差分。（1）一阶后向差分：一阶导数采用近似式：（3—1）（2）二阶后向差分：二阶导数采用近似式：（3—2）特点：变换公式简单，应用方便；D(Z)与D(S)的等效精度差。应用场合：很少使用，一般只用于微分环节的离散化中，如PID控制器的离散化。例1：

求惯性环节的差分方程。解：由

有化成微分方程：以采样周期T离散上述微分方程得：即用一阶后向差分近似代替微分得代入上式得整理得例2：

求环节的差分方程。解：由有即化成微分方程代入式（3—1）和（3—2）得

最后得到二．零阶保持器法（阶跃响应不变法）基本思想：离散近似后的数字控制器的阶跃响应序列，必须与模拟调节器的阶跃响应的采样值相等。

（3—7）

其中H（s）称为零阶保持器，T为采样周期。零阶保持器法的物理解释如教材P89图3—4所示。阶跃响应不变法特点：D(Z)能保持D(S)的阶跃响应采样值，但不能保证脉冲响应采样值不变。若D(S)稳定，D(Z)也一定稳定未改变Z变换所产生的频率混叠现象。使用场合：通常只适用于低通网络的离散变换，另外，当采样频率较低时，应注意补偿零阶保持器带来的相移例3：用零阶保持器法求惯性环节的差分方程。解：由式（3—7），有

所以整理得三．双线性变换法又称突斯丁（Tustin）法，它是将s域函数与Z域函数进行转换的一种近似方法。由Z变换定义，有（3—8）将和展开成泰勒级数：（3—9）（3—10）

对式(3-9)、(3-10)，若只取其前两项作为近似式代入（3—8）有

（3—12）当已知连续传函D（s）时，可计算D（z）

特点：D(S)稳定，D(Z)也稳定；低频特定保存很好，高频特性失真，但无频率混叠现象；稳态增益不变，具有串联特性；计算机计算简单。适用场合：应用最广泛，即适用于离散有限带宽环节，也适用于离散高频段幅值较平坦的环节。

例4：已知某连续控制器的传函，试用双线性变换法求出相应的数字控制器的脉冲传函D（z），其中T=1s。解：由式（3—12），有

T=1，得

各离散化方法比较：双线性变换法精度最高，其次是零点匹配法，差分变换和阶跃响应不变法较差，冲击响应不变法最差。当采样周期小到一定程度时，区别不大。

一般讲，要在离散域中设计一个D(Z)与确定的D(S)完全等价是不可能的，我们只能选一个D(Z)去“逼近”D(S)，逼近的程度取决于系统工作的频段和采样频率的大小。各离散方法适用于不同的场合，不能一般的确定各种方法性能优劣的顺序表。实际表明，在各种离散化方法中，双线性变换法适应性强，使用效果好，工程应用中可以首先考虑。第三节PID数字控制器的设计

PID调节器优点：

1.不需要建立模型 2.结构简单，参数易于调整 3.技术成熟，易被人们熟习和掌握 4.控制效果好模拟调节系统中，PID控制算法的模拟表达式为（3—13）

用离散的差分方程代替连续系统的微分方程。连续的时间离散化，即t=KT（K=0，1，2，…n）积分用累加求和近似得（3—14）

微分用一阶后向差分近似得（3—15）将式（3—14）和（3—15）代入式（3—13），可得到离散的PID表达式（3—16）式（3—16）表示的控制算法提供了执行机构的位置u（k），即其输出值与阀门开度的位置一一对应，所以，把式（3—16）称为PID的位置式控制算式或位置式PID控制算法。其控制原理图如图3—6所示。

令则（3—17）此即为离散化位置式PID控制算法的编程表示。考虑到第k-1次采样时有（3—18）使式（3—16）两边对应减去式（3—18），并整理得（3—19）其中，，，式（3—19）就是PID位置式算式的递推形式，是编程时常用的形式之一。位置式数字控制器的程序如下：DATA SEGMENT ；数据段开始 CONS0 DB ？ ；存放系数a0 CONS1 DB ？ ；存放系数a1 CONS2 DB ？ ；存放系数a2 GEC1 DB ？ ；存放给定值 GEC2 DB ？ ；存放输出反馈值 SUB1 DB ？ ；存放偏差值e(k) SUB2 DB 0 ；存放偏差值e(k-1) SUB3 DB 0 ；存放偏差值e(k-2) MID1 DW ？ ；存放乘积a0e(k) MID2 DW ？ ；存放乘积a1e(k-1) OUTP1 DW 0 ；存放U(k-1)DATA ENDS ；数据段结束CODE SEGMENT ；代码段开始ASSUME CS：CODE，DS：DATAMAIN： MOV AX，DATA MOV DS，AX ；装填数据段BACK： CALL RECEIVE ；接收数据到GEC2，获取GEC1 MOV AL，GEC2 SUB AL，GEC1 ；计算e(k) MOV SUB1，AL MOV DL，CONS0 ；取a0 IMUL DL ；a0e(k)放入AX MOV MID1，AX ；a0e(k)存入暂存单元 MOV AL，SUB2 ；取e(k-1) MOV DL，CONS1 ；取a1 IMUL DL ；a1e(k-1)放入AX MOV MID2，AX ；a1e(k-1)存入暂存单元 MOV AL，SUB3 ；取e(k-2) MOV DL，CONS2 ；取a2 IMUL DL ；a2e(k-2)放入AX ADD AX，MID1 ；a0e(k)+a2e(k-2)放入AX SUB AX，MID2 ；a0e(k)-a1e(k-1)+a2e(k-2)放入AX ADD AX，OUTP1；u(k-1)+a0e(k)-a1e(k-1)+a2e(k-2)放入AX OUT PORT，AL ；输出u(k) MOV OUTP1，AX MOV AL，SUB2 MOV SUB3，AL ；由e(k-1)得到e(k-2) MOV AL，SUB1 MOV SUB2，AL ；由e(k)得到e(k-1) JMP BACK MOV AH，4CH INT 21H ；返回DOSRECEIVE PROC ；接收反馈值子程序 ….RECEIVE ENDPCODE ENDS ；代码段结束 END MAIN ；源程序结束

若令△u(k)=u(k)-u(k-1)则△u(k)=a0e(k)-a1e(k-1)+a2e(k-2)（3—20）式中a0、a1、a2同式（3—19）中一样。由于其控制输出对应于执行机构的位置的增量，故式（3—20）被称为PID控制的增量式算式。增量式PID控制算法与位置式PID算法相比较的优点：1．不需累加，控制效果好2．可靠性高，计算机造成的误动作小3．手动—自动切换时冲击比较小。

还有一种称为速度式的控制算法，它采用位置式的导数形式，也就是即

由于在一般计算机控制系统中，采样周期T是一个常数，所以速度式与增量式在算法上没有本质的区别。PID数字控制各种算式形式的选择视执行器的形式、被控对象的特性而定。若执行机构不带积分部件，其位置和计算机输出的数字量是一一对应的话，就采用位置式算式。若执行机构带积分部件，就选用增量式算式。第四节数字PID控制算法的改进一．防止积分整量化误差的方法在PID增量式算法中，积分项为KIe（k），即当采样周期T较小，而积分时间TI较大时，KIe（k）项很可能小于计算机的最低有效位，在运算时被计算机取整而舍掉，从而产生积分整量化误差。防止积分整量化误差的方法主要有两种。1．扩大计算机运算的字长，提高计算精度。这种方法的实质是使处理机最低有效位对应的数值量相应减小，提高了计算的分辨率，使得整量化中可能丢掉的部分得以保留。2．当积分项KIe（k）﹤δ时，积分项单独累加，直到产生溢出。将溢出值作为积分项的偏差值进行运算，余数仍保留下来，作为下一步累加的基数值。U(k)=m(k)+σe(k)二．积分饱和及其防止方法

（一）积分饱和的原因和影响

实际系统中，控制变量及其变化率因受执行元件的物理和机械性能的约束限制在一个有限范围内，当计算机输出的控制量或其变化率在该范围内时，控制正常进行。但若超出该范围，实际执行的控制量或其变化率就不是计算值，而是系统执行机构的饱和临界值，引起了不希望的效应。在数字PID控制系统中，当系统开、停或大幅度变动时，系统会出现较大的偏差，经过积分项累积后，可能使控制量u（k）＞umax或u（k）＜umin，即超过执行机构由机械或物理性能所决定的极限。此时，控制量并不能真正取得计算值，而只能取umax或umin，从而影响控制效果。由于主要是积分项的存在，引起了PID运算的“饱和”，因此，这种饱和称为积分饱和。它会增加了系统的调整时间和超调量，称“饱和效应”。

（二）积分饱和的防止方法1．积分分离法将式（3—17）改写为下面的形式（3—22）式中，ε为e（k）的门限值。式（3—22）称为积分分离PID算式。其基本思想是：当偏差大于某个规定的门限值时，删除积分作用，以使不至过大。只有当e（k）较小时，方引入积分作用，以消除静差。这样，控制量不易进入饱和区了；即使进入了，也能较快退出，所以系统的输出特性得到了改善。2．遇限削弱积分法该方法的基本思想是：当控制量进入饱和区后，只执行削弱积分项的累加，而不进行增大积分项的累加。即计算u（k）时，先判断u（k-1）是否超过限制范围，若已超过umax，则只累计负偏差；若小于umin，就只累计正偏差。该方法也可避免控制量长时间停留在饱和区。其算法的程序框图如图3—12所示。三．不完全微分的PID算法在标准PID算式中，当有阶跃信号输入时，微分项输出急剧增加，易引起调节过程的振荡，导致调节品质下降。为克服这一点，又要使微分作用有效，可采用不完全微分的PID算法。基本思想是：仿照模拟调节器的实际微分调节器，加入惯性环节，以克服完全微分的缺点。该算法的传函为

（3—23）式中，KD为微分增益。将式（3—23）分成比例积分和微分两部分，则

其中，（3—24）（3—25）UPI（s）的差分方程为（式3—26）为了推导UD（s）的差分方程，将式（3—25）化成微分方程即用一阶后向差分近似代替微分，则整理得（式3—27）令则（式3—28）于是，不完全微分的PID位置算式为

（式3—29）

它与理想PID算式相比，多一项（k-1）次采样的微分输出量αuD（k-1）。由于所以，不完全微分的PID增量式算式为（式3—30）在单位阶跃信号作用下，完全微分与不完全微分输出特性的差异如图3—13所示。可以看出：（1）

完全微分项对阶跃信号产生很大的微分输出信号，该信号急剧下降为0，易引起振荡。（2）

不完全微分系统的微分作用是逐渐下降的，微分输出信号按指数规律逐渐衰减到0，因而系统变化较缓慢，不易引起振荡。其延续时间的长短与KD的选取有关，KD愈大，延续时间愈短；KD愈小，延续时间愈长。四．纯滞后的补偿算法带纯滞后的对象的传函可用一阶惯性环节加纯滞后环节来描述

对象的这种纯滞后性质长引起系统产生超调或振荡，降低了系统的稳定性，为此，史密斯提出了一种纯滞后补偿的模型。1．史密斯纯滞后补偿原理图3—14为一单回路控制系统，D（s）为调节器的传函，GP(s)(1-e-τs)为被控对象的传递函数，GP（s）为被控对象中不包含纯滞后部分的传函，e-τs为被控对象纯滞后部分的传函。史密斯纯滞后补偿原理是：与D（s）并接一补偿环节GP(s)(1-e-τs)，用来补偿被控对象中的纯滞后部分，这个环节称为预估器，如图3—15所示。整个纯滞后补偿器的传函为经补偿后，系统的闭环传函为

（3—33）

式（3—33）表明，e-τs项在闭环控制回路之外，，不影响系统的稳定性。拉氏变换平移定理说明，e-τs仅将控制作用在时间坐标上推迟了一个时间τ，控制系统的过渡过程及其他性能指标都与对象特性为GP（s）的完全相同。这样就消除了纯滞后部分对控制系统的应影响。2．带纯滞后补偿的数字控制器如图3—16所示，它有数字PID控制器和史密斯预估器组成。史密斯预估器的输出可按图3—17的顺序进行计算：（1）

计算传函GP（s）的输出m（k）（2）

计算预估器输出cτ（k）

式中，，是纯滞后时间折合到采样周期T的倍数。m（k-l）的产生：在内存中专门设置l个单元存放m（k）的历史数据。每采样一次，在把m（k）存入第0号单元前，先把第0号单元的数据后移到1号单元，同时1号单元的数据移到2号单元，依此类推，从l号单元输出的信号就是滞后了l个采样周期的信号m（k-1）。五．微分先行PID算法微分先行PID算法是将微分运算放在前面。它有两种结构：1．对输出量的微分（如图3—18a所示）：适用于给定量频繁升降的场合，为防止微分作用引起系统超调量过大，可只对输出进行微分。2．偏差的微分（如图3—18b所示）：对于给定值和偏差值都有微分作用，在串级控制中，主回路的输出作为副回路的给定，也应进行微分。六．带死区的PID控制有些场合对控制精度要求不高，但要求控制尽可能平稳。为了避免控制动作过于频繁，消除由此引起的振荡，可采用带死区的PID控制。基本思想是：设置一个死区B，不改变控制，其关系如下：死区B是以可调参数，B值太小，调节动作过于频繁，达不到稳定控制的目的；B值太大，又会产生很大的纯滞后，所以应根据实际情况而定。复习：位置式控制算式或位置式PID控制算法PID位置式算式的递推形式PID控制的增量式算式△u(k)=u(k)-u(k-1)=a0e(k)-a1e(k-1)+a2e(k-2)PID控制算法的模拟表达式：第五节PID数字控制器的参数整定和设计举例一．PID控制器参数对系统性能的影响（一）比例系数KP对系统性能的影响在系统的过渡过程，比例环节作用最大，它能较快的克服扰动的影响，使系统稳定下来，但有稳态误差。1．对动态特性的影响KP太小，调节缓慢；KP增大，速度加快，KP过大时，会引起系统的超调过大，振荡次数增多，系统不稳定。2．对稳态特性的影响增大KP，在稳定情况下，可减小稳态误差ess，提高控制精度，但不能消除稳态误差。（二）积分时间常数TI对系统性能的影响1．对动态特性的影响TI增大，减弱积分环节的作用，对系统性能的影响减少；TI减小会加强积分的作用，TI太小时，会引起系统振荡。TI合适时，过渡过程较理想。2．对稳态误差的影响积分控制能消除稳态误差，提高控制精度。但TI太大时积分作用太弱，不能减小稳态误差。（三）微分时间常数TD对系统特性的影响微分控制能对系统的瞬间的波动进行补偿控制，主要改善系统的动态特性，减小超调，调节时间缩短，允许加大比例控制，减小稳态误差，提高控制精度。增大TD，可增加微分作用。但TD太大或太小，都会引起系统超调增大，调节时间变长；TD合适时，可有满意的过渡过程。二．采样周期T的选择原则1．必须满足采样定理的要求：ωs≥2ωmax，ωmax是被采样信号的最高角频率，采样周期的上限值T≤。，根据经验公式ωs≈10ωc，ωc为开环截止频率。2．从控制性能角度来看，T小些好。对随动系统（如天线跟踪飞行器的随动系统）和抗干扰的性能来看，T应小些，以实现快速跟随和快速抑制干扰，T太大会丢失许多信息。3．根据被控对象的特性，快速系统（如高速线材轧制系统）的T应取小，反之，T可取大些。4．根据执行机构的类型，执行机构动作惯性大时，T应取大些。否则，执行机构来不及反应控制器输出值的变化。

被测参数采样周期T(s)备注流量压力液位温度成分1~53~106~1015~2015~20优先选用1s优先选用5s或纯滞后的时间表3-3采样周期T的经验数据5．从计算机的工作量及每个调节回路的计算成本来看，T选大些，T大可增加控制的回路数。6．从计算机能精确执行控制算式来看，T选大些。T过小，偏差值e（k）可能很小，甚至为0，调节作用减弱，微分、积分作用不明显。三．用扩充临界比例度法（稳定边界法）选择PID参数1．选择一个合适的采样周期T控制器作纯比例KP控制；2．调整KP的值，使系统出现临界振荡（等幅振荡），记下相应的临界振荡周期Ts和临界振荡增益Ks；3．选择合适的控制度，它是数字控制器和模拟调节器所对应的过渡过程的误差平方的积分比，即控制度=通常，控制度为1.05时，数字控制器和模拟控制器的效果相当。当控制度为2.0时，数字控制器比模拟调节器的控制质量差一倍。4．

根据控制度查表3—4（见书P105），即可求出T、KP、TI和TD。（适用于被控对象是一阶滞后惯性环节）控制度控制规律T/TsKp/KSTI/TSTD/TS1.05PIPID0.030.0140.540.630.880.49—0.141.2PIPID0.050.0450.490.470.910.47—0.161.5PIPID0.140.090.420.340.990.43—0.202.0PIPID0.220.160.360.271.050.4—0.22表3-4扩充临界比例度法整定参数表

扩充临界比例度法简单方便，容易掌握和判断，但是实验时系统要闭环进行，要产生短时间的系统振荡，若系统不允许反复振荡（如锅炉给水系统和燃烧控制系统），则禁用，防止产生重大事故。四．用扩充响应曲线法选择PID参数若已知系统的动态特性曲线，数字控制器的参数整定也可用类似模拟调节器的响应曲线法来进行，称为扩充响应曲线法。步骤如下：1．断开数字控制器，系统在手动状态下工作。当系统在给定值处于平衡后，给一阶跃输入（如图3—25a所示）。2．用仪表记录被调参数在阶跃作用下的变化过程曲线,如图b所示。3．在曲线最大斜率处做切线，求得滞后时间τ，对象时间常数Tm，以及它们的比值Tm/τ。

4．根据求得的Tm、τ和Tm/τ的值，查表3—5即可求得控制器的T、KP、TI和TD。表中控制度的求法与扩充临界比例度法相同。控制度控制规律T/τKp/(Tm/τ）TI/τTD/τ1.05PIPID0.10.050.841.153.42.0—0.451.2PIPID0.20.160.731.03.61.9—0.551.5PIPID0.50.340.680.853.91.62—0.652.0PIPID0.80.60.570.64.21.5—0.82表3-5扩充响应曲线法整定参数表五．PID归一参数整定法设PID增量算式为

对式（3—42）作Z变换，可得PID数字控制器的Z传函为：为简化参数的整定，提出人为的约束条件，取：将式（3—44）代入式（3—42）和（3—43），得差分方程为试凑法在试凑时，根据各参数对控制过程的影响，对参数进行先比例，后积分，再微分的整定步骤。步骤如下：（1）整定比例部分。（2）如果仅调节比例调节器参数，系统的静差还达不到设计要求时，则需加入积分环节。（3）若使用比例积分器，能消除静差，但动态过程经反复调整后仍达不到要求，这时可加入微分环节。表4-3常见被调量PID参数经验选择范围六．按二阶工程设计法设计数字控制器二阶系统是工业生产过程中最常见的一种系统，实际的高阶系统可简化为二阶系统来进行设计，二阶系统闭环传函形式为（3—47）当s=jω，代入上式得：求出闭环传递函数的幅频特性为（3—48）要使二阶系统的输出获得理想的动态品质，即该系统的输出量完全跟随给定量，应满足：把式（3—48）代入式（3—49），得在低频范围内，T22ω4→0，可有T12-2T2=0得到理想情况下二阶系统闭环传函形式为：设G（s）为该系统的开环传函，根据

推导出把式（3—51）代入得此即二阶品质最佳的系统开环传函基本公式。二阶工程设计法简单的整定原则：即只要将系统的开环传递函数整定为：“积分与惯性相串联的形式，并且是二者的系数相差二倍即可”。七．PID数字控制器设计举例用模拟调节规律离散化的方法设计一个轧机位置控制系统的数字控制器。（一）轧机系统的数学模型及数字控制器算式该系统的主回路主要由电液伺服阀、液压缸及作位移检测的差动变压器等组成。简化框图如图3—26所示。

A/D转换器数字PIDD/A转换器功率放大器电流伺服阀液压缸差动变压器电压放大器A/D转换器给定值微型计算机图3-26轧机液压厚度调节框图不考虑外来干扰，轧机位置反馈系统原理框图如图3—27所示。不考虑D（s）（校正环节传函），轧机系统的开环传函原为6阶，从中找出影响系统动态性能的主要环节和参数，对其进行简化，得到系统开环传函：

（3—53）令将其代入式（3—53），得（3—54）且Ts1＞Ts2

从快速性和稳定性角度来看，用微机实现对轧机系统的动态校正，就要求包含有微机的轧机系统具有二阶最佳设计的基本形式，整个系统的开环传函为（3—55）为把式（3—55）化成（3—52），应选择D（s）为PI调节器，即