高二物理竞赛动力学方程课件

动力学方程

nk

inkimk

nk

i

nn

Wii

u

nk

nkidt

2 u

kk d

2u 2U第

n个晶胞中第

k

个原子的动力学方程为：n,

n

1,2,N; i,

i

1,2,3; k,

k

1,2,P;共

3PN

个齐次微分方程动力学方程的一般解满足动力学方程的一般解为：kiknkinA (q)emt

)i

(qR

u 1 kikknnmmt

iqR

Rt

iq

G

A (q)e1A (q

)eki G1u (q

)

nki G由于G Rn

2m

，得到：

q与表示同一格波的波矢。q

GA (q)emmnkit

kikt

kiknkinn1 1

u (q)A (q)eu (q)

iqR

iqR

由于波矢为

q

的正向传播的格波和波矢为q的负向传播的格波的性质相同。而且在同一温度下，引起的原子的振幅相同，得到：即：unki

(q)

unki

(q)1k

iiink

iiimkkkkt

)i

(

qR

A

(q)ek

nki

nkin

nnu

W

nn

W

2k kikikknkikmdtd

2dt

2d

2um

eRnt

)Rnt

)

m A q

1

m2 i(q

i(q

A qe方程右边：色散关系将一般解带入动力学方程，得到：方程左边：12kkm miikiAki

(q)(

R R

)nk kkieW

n

nn

n

iq

A (q)

得到：112kkiiii

kk(

R R

)iqn(mk

mk

)

C

(q)e

n

nn

nW

恢复力系数由于晶格的平移对称性，恢复力系数只依赖于两个原胞的相对位置

，Rn

Rn对于任意指定的原胞

n，121iikk

iqn(

Rn

Rn

)e

n

nW

(mk

mk

)与

n

无关，令：得到：2kikikiCkk

(q)

A (q)kik

iCkk

(q)

A

ii

ii(q)

A (q)

i,

i

1,2,3;

k,

k

1,2,P;共3P个线性齐次方程k,

k

1;

i,

i

1,2,3;13

212

211

2(q)

C11(q)

A (q)33 13

(q)

C11(q)

A (q)23 13

(q)

C11(q)

A (q)

C11(q)

A21 11 22 12

(q)

C11(q)

A (q)13 13

C11(q)

A (q)

C11(q)

A (q)

C11(q)

AiC11

(q)

A (q)

C11(q)

A (q)

C11(q)

A3i

1i

31 11 32 12

i1i

11 11 12 12

iC11

(q)

A2i

1i

1i

A (q)

A (q)

A (q)

如：i,

i

1,2,3;

k,

k

1,2,P;使

Aki

(q)

有非零解的条件是：3P个色散关系式：bi

qi

bi2 2

j

j

(q),

j

1,2,

3P并且：

j

(q

G)

j

(q)

j

(q)

j

(q)1 1 2 2 3 3

对一个格波波矢

q

q

a

q

a

q

a

，有bi

为与晶格对应的倒格子基矢第

i

个分量声学支格波、光学支格波每个色散关系代表一支格波，共3P支。其中3支描述原胞与原胞之间的相对运动，称为声学支。其余3P-3支描述原胞内各原子之间的相对运动，称为光学支。周期性边界条件i

1,2,3kiknkiki

immRn

tnki

Ni ki

u

iq

A (q)e1u

A (q)e1(

Rn

N

a

)t

]i[q

1eiqi

Niaiqi

Niai

li

2

,

li

0,1,2

Niaiqi

li

2

q

q

a

q

a

q

a1 1 2 2 3 3iiNiai aia将

qi

取值限制在第一布里渊区内，对于简单立方晶格有：

l

2

iqi

可以取

N

个不同的值。

Ni

li

Ni,i

1,2,32 2q

取值的个数：N

N1N2

N3个独立振动模式的线性叠加：3PN结论1、晶格振动波矢个数等于晶体原胞数

N，晶体原子的自由度等于3，晶体原胞中包含

P

个原子的独立振动模式数（状态数）等于晶体原子的总自由度数

3PN。2、晶体独立的格波分成

3P支，每支有

N个格波。其中3支是声学波，其余3P

3支是光学波。3、3支声学波中有一支是纵波（原子振动方向与波传播方向相同）LA，其余两支是横波（原子振动方向与波传播方向垂直）TA。4、3P

3

支光学波分为横光学波TO和纵光学波LO两种。Rnk5、位于平衡位置

的原子三维振动方程的通解是kiknk mu 3PNA (q)eqi

(

qRn

t

)

1

声学波横波1横波2光学波金刚石结构晶体的格波原胞包含2个同种原子，具有相同波矢的格波个数等于6。横波1横波2纵波格波纵波由N个原胞构成的金刚石型晶体，共有6N个不同波矢的格波。6N个格波分为6支，3支为光学波，3支为声学波。金刚石晶格振动沿[110]方向