工程计算几种矩阵

工程计算几种矩阵第一页，共十三页，2022年，8月28日4几种矩阵

4.1初等矩阵

4.2矩阵特征值估计——Gerschgorin圆盘定理

4.3对角占优矩阵

第二页，共十三页，2022年，8月28日2023/2/424.1初等矩阵定义4.1.1下列各种类型的变换，叫做矩阵的初等变换(1)矩阵的任二行(列)互换位置；

(2)非零常数c乘矩阵的某一行(列)；

(3)矩阵的某一行(列)的c倍加到另一行(列)上去

对单位矩阵施行上述三种类型的初等变换，便得相应的三种初等矩阵P(i，j)，P(i(c))，P(i，j(c))，即

第三页，共十三页，2022年，8月28日2023/2/434.1初等矩阵定理4.1.1对一个mn矩阵A的行作初等行变换，相当于用相应的m阶初等矩阵左乘A。对A的列作初等列变换，相当于用相应的n阶初等矩阵右乘A。

容易验证，初等矩阵都是可逆的，并且

P(i，j)1=P(i，j)，P(i(c))

1=P(i(c1))，P(i，j(c))

1=P(i，j(c))第四页，共十三页，2022年，8月28日2023/2/444.1初等矩阵定义

4.1.2如果A经过有限次的初等变换后变成B，则称A与B等价，记为A≌B。

定理

4.1.2A与B等价等价的充要条件是存在两个可逆矩阵P与Q，使得

B=PAQ

定义

4.1.3设u，vCn，F，称矩阵

E(u，v，)=IuvH

为初等矩阵。

初等矩阵有如下性质(1)E(u，v，)E(u，v，)=E(u，v，

+

vH

u)第五页，共十三页，2022年，8月28日2023/2/454.1初等矩阵(2)E1(u，v，)=E(u，v，)其中，1+1=vH

u

(3)|E(u，v，)|=1vH

u

定义4.1.4初等三角形矩阵。设miRn，其前i个分量为零。则称

Li(mi)=E(mi，ei，)=Imi

ei

T

E(u，v，)=IuvH

为初等三角形矩阵。因此，上述三种初等矩阵是定义5.1.2的特例

第六页，共十三页，2022年，8月28日2023/2/464.1初等矩阵由定义知，初等三角形矩阵有如下性质：

(1)|Li(mi)|=1(2)Li1(mi)=Li(mi)(3)Li(mi)左乘矩阵A的结果是从A的各行中减去第i行的倍数。

第七页，共十三页，2022年，8月28日2023/2/474.1初等矩阵LRnn是单位下三角形矩阵则有

(1)L=L1(m1)L2(m2)…Ln1(mn1)(2)L=I

m1e1T

m2e2T…mn1eTn1

第八页，共十三页，2022年，8月28日2023/2/484.1初等矩阵定义4.1.5设wCn，wHw=1，则

H(w)=E(w，w，2)=I

2wwH

称为初等Hermite矩阵。它是Householder矩阵的特例。

定义4.1.6称矩阵

当wRn时，称为初等镜面反射矩阵。

P(i，j)=E(eiej，eiej，1)=I

(eiej)(eiej)T

为初等置换矩阵。初等置换矩阵的乘积称为排列阵。

第九页，共十三页，2022年，8月28日2023/2/494.2矩阵特征值估计——Gerschgorin圆盘定理

Gerschgorin圆盘定理给出了n阶矩阵A的n个特征值在复平面上的分布范围

定理4.2.1(Gerschgorin圆盘定理)n阶矩阵A的每个特征值位于复平面上以aii为中心，以Ri为半径的诸圆盘

Di={z||z

aii|≤Ri}i=1，2，…，n

中的一个，其中

定理4.2.2(第二圆盘定理)如果定理中有s个圆盘组成一个联通域，并与其余圆盘隔开，则在此联通域中恰好有s个A的特征值。第十页，共十三页，2022年，8月28日2023/2/4104.2矩阵特征值估计——Gerschgorin圆盘定理

推论：如果n阶矩阵A的n个圆盘两两不相交，则A相似于对角矩阵。

推论：如果n阶实矩阵A的n个圆盘两两不相交，则A的特征值全为实数。

第十一页，共十三页，2022年，8月28日2023/2/4114.3对角占优矩阵

定义4.3.1设ARnn，如果存在一个排列阵P，使得

则称A为可约的，否则称为不可约的。

定义设ARnn，如果

称A为严格对角占优矩阵。

定义定义设ARnn是不可约的，如果

至少有一个不等式严格成立，称为不可约弱对角占优矩阵。

第十二页，共十三页，2022年，8月28日2023/2/4124.3对角占优矩阵

定理4.3.1设ARnn为严格对角占优矩阵，则ai