第1章点线面的投影

1.1点的三面投影1.2直线的投影1.3平面的投影第1章点、直线和平面的投影

1.1点的三面投影

二、三面投影体系的建立

1、三投影面体系——由三个互相垂直的投影面组成。（1）投影面

正立投影面--V(正面）水平投影面--H(水平面）

侧立投影面--W(侧面）

（2）投影轴

OX轴---VHOY轴---HWOZ轴---

VW

（3）原点

O---原点HVXOZWY2、三面投影的展开规定正面V不动，将水平面H绕OX轴向下旋转90°，侧面W绕OZ轴向右旋转90°，就得到如下图所示的在同一平面上的三个视图。

三、点的三面投影1、点三面投影的形成A点的水平投影—a

A点的正面投影—aA点的侧面投影—aHa

aa

VWXOZYWYHHVXZYWOaaaA分析：aaz=aay=oaxaax=aay=oaz

aaz=aax=oay2、点的投影规律(特性)

aaox（长对正）aaoz（高平齐）aaz=aax（宽相等）HVXZYWOayaxazxyzaaaHa

aa

VWXOZYWYHaxayazayA[例题1.1]

已知点B的正面与侧面投影，求点B的水平投影。XZYWYHOb

b

b四、点的空间坐标1、点的空间位置可用直角坐标表示：X坐标=A点到W面的距离AaY坐标=A点到V面的距离Aa

Z坐标=A点到H面的距离Aa

2、书写形式为A(X，Y，Z)。

HVXZYWOayaxazxyzaaaA[例题1.2]

已知点A和点B的坐标值分别为A（25,15,10）、B（16,10,0），求作这两个点的三面投影。

正面图（V面）反映形体的上、下和左、右，不反映前、后；

平面图（H面）反映形体的前、后和左、右，不反映上、下；

侧面图（W面）反映形体的上、下和前、后，不反映左、右。

五、点的空间方位六、两点的相对位置及重影点的可见性X坐标确定左右：大者在左；Y坐标确定前后：大者在前；Z坐标确定上下：大者在上。1、两点的相对位置

2、重影点及可见性判别重影点

----若两点位于同一条垂直某投影面的投射线上，则这两点在该投影面上的投影重合，这两点称为该投影面的重影点。

点直观图的画法

为了便于建立空间概念，加深对投影原理的理解，常常需要画出具有立体感的直观图。根据点的投影，画其直观图的方法步骤见例2.2。【例3.2】已知A(28，0，20)、B(24，12，12)、C(24，24，12)、D(0，0，28)四点，试画出其直观图与投影图。

(a)直观图(b)投影图1.2.1各种位置直线的三面投影1.2.2一般位置直线的实长及其与投影面的夹角1.2.3直线上点的投影1.2直线的投影直线的投影——直线上任意两点同面投影的连线。直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。HabDCc(d)AB1.2直线的投影1.2.1各种位置直线的三面投影1、投影面垂直线——与一个投影面垂直（必与另两个平行）的直线。（1）铅垂线——与H面垂直，与V、W面平行；（2）正垂线——与V面垂直，与H、W面平行；（3）侧垂线——与W面垂直，与V、H面平行。2、投影面平行线——与一个投影面平行，而与另两个倾斜的直线。（1）水平线——与H面平行，与V、W面倾斜；（2）正平线——与V面平行，与H、W面倾斜；（3）侧平线——与W面平行，与V、H面倾斜。

3、一般位置直线——与三个投影面都倾斜的直线。Zb

Xa

ba(b)OYHYWa投影特性：1)ab积聚成一点2)abOX;ab

OY

3)ab=ab=AB（1）铅垂线OXZYb

a(b)a

abAB（2）正垂线投影特性：1)ab积聚成一点2)ab

OX;ab

OZ

3)ab=ab=ABOXZYbababaABzXab

baOYHYWab（3）侧垂线投影特性：1)ab积聚成一点2)abOYH;ab

OZ

3)ab=ab=ABOXZYABbaababZXabbaOYHYWab投影面垂直线判别口诀：一点两直线，定是垂直线；点在哪个面，垂直哪个面（投影面）（1）水平线XZYOaababb

Xa

b

ab

baOzYHYWAB投影特性：1)ab=AB2)abOX;abOYW3)反映、角的真实大小XZYO（2）正平线aababbXabab

baOZYHYWAB

投影特性：1)ab=AB2)abOX;abOZ3)反映、角的真实大小XZYO（3）侧平线XZa

b

bbaOYHYWaaa

b

a

bbAB投影特性：1)ab=AB2)abOZ;abOYH3)反映、角的真实大小投影面平行线判别口诀：一斜两直线，定是平行线；斜线在哪面，平行哪个面（投影面）OXZY3、一般位置直线ABbbabaaZXabaOYHYWabb投影特性：1）ab、ab、ab均小于实长2）ab、ab、ab均倾斜于投影轴

3）不反映

、、实角

求解一般位置线段的实长及倾角是求解画法几何综合题时经常遇到的基本问题之一，而用直角三角形法求解实长、倾角又最为方便简捷。1.2.2一般位置线段的实长及其与投影面的夹角

(a)直观图(b)利用水平投影求实长(c)利用正面投影求实长

[例题1.3]已知一般位置直线AB的两面投影，见图1-13（a），求直线对H投影面的倾角a和实长。[例题1.4]已知直线AB的水平投影ab和点A的正投影a′见图1-14（a），并知AB对H面的倾角a为30°，求直线AB的倾角β。[例题1.5]已知线段AB的水平投影ab和点B的正面投影b'[如图(a)所示]，线段AB与H面的夹角=30°，求出线段AB的正面投影a'b'。

(a)已知条件(b)作图方法

直线上的点具有两个特性：1、从属性若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。2、定比性属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即AC:CB=ac:cb=ac:cb=ac

:cb

利用这一特性，在不作侧面投影的情况下，可以在侧平线上找点或判断已知点是否在侧平线上。1.2.3直线上的点ABbbaaXOccCc[例题1.6]已知点K从属于直线AB，且点K将线段分成2：3，求点K的投影，见图1-17。[例题1.7]已知侧平线AB的两面投影及从属于AB的一点K的水平投影κ，[见图1-19（a）]，试在两面投影体系中求出点K的正面投影κ′。1.3.1平面的表示法1.3.2各类平面的投影及其投影特性1.3平面的投影1.3.1平面的表示法

1、用几何元素表示平面用几何元素表示平面有五种形式：（1）不在一直线上的三个点；（2）一直线和直线外一点；（3）平行二直线；（4）相交二直线；（5）任意平面图形。

1、用几何元素表示平面aabcbcbaacbcbaacbcaabcbcabcabcdd

※平面图形的投影

——组成该平面图形的各线段同面投影的集合。

1.3.2各类平面的投影及其投影特性1、投影面的平行面

——与一个投影面平行（必与另两个垂直)的平面。（1）水平面——与H面平行，与V、W面垂直；（2）正平面——与V面平行，与H、W面垂直；（3）侧平面——与W面平行，与V、H面垂直；2、投影面的垂直面——与一个投影面垂直，而与另两个倾斜的平面。（1）铅垂面——与H面垂直，与V、W面倾斜；（2）正垂面——与V面垂直，与H、W面倾斜；（3）侧垂面——与W面垂直，与V、H面倾斜。

3、一般位置平面——与三个投影面都倾斜的平面。VWH（1）水平面投影特性：（一框两线）1、水平投影abc反映ABC实形2、abc、abc分别积聚为一条线CABabcbacabccabbbaacc（2）正平面VWH投影特性：（一框两线）1、正面投影abc反映ABC实形2、abc、abc分别积聚为一条线cabbacbcabacabcbcaCBA投影特性：（一框两线）1、侧面投影abc反映ABC实形2、abc、abc分别积聚为一条线（3）侧平面VWHabbbacccabcbacabcCABa投影面平行面判别口诀：一框两直线，定是平行面；框在哪个面，平行哪个面（投影面）VWHPPH（1）铅垂面投影特性：（一线两框）

1、水平投影abc积聚为一条线2、abc、abc为ABC的类似形3、abc与OX、OY的夹角反映、角的真实大小

ABCacbababbacccVWHQ