第1章运动学基础及点的运动学

工程力学上册1第1章运动学基础与点的运动学1.1运动学基础 1.1.1引言 1.1.2约束 1.1.3广义坐标与自由度1.2点的运动的矢量描述 1.2.1点的运动方程 1.2.2点的速度和加速度1.3点的运动的坐标描述 1.3.1在直角坐标系中研究点的运动 1.3.2在自然轴系中研究点的运动 1.3.3在柱坐标中研究点的运动作业1.21.41.54学时（不要求）2第1章运动学基础与点的运动学§1.1运动学基础1.1.1引言本章主要内容：运动学基本概念、点的运动学描述方法。（本章是后续章节及动力学的基础）运动学：从几何角度来研究物体的运动，不研究引起物体运动及其变化的原因。运动学的研究内容：(1)如何选择合适的参量，对已确定的物体运动进行数学描述；(2)研究表征物体运动几何性质的基本物理量，如位移、速度、加速度、角位移、角速度、角加速度等；(3)研究非自由物体或物体系统各部分运动参量之间的几何关系。3力学模型：质点建立力学模型的意义：反映事物本质，忽略其次要因素，合理、抽象、简化，便于数学描述。常见的力学模型：质点系刚体刚体系连续介质参考系（参考空间）：通常选取某个物体作为描述运动的参照物，称为参考体。坐标系：与参考体相固连的整个延伸空间，称为参考系（参考空间）。确定参考系后，为了便于对物体的运动进行定量描述，即确定物体在此参考系中的位置，还必须选定与参考系相固连的某种坐标系，从而建立物体位置与其坐标值之间的一一对应关系。在同一参考系中可以根据需要建立不同的坐标系。不作特殊说明，一般选取地球作为描述物体运动的参考系。4运动方程：确定物体在空间任一瞬时所在位置的数学表达式，成为运动方程。物体运动的轨迹：随时间的变化，运动方程也就是物体运动的轨迹。研究运动学问题的两种方法：矢量法和分析法。1.矢量法：以矢量表示质点的位置、速度和加速度及刚体的角速度和角加速度，并以矢量方程式表示同一刚体上不同两点的速度和加速度关系，点的速度和加速度的合成公式及刚体的角速度和角加速度的合成公式等。求解矢量方程的两种方法：5(1)分析法（解析法）矢量方程式投影线性方程组(2)几何法矢量方程式封闭的三角形或多边形几何关系求解（适用于3个矢量的矢量方程式）(3)矢量法的优点：公式简单几何直观性强与参考系有关而坐标系无关性瞬时性6标量与矢量：补充内容对于标量对于矢量无定义分量与投影：一个矢量的某轴分量一个矢量在某轴的投影两个不同的概念一个矢量的某轴分量取决于另一轴的方位。一个矢量在某轴的投影只取决于该轴的位置。补充内容72.分析法：利用一组坐标描述确定物体的位置，然后通过直接求导的方法计算相关点的速度和加速度，以及刚体的角速度和角加速度。即由坐标确定物体位置及变化规律。分析法的特点：坐标是代数量，运动方程为标量方程。公式复杂结果依赖于坐标的选取运动方程反映了物体（或物系）运动的全过程适用于计算机的数值处理矢量法和分析法均可用来描述同一物体或物体系的运动，它们之间必然存在某种内在联系。81.1.2约束约束是由于物体与周围其他物体相接触而形成的，接触方式不同，对物体运动的限制条件也不同。事先给定的限制物体运动的条件称为约束。事先给定的约束条件与该物体所受到的主动力无关。自由体非自由体9按物体间相互接触的形式及其限制运动的特点，将约束分类如下：约束的分类：7.固定端约束1.柔索约束和刚性约束；2.光滑面约束；3.光滑圆柱铰链约束；4.固定铰支座约束；5.活动铰支座约束；6.光滑球铰链支座约束；101.柔索约束和刚性约束：柔索约束是物体与柔软不可伸长的柔索相连接而成，只限制物体产生背离柔索方向的位移。刚性约束是物体与刚杆相连接，刚杆是不可伸长和压缩的，限制物体沿杆向的任何位移。柔索约束刚性约束柔索约束皮带或链条112.光滑面约束：物体在某个曲面上运动，接触面之间的摩擦不计，此时曲面和物体接触而形成的约束为光滑面约束。特点：在接触点处物体可以沿光滑面的切向或沿离开光滑面的公法线方向运动，而不能发生进入光滑面内的运动。123.光滑圆柱铰链约束:此类约束是光滑面约束的一种演变形式。特点：这种约束的物体只能绕销钉的中心轴线（B称为铰链中心）作相对转动，两物体在B点不能取得沿销钉任意径向任何相对位移。它是由一销钉将两个钻有孔径与销钉直径相同的孔的物体连接在一起而构成。ACB实物BAC简图（力学模型）134.固定铰支座约束：此类约束是光滑圆柱铰链约束的演变。特点：这种约束的物体只能绕铰链轴线转动，点B不能有任何方向的位移。BC简图（力学模型）实物ACB145.活动铰支座约束：特点：被约束物体不但可以绕C轴转动，点C还可以沿约束面的切向移动，但不能取得进入约束平面法线方向的位移。这种约束又称为辊轴约束。它是固定铰支座约束的演变，在固定铰支座的下面安装一排滚子而构成。CC（滑动铰支座约束）156.光滑球铰链支座约束：光滑球铰链支座也是光滑面约束的一种特殊形式。特点：物体只能绕球心作任意方向的转动，而球心不能有任意方向的移动。它是通过将被约束物体的一端做成光滑圆球，置于直径比球稍大的光滑的固定球窝支座而构成。167.固定端约束：例如，电线杆、悬臂梁等。物体的一端与静止不动的物体相固连。特点：在接触处彼此之间不允许发生任何相对运动。17刚体运动的分类：补充内容（1）平行移动（平动、平移）：在刚体上任意选取两点，两点所决定的直线在刚体运动中永远保持平行。直线平动曲线平动（2）定轴转动：在刚体上或刚体的延拓部分有不动的轴。刚体上任意两点的相对位置不发生改变。BC18（3）平面运动：（4）定点运动：刚体上任意一确定点到某一固定平面的距离始终保持不变的运动。问题：“平动”是不是“平面运动”的特殊情况？否“定轴转动”是不是“平面运动”的特殊情况？是在刚体上（或刚体的延拓部分）有一个不动的点。陀螺运动该理论至今也不完善。19（5）一般运动（自由体）：前三种运动是我们研究的重要内容。不受约束的运动。机构：补充内容用约束将刚体联接起来，使各刚体按预定的运动方式运动。曲柄连杆活塞（滑块）曲柄连杆摇杆刨床急回机构201.1.3广义坐标自由度广义坐标：确定质点系在参考空间中位置的一组独立的几何参数称为广义坐标。广义坐标的意义：一旦确定了系统的广义坐标值，则系统的位置，即其中每一质点的位置即被确定。因此，由广义坐标的变化规律可以确定系统中每一质点的变化规律。自由度：确定系统位置的广义坐标的个数定义为系统的自由度。（为了描述机构位置，而独立的几何参数的个数。）广义坐标是时间的已知函数，称为运动方程。由运动学无法确定运动方程，它只能根据物体的惯性、受力情况和运动初始条件由动力学确定。21例如：自由质点的自由度为3个。非自由质点的自由度。非自由质点的直角坐标值是不独立的，通常要满足预先给定的一些约束条件（这些约束条件的数学方程称为约束方程），而广义坐标是独立的，这些约束条件是自然满足的。非自由质点的自由度数一定小于3，其值要由独立约束方程个数确定。（1）摆球：（2）限制在某一平面运动的点：其自由度为2。满足摆球的自由度为1，为单自由度摆球的广义坐标。22自由刚体与其自由度：不受任何约束的刚体，称为自由刚体。自由刚体的位置由不共线的3个点确定当刚体运动时，这3个点之间的距离始终保持不变，这些坐标要满足3个约束方程有9个直角坐标值。可见独立的坐标仅有6个，因此自由刚体的自由度为6，其广义坐标的选取较为复杂。23非自由刚体与其自由度：当刚体的运动受到约束的限制，这样的刚体称为非自由刚体。依照约束的特点，通常刚体具有5种运动形式（1）刚体的平移，（2）定轴转动，（3）平面运动，（4）定点运动，（5）一般运动。非自由刚体的自由度按刚体运动的具体形式来确定。例如定轴转动刚体位置由确定点M满足约束方程为独立坐标仅有一个，其自由度数为1。一般选取定轴转动刚体上过转轴与刚体固连的任一截面与参考系中过转轴的某一固定平面的夹角为广义坐标。为定轴转动刚体的运动方程。24§1.2点的运动的矢量描述1.2.1点的运动方程参考点：在选定的参考空间中，任选一个固定点O，称为参考点。矢径（向径）：点M在该参考空间的位置可以由点M相对于点O的矢量唯一确定，记作。点的位置与矢量建立起一一对应关系，矢量称为点M的矢径，又称向径。OM25点的矢量形式的运动方程：当点M运动时，相应的矢径的大小和方向随时间t连续改变，是t的单值连续的矢量函数(1.1)上式称为点的矢量形式的运动方程。矢径端图：OM随着点M的运动，矢径的矢端在参考空间中划出的曲线就是点M的轨迹，这条曲线也称为矢径端图。261.2.2点的速度点的加速度位移：点M在参考空间中矢径的改变(1.2)称为点M在时间间隔内的位移，记为，即OM27平均速度：反应了点M在时间内位置改变的平均程度，称为平均速度。随着的取值不同，得到的平均速度（大小、方向）也不相同。瞬时速度（速度）：为了真实地描述点在时刻t的运动状况，(1.3)令，对平均速度取极限得到一新矢量，将它定义为点M在时刻t的瞬时速度，简称速度，即28瞬时速度（速度）的物理意义：方向由的极限方向所确定，即沿点M在t时刻轨迹的切线，并指向点的运动方向。瞬时速度是时间的矢量函数，在t时刻其大小等于；OM29瞬时加速度（加速度）：在t时刻，点的速度（大小、方向）随时间变化快慢程度用瞬时加速度，简称加速度来度量。(1.4)（沿速度的切线方向）。其大小等于，方向由的极限方向确定30§1.3点的运动的坐标描述本节的主要内容在上节我们通过矢量的形式描述了点的运动方程、速度矢量、加速度矢量等。这节我们用坐标形式描述点的运动。通过在参考空间建立坐标系，由点的坐标值确定点的空间位置，并利用对坐标值的求导方法计算点的速度和加速度。本节将建立不同形式的坐标系，通过坐标来研究点的运动规律。311.3.1在直角坐标系中研究点的运动1.3.1.1运动方程直角坐标系的建立：与参考空间固连的右手直角坐标系OxyzOyxzyxz为直角坐标系的单位正交基唯一确定一一对应直角坐标形式的运动方程：当点M运动时，x，y，z都是时间t的单值连续函数，点M的运动方程为(1.5)上式称为点的直角坐标形式的运动方程。M32当式(1.5)的函数规律已知时，动点M在任一时刻t的位置可完全确定，其运动的性质也就完全确定。说明：当点M的运动不受约束时，式(1.5)中的x，y，z彼此独立的，其自由度为3，可选取它们为广义坐标；(1)(2)当点M的运动受到约束时，式(1.5)中的x，y，z将不再独立，其自由度小于3，自由度应由独立约束方程的个数来确定，上述3个量不是或不全是广义坐标。(3)轨迹方程:从式(1.5)中消去时间t，可得到点的轨迹方程。式(1.5)为点的轨迹的参数形式。当点的运动被限制在某一平面（如Oxy平面）上时，该约束点的自由度为2，其位置可用广义坐标x，y确定，它的运动方程为(4)(1.6)33位置矢径与直角坐标的关系：M(x,y,z)Oyxz设点M在参考空间中位置矢径为在x，y，z轴上的投影分别为zxy(1.7)则341.3.1.2速度、加速度在直角坐标轴上的投影(1)速度在直角坐标轴上的投影：(1.8)速度在x，y，z轴上的投影分别为则(1.9)则35(2)加速度在直角坐标轴上的投影：(3)速度与加速度的大小和方向：(1.10)(1.11)加速度在x，y，z轴上的投影分别为则任一矢量可由其在直角坐标系中3个坐标轴上的投影计算其大小和方向。速度的大小：速度的方向：用速度与坐标轴夹角的余弦，也称方向余弦，来表示。36加速度的大小：加速度的方向：37平动刚体运动的各点轨迹：补充内容O平动刚体结论：平动刚体运动的各点的速度和加速度相同，平动刚体运动的各点轨迹完全一样，对于平动刚体运动可以“以点代体”。BA例1.1381.3.2在自然轴系中研究点的运动1.3.2.1运动方程运动的描述：点M在参考空间中的某一已知曲线上运动，(1.12)点M的自由度为1，选取一个广义坐标即可确定其位置。点M是非自由点，已知的轨迹就是该点的约束条件。弧坐标：当点M的轨迹已知时，其位置可弧坐标（广义坐标）确定。39O在已知的轨迹曲线上任取一点为新的坐标原点，并规定在一侧量取的弧长为正值，而在另一侧量取的弧长为负值，点M的位置可由离开的弧长s

唯一确定。代数量s称为点M的弧坐标。弧坐标形式的运动方程：当点M运动时，弧长s是时间t的单值连续函数，即(1.13)上式称为点的弧坐标形式的运动方程。401.3.1.2速度、加速度在自然轴系上的投影(1)曲线的几何性质与自然轴系：当已知动点M的弧坐标形式的运动方程时，讨论如何利用运动方程，求点M的速度、加速度在自然轴系上的投影，并计算速度、加速度的大小和方向。自然轴系不同于直角坐标系，它与动点轨迹的几何性质密切相关，随着动点M的运动而变动，并在空间不停地变换其方位。因此需要先讨论曲线的几何性质以建立自然轴系。s已知一条空间曲线设曲线上任一点A的弧坐标为s，通常过点A存在3条正交直线：切线、主法线、副法线。（仅在曲线的曲率的点正确）。41s①切线：切线正方向与弧坐标正向一致，其单位矢量用表示。在曲线上点附近任选一点，其弧坐标为，过作一条直线，当时，的极限位置AT称为曲线在点A处的切线，规定：则(1.14)由于，方向与一致，42②密切面：过点A的切线AT和点可确定一个平面，s当时，，称平面为曲线在点A的密切平面。点A处的切线AT位于密切平面内，点A邻近的无限小弧段ds可看作是位于密切平面内的平面曲线。显然，若为平面曲线，在曲线上任一点处的密切平面均相同，均为曲线所在的平面。43③主法线：s在点A的密切平面内，过点A与AT垂直的直线AN称为曲线在点A处的主法线。规定：主法线的正向指向曲线内凹的一侧（即指向曲率中心），其单位矢量用表示。④副法线：过点A同时与AT，AN垂直的直线AB称为曲线在点A处的副法线。规定：副法线的单位矢量用表示，的指向要使得，，构成右手系，即44⑤自然轴系：曲线上的任一点A处的切线、主法线、副法线组成的正交轴系，称为空间曲线在点A处的自然轴系。自然轴系的单位正交基为，，。BsN自然轴系的特点：随着在曲线上选取的点的不同，自然轴系也相应变化。所以，，的方向随s的变化不断改变，这与直角坐标系的单位正交基为常矢量不同。

密切平面

法平面

从切面45描述点A附近的微小弧段ds在密切面内的弯曲程度的物理量：⑥曲率：曲率、曲率半径、挠度。设过点，的切线分别为，，其单位切矢量为，设为间的夹角，则(1.15)k称为曲线在点A处的曲率。曲率的几何意义：曲率反映了切线相对于弧长的转动率，转动越“快”，曲率越大，弯曲程度越大。由上式可得出：圆的曲率等于它半径的倒数，说明圆在其上各处的弯曲程度一样。46⑦曲率半径：(1.16)称为曲线在点A处的曲率半径。曲率半径的几何意义：圆上各点的曲率半径为圆的半径。反映了位于密切平面内的微小弧段ds，可近似为位于密切面内，以为半径的圆弧上的微小部分。⑧挠率：若曲线为平面曲线，则曲线上各点的副法线单位矢量是常矢量。若曲线为空间曲线，则曲线上各点的是不同的。的变化反映了密切平面在曲线上的转动，转动的快慢程度可用变量挠率度量。

47设点A和处的副法线分别为，，其单位矢量分别为和，是和的夹角，则(1.17)称为曲线在点A处的挠率。挠率的几何意义：挠率刻画了曲线偏离平面曲线的程度，即曲线扭曲的程度。平面曲线的挠率恒等于零。48曲线本身的形状确定了曲线的弧长、曲率、挠率，总结：反之，这3个量也确定了曲线的形状。(a)(b)将两点间的弧段取为微小弧段时，在点处的坐标基可以由点处的坐标基绕作的无限小转动和随密切平面绕作的无限小转动而得到。大小不变仅方向改变的矢量的微分：由附录I.1知其中是绕某轴的微小转角，则对的微分为其中（详细推导见4.3.2小节中宋体小号字段部分。）则(1.18)同理可同理推导出，请自己试一试。49(2)点的速度、加速度在自然轴上的投影：设点M的弧坐标形式的运动方程为则点M的速度(1.19)其中于是速度在自然轴系上的投影为切线主法线副法线(1.20)50点M的速度为其中将式(1.19)两端对时间求一阶导数得而(1.21)于是加速度在自然轴系上的投影为切线主法线副法线(1.22)51切向加速度：法向加速度：沿着轨迹的切向，它反映了速度大小随时间的变化规律。沿着轨迹的主法线方向，由于，故称为法向加速度。它反映了速度方向随时间的变化规律。注意：说明速度的方向无变化，此时点的速度、加速度只沿直线方向。当点作直线运动时，由于，故，52全加速度：点的全加速度一定位于密切平面内，其大小、方向可由的“矢量和”确定，即大小：方向：例题53试求(1)点M的运动方程；(2)当时，点M的速度。动规律为（s以cm计，t以s计）。如图所示。已知杆长，，滑块A的运例1.1杆AB两端与滑块以铰接连接，滑块可在各自的滑道中滑动，解单自由度系统，建立直角坐标系Oxy，如图。点M的坐标(1)54在中则点M的运动方程为点M的速度在x，y轴上的投影为(2)当时例题毕55例1.2纯滚动圆盘纯滚动的概念：纯滚动圆盘的自由度为1。纯滚动圆盘边缘点M的运动方程为点M的速度为56则指向最高点（过最高点）（如图示）。设则方向如图故的大小为，方向指向圆心。57则即曲率半径确定，曲率中心也确定。例题毕5859例1.3销钉P可以同时在滑块A，B的导槽内滑动。导槽相互垂直，且分别垂直于滑块A，B的导轨，如图所示。在图示位置时，已知：滑块A的速度，方向向右，以减速；滑块B的速度，方向向下，以减速。试求该瞬时，销钉P的轨迹在该位置的曲率半径。解销钉P的速度销钉P的加速度60销钉P的切向加速度方位与速度相同，法向加速度的方向沿主法线，即与速度相垂直，如图。所以，点P的曲率半径为例题毕小结：(1)通过本题的求解，可以看出直角坐标法与自然法表示的速度和加速度之间的关系。(2)当点的运动方程未知时，无法用数学求导方法得到轨迹在某位置的曲率半径。但是，从本题分析看到，利用给定的某瞬时速度和加速度，通过法向加速度的关系式，可得到该位置的曲率半径。61例1.4机构如图示。已知，。如轮按的规律转动，其中以rad计，t以s计。试求时，AB杆上M点的速度和加速度。解当时即此瞬时杆AB的位置在最下方，如图示。轮作定轴转动，其角速度为（）点A的速度为（）由于角速度，点A的加速度只有法向分量，即（）62于是，杆A