人教版高中数学选择性必修第一册第三章测试题及答案解析

人教版高中数学选择性必修第一册第三章测试题及答案解析第三章圆锥曲线方程本卷满分150分，考试时间120分钟。单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．抛物线的焦点到其准线的距离为（

）A． B． C．2 D．42．已知椭圆C：的左右焦点分别为F1、F2，过左焦点F1，作直线交椭圆C于A、B两点，则三角形ABF2的周长为（

）A．10 B．15 C．20 D．253．以下几个命题中，其中真命题的序号为（

）①过点且与抛物线有一个公共点的直线有且只有两条；②双曲线的渐近线方程为；③在平面内，到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线；④双曲线与椭圆有相同的焦点．A．①③ B．①④ C．③④ D．②④4．已知点F为抛物线的焦点，A为抛物线的准线与y轴的交点，点B为抛物线上一动点，当取得最大值时，点B恰好在以A，F为焦点的椭圆上，则该椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．5．已知，是椭圆C：的左、右焦点，O为坐标原点，点M是C上点（不在坐标轴上），点N是的中点，若MN平分，则椭圆C的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．6．已知方程，则E表示的曲线形状是（

）A．若，则E表示椭圆B．若E表示双曲线，则或C．若E表示双曲线，则焦距是定值D．若E的离心率为，则7．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“”.设分别是双曲线的左、右焦点，直线交双曲线左、右两支于两点，若恰好是的“勾”“股”，则此双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．8．已知点是椭圆+=1上的动点（点不在坐标轴上），为椭圆的左，右焦点，为坐标原点；若是的角平分线上的一点，且丄，则丨丨的取值范围为（

）A．（0，） B．（0，2）C．（l，2） D．（，2）多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知椭圆的左，右焦点分别为，椭圆的上顶点和右顶点分别为A，B．若P，Q两点都在椭圆C上，且P，Q关于坐标原点对称，则（

）A．|PQ|的最大值为B．为定值C．椭圆上不存在点M，使得D．若点P在第一象限，则四边形APBQ面积的最大值为10．已知椭圆的左､右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆于A，B两点，则下列说法正确的是（

）A．的周长为8 B．椭圆的长轴长为2C．的最大值为5 D．面积最大值为311．已知椭圆M：的左右焦点分别为，左右顶点分别为，P是椭圆上异于的任意一点，则下列说法正确的是（

）A．周长为B．面积最大值为C．存在点P满足：D．若面积为，则点P横坐标为12．已知双曲线的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，点P是双曲线C右支上异于顶点的一点，则（

）A．若双曲线C为等轴双曲线，则直线的斜率与直线的斜率之积为1B．若双曲线C为等轴双曲线，且，则C．若P为焦点关于双曲线C的渐近线的对称点，则C的离心率为D．延长交双曲线右支于点Q，设与的内切圆半径分别为、，则三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线垂直于双曲线的一条渐近线，直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，若，则双曲线的离心率为______．14．已知，是双曲线C：的左、右焦点，M，N是C上关于原点对称的两点，且，则四边形的面积是______．15．设双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线左支于，两点，则的最小值为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，设椭圆的中心为原点长轴在轴上，上顶点为左、右焦点分别为线段的中点分别为且是面积为的直角三角形．(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过作直线交椭圆于两点，使求的面积．18（12分）已知P为椭圆（）上一点，，分别是椭圆的左、右焦点，，且椭圆离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)过的直线l交椭圆于A，B两点，点C与点B关于x轴对称，求面积的最大值19（12分）已知双曲线：的右焦点为，左顶点为A，且，到C的渐近线的距离为1，过点的直线与双曲线C的右支交于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴分别交于M，N两点.(1)求双曲线C的标准方程.(2)若直线MB，NB的斜率分别为，，判断是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.20．（12分）已知双曲线与抛物线有共同的焦点F，双曲线C与抛物线E交于A，B两点，且（O为坐标原点）．(1)求双曲线C的离心率．(2)过F的直线（斜率存在）与双曲线的右支交于M，N两点，MN的垂直平分线交x轴于P，证明：．21．（12分）如图，点是抛物线上的动点，过点的直线与抛物线交于另一点.(1)若为线段的中点，求直线的方程；(2)已知点，求四边形面积的最小值.22．（12分）已知抛物线的焦点为F，点是抛物线C上一点，．(1)求抛物线C的方程；(2)过的直线l与抛物线C相交于A，B两点，求证：为定值．答案解析版本卷满分150分，考试时间120分钟。单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．抛物线的焦点到其准线的距离为（

）A． B． C．2 D．4【答案】C【解析】：抛物线，即，则，所以，所以抛物线的焦点到其准线的距离为.故选：C2．已知椭圆C：的左右焦点分别为F1、F2，过左焦点F1，作直线交椭圆C于A、B两点，则三角形ABF2的周长为（

）A．10 B．15 C．20 D．25【答案】C【解析】由题意椭圆的长轴为，由椭圆定义知∴故选：C3．以下几个命题中，其中真命题的序号为（

）①过点且与抛物线有一个公共点的直线有且只有两条；②双曲线的渐近线方程为；③在平面内，到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线；④双曲线与椭圆有相同的焦点．A．①③ B．①④ C．③④ D．②④【答案】D【解析】解：对①：过点且与抛物线有一个公共点的直线共有3条，其中有两条直线与抛物线相切，有一条与对称轴平行，故命题①是假命题；对②：双曲线的渐近线方程为，故命题②是真命题；对③：因为在平面内，点在直线上，所以到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹过定点垂直于直线的直线，不是抛物线，故命题③是假命题；对④：因为双曲线与椭圆的焦点都是，所以有共同的焦点，故命题④是真命题；故选：D.4．已知点F为抛物线的焦点，A为抛物线的准线与y轴的交点，点B为抛物线上一动点，当取得最大值时，点B恰好在以A，F为焦点的椭圆上，则该椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设点，，,其中，当时，；当时，，因为，，当，即时，等号成立，当时，取得最大值，此时；根据椭圆的定义可知，即，椭圆的离心率故选：A.5．已知，是椭圆C：的左、右焦点，O为坐标原点，点M是C上点（不在坐标轴上），点N是的中点，若MN平分，则椭圆C的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为是的中点，是的中点，所以，因为平分，所以，因为，所以，，由（或），得椭圆的离心率，又，所以椭圆的离心率的取值范围是．故选：A．6．已知方程，则E表示的曲线形状是（

）A．若，则E表示椭圆B．若E表示双曲线，则或C．若E表示双曲线，则焦距是定值D．若E的离心率为，则【答案】B【解析】由题意得，当时，，即，要表示椭圆，需满足，解得且，故A错误；若E表示双曲线，则不能为0，故化为，则，即或，故B正确；由B的分析知，时，，此时c不确定，故焦距不是定值，C错误；若E的离心率为，则此时曲线表示椭圆，由A的分析知，且，当时，，此时，则，解得，当时，，此时，则，解得，故D错误，故选：B7．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“”.设分别是双曲线的左、右焦点，直线交双曲线左、右两支于两点，若恰好是的“勾”“股”，则此双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．【答案】A【解析】如图所示由题意可知，根据双曲线的定义知，是的中点且.在中，是的中点，所以，因为直线的斜率为，所以，所以.所以是等边三角形，.在中，.由双曲线的定义，得，所以双曲线的离心率为.故选：A.8．已知点是椭圆+=1上的动点（点不在坐标轴上），为椭圆的左，右焦点，为坐标原点；若是的角平分线上的一点，且丄，则丨丨的取值范围为（

）A．（0，） B．（0，2）C．（l，2） D．（，2）【答案】A【解析】如下图，延长、相交于点，连接，因为，因为为的角平分线，所以，，则点为的中点，因为为的中点，所以，，设点，由已知可得，，，则且，且有，，故，所以，.故选：A.多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知椭圆的左，右焦点分别为，椭圆的上顶点和右顶点分别为A，B．若P，Q两点都在椭圆C上，且P，Q关于坐标原点对称，则（

）A．|PQ|的最大值为B．为定值C．椭圆上不存在点M，使得D．若点P在第一象限，则四边形APBQ面积的最大值为【答案】BD【解析】如图所示：A.|PQ|的最大值为长轴长2，故错误；B.易知是平行四边形，则，因为，所以，故正确；C.因为，所以，则，故椭圆上存在点M，使得，故错误；D.直线AB所在直线方程为：，即，设，则点P到直线AB的距离为，其最大值为，同理点Q到直线AB的最大值为，所以四边形APBQ面积的最大值为，故正确.故选：BD10．已知椭圆的左､右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆于A，B两点，则下列说法正确的是（

）A．的周长为8 B．椭圆的长轴长为2C．的最大值为5 D．面积最大值为3【答案】ACD【解析】解：由题可知，在椭圆中，，的周长为,故A项正确；椭圆的长轴长为，故B项错误；因为，当且仅当时，最小，代入，解得，故，所以的最大值为5，故C项正确；根据椭圆的性质可得，当且仅当时，面积最大，故,故D项正确.故选：ACD.11．已知椭圆M：的左右焦点分别为，左右顶点分别为，P是椭圆上异于的任意一点，则下列说法正确的是（

）A．周长为B．面积最大值为C．存在点P满足：D．若面积为，则点P横坐标为【答案】BD【解析】由题意，，，短轴一个端点，由题知，故周长为，故A错误；利用椭圆的性质可知面积最大值为，故B正确；因为，所以，从而，而是椭圆上任一点时，当是短轴端点时最大，因此不存在点满足，故C错误；因为，，则，，故D正确．故选：BD．12．已知双曲线的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，点P是双曲线C右支上异于顶点的一点，则（

）A．若双曲线C为等轴双曲线，则直线的斜率与直线的斜率之积为1B．若双曲线C为等轴双曲线，且，则C．若P为焦点关于双曲线C的渐近线的对称点，则C的离心率为D．延长交双曲线右支于点Q，设与的内切圆半径分别为、，则【答案】ABD【解析】由题意知，，设，对于A，若双曲线C为等轴双曲线，则，则，又，则，A正确；对于B，设，则，由A选项知，即，又，，故，解得，即，B正确；对于C，易得双曲线的渐近线方程为，若P为焦点关于双曲线C的渐近线的对称点，则有，解得，代入可得，即，解得，则C的离心率为，C错误；对于D，设的内切圆与分别切于三点，由切线长定理知，则，又，可得，则和重合，即的内切圆圆心的横坐标为，同理可得的内切圆圆心横坐标也为，则轴，且，作于，则即为切点，作于，则，，，在中，可得，即，整理得，D正确.故选：ABD.三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线垂直于双曲线的一条渐近线，直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，若，则双曲线的离心率为______．【答案】【解析】由题意，双曲线的渐近线为，若过的直线与直线垂直，垂足为，直线与直线交于，，因为，所以在，之间，如图所示，直线的方程为，由，得，由，得，由，可得，所以，所以，所以双曲线的离心率．同理，过的直线与直线垂直时，双曲线的离心率．综上所述，双曲线的离心率为，故答案为：.14．已知，是双曲线C：的左、右焦点，M，N是C上关于原点对称的两点，且，则四边形的面积是______．【答案】72【解析】由可知，因为M，N是C上关于原点对称的两点，且，所以四边形为矩形，设，，由双曲线的定义可得，所以，又因为，所以，所以，所以四边形的面积,故答案为：7215．设双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线左支于，两点，则的最小值为______．【答案】22【解析】根据双曲线，得，，由双曲线的定义可得：①，②，①+②可得：，由于过双曲线的左焦点的直线交双曲线的左支于，两点，可得，即有．则，当是双曲线的通径时最小，故.故答案为：2216．已知双曲线的左，右焦点分别为，，右焦点到一条渐近线的距离是，则其离心率的值是______；若点P是双曲线C上一点，满足，，则双曲线C的方程为______．【答案】

##1.5

【解析】双曲线的渐近线方程为，即，焦点到渐近线的距离为，又，，，，.双曲线上任意一点到两焦点距离之差的绝对值为，即，，即，解得：，由，解得：,.双曲线C的方程为.故答案为：；.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，设椭圆的中心为原点长轴在轴上，上顶点为左、右焦点分别为线段的中点分别为且是面积为的直角三角形．(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过作直线交椭圆于两点，使求的面积．【答案】(1)(2)【解析】（1）设椭圆的方程为，是的直角三角形，，为直角，从而，即，，，在中，，，椭圆标准方程为；（2）由（1）知，由题意，直线的倾斜角不为，故可设直线的方程为，代入椭圆方程，消元可得①，设，，，，，，当时，①可化为，，的面积．18（12分）已知P为椭圆（）上一点，，分别是椭圆的左、右焦点，，且椭圆离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)过的直线l交椭圆于A，B两点，点C与点B关于x轴对称，求面积的最大值【答案】(1)(2)【解析】(1)由P为椭圆（）上一点，，分别是椭圆的左、右焦点，，可得，，所以，又，则，所以，，故椭圆的标准方程为；(2)由题意可知过的直线l斜率存在且，可设其方程为，，，则，由得：，则，所以，当且仅当时，等号成立.所以，面积的最大值为.19（12分）已知双曲线：的右焦点为，左顶点为A，且，到C的渐近线的距离为1，过点的直线与双曲线C的右支交于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴分别交于M，N两点.(1)求双曲线C的标准方程.(2)若直线MB，NB的斜率分别为，，判断是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】(1)(2)是定值，【解析】（1）由题意得，，渐近线方程为，则到渐近线的距离为，又因为，所以，，，故双曲线的标准方程为.（2）设直线：，，，，联立方程组得，所以，.因为直线的方程为，所以的坐标