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文档简介
动力学方程
nk
inkimk
nk
i
nn
Wii
u
nk
nkidt
2 u
kk d
2u 2U第
n个晶胞中第
k
个原子的动力学方程为:n,
n
1,2,N; i,
i
1,2,3; k,
k
1,2,P;共
3PN
个齐次微分方程动力学方程的一般解满足动力学方程的一般解为:kiknkinA (q)emt
)i
(qR
u 1 kikknnmmt
iqR
Rt
iq
G
A (q)e1A (q
)eki G1u (q
)
nki G由于G Rn
2m
,得到:
q与表示同一格波的波矢。q
GA (q)emmnkit
kikt
kiknkinn1 1
u (q)A (q)eu (q)
iqR
iqR
由于波矢为
q
的正向传播的格波和波矢为q的负向传播的格波的性质相同。而且在同一温度下,引起的原子的振幅相同,得到:即:unki
(q)
unki
(q)1k
iiink
iiimkkkkt
)i
(
qR
A
(q)ek
nki
nkin
nnu
W
nn
W
2k kikikknkikmdtd
2dt
2d
2um
eRnt
)Rnt
)
m A q
1
m2 i(q
i(q
A qe方程右边:色散关系将一般解带入动力学方程,得到:方程左边:12kkm miikiAki
(q)(
R R
)nk kkieW
n
nn
n
iq
A (q)
得到:112kkiiii
kk(
R R
)iqn(mk
mk
)
C
(q)e
n
nn
nW
恢复力系数由于晶格的平移对称性,恢复力系数只依赖于两个原胞的相对位置
,Rn
Rn对于任意指定的原胞
n,121iikk
iqn(
Rn
Rn
)e
n
nW
(mk
mk
)与
n
无关,令:得到:2kikikiCkk
(q)
A (q)kik
iCkk
(q)
A
ii
ii(q)
A (q)
i,
i
1,2,3;
k,
k
1,2,P;共3P个线性齐次方程k,
k
1;
i,
i
1,2,3;13
212
211
2(q)
C11(q)
A (q)33 13
(q)
C11(q)
A (q)23 13
(q)
C11(q)
A (q)
C11(q)
A21 11 22 12
(q)
C11(q)
A (q)13 13
C11(q)
A (q)
C11(q)
A (q)
C11(q)
AiC11
(q)
A (q)
C11(q)
A (q)
C11(q)
A3i
1i
31 11 32 12
i1i
11 11 12 12
iC11
(q)
A2i
1i
1i
A (q)
A (q)
A (q)
如:i,
i
1,2,3;
k,
k
1,2,P;使
Aki
(q)
有非零解的条件是:3P个色散关系式:bi
qi
bi2 2
j
j
(q),
j
1,2,
3P并且:
j
(q
G)
j
(q)
j
(q)
j
(q)1 1 2 2 3 3
对一个格波波矢
q
q
a
q
a
q
a
,有bi
为与晶格对应的倒格子基矢第
i
个分量声学支格波、光学支格波每个色散关系代表一支格波,共3P支。其中3支描述原胞与原胞之间的相对运动,称为声学支。其余3P-3支描述原胞内各原子之间的相对运动,称为光学支。周期性边界条件i
1,2,3kiknkiki
immRn
tnki
Ni ki
u
iq
A (q)e1u
A (q)e1(
Rn
N
a
)t
]i[q
1eiqi
Niaiqi
Niai
li
2
,
li
0,1,2
Niaiqi
li
2
q
q
a
q
a
q
a1 1 2 2 3 3iiNiai aia将
qi
取值限制在第一布里渊区内,对于简单立方晶格有:
l
2
iqi
可以取
N
个不同的值。
Ni
li
Ni,i
1,2,32 2q
取值的个数:N
N1N2
N3个独立振动模式的线性叠加:3PN结论1、晶格振动波矢个数等于晶体原胞数
N,晶体原子的自由度等于3,晶体原胞中包含
P
个原子的独立振动模式数(状态数)等于晶体原子的总自由度数
3PN。2、晶体独立的格波分成
3P支,每支有
N个格波。其中3支是声学波,其余3P
3支是光学波。3、3支声学波中有一支是纵波(原子振动方向与波传播方向相同)LA,其余两支是横波(原子振动方向与波传播方向垂直)TA。4、3P
3
支光学波分为横光学波TO和纵光学波LO两种。Rnk5、位于平衡位置
的原子三维振动方程的通解是kiknk mu 3PNA (q)eqi
(
qRn
t
)
1
声学波横波1横波2光学波金刚石结构晶体的格波原胞包含2个同种原子,具有相同波矢的格波个数等于6。横波1横波2纵波格波纵波由N个原胞构成的金刚石型晶体,共有6N个不同波矢的格波。6N个格波分为6支,3支为光学波,3支为声学波。金刚石晶格振动沿[110]方向
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