高二物理竞赛一维问题的薛定谔方程解课件

0xU(x)=0a例1：一个粒子在如图所示的势场中运动，它的势能为0U

(x)

0

x

ax

0,

x

a

一维问题的薛定谔方程解这种势场称为一维无限深势阱。在一维无限深势阱中粒子如何运动？它的波函数如何？能量如何？按经典力学理论，一个具有有限能量的粒子，只能在U=0的区域运动，但能量可以取任何值！n

1,2,3,anx),(x)

Asin(0)dx

1aA2sin2

(an

x2aA

由归一化条件本征函数n0

x

asin( n

1,2,3,a a2

nx),

(x)

x

0,

x

an

(x)

0,一维无限深方势阱中运动的粒子其波函数：np

2mEa

nn2an

h pn

2a

n

n驻波动量：波长：概率密度xannn

a2W (x

)

(x

)

2

2

sin波函数的物理意义：处在不同能级的粒子，在势阱中的几率分布不同。动量和波长一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和几率密度3

x2

x

1x(x)

4xoE

4E

3E

2E

1a23

xn

324

xn

4

2x2n

2

1x2n

1ao2

a33

2aa4

2n-1个节点1

2ax

稳定的驻波ˆ2 d

22m

dx2 2

m x2 2H

12 21

m

x )

(x)

E

(x)2 d

22m

dx2 2一维谐振子的哈密顿算符为体系的薛定谔方程为

(2nn 0

,1,2

,3,

能级为

E

(

n

1

)例.

一维谐振子U(x)n=0xn=1n=2E0=

hv/2零点能能量间隔：E

h2e Hn(

x),2n

n! (

x)2例.

一维谐振子H1(x)

2xH2(x)

4x

2;2H3(x)

2 x 12x3 3当n为偶数时，

n

(x)

n

(x)空间波函数具有偶宇称当n为奇数时，

n

(x)

n

(x)空间波函数具有奇宇称U(x)n=0xn=1n=2m

波函数

n

厄米多项式：H0

(x)

1;线性谐振子波函数线性谐振子位置几率密度

0n

0x1n

1xn

2

2x20n

0x2

2n

2x21n

1x例.

隧道效应及势垒贯穿设具有一定能量E的粒子沿x轴正向射向方势垒0aU0ⅡⅠ区

U(

x

) =0 x≤0Ⅱ区

U(

x

) =

U0 0≤x≤

aⅢ区

U(

x

) =0 x≥

aE

3Ⅰ粒子动能

E

>U0时，粒子全部进入Ⅲ区域。粒子动能

E

<

U0时，粒子不能越过势垒Ⅱ区而到达Ⅲ区。或者说，在Ⅱ、Ⅲ区域发现粒子的几率为零。经典理论:ⅢI

(x)

A1

sin(K1

x

1

)02m

dx2d

2

(U

E)

02(2)0

x

a, U

U0

E2dx2d2

2mE

K1

2mE2U

(x)

(x)2m dx2

E(x)

d (x)

2 20aU0ⅡⅠⅠEⅢ22m(U

E)K 0 2222IIK

x

(x)

A

eB

eK2

x方程的解:(1)x

0, U

0III(x)

A3sin(K1x

3)方程的解:(3)x

a, U

02dx2d2

2mE

2mEK1

2U

(x)

(x)2m dx2

E(x)

d (x)

2 20aU0ⅡⅠⅠEⅢA1

,

A2

,

B2

,

A3

,1

,

3常数可由波函数在0,a两点的连续性条件和归一化要求决定。U0>E态波函数22231 3IIIIIK

x时方

I

(x)

A1

sin(K1

x

1

)势垒

(x)

A

eB

eK2

x中定

(x)

A sin(K

x

)12mEK 222m(U

E)K 0 2方程的解:U

(x)

(x)2m dx2

E(x)

d (x)

2 20aU0ⅡⅠⅠEⅢ22 231 3IIIIIIK

x

(x)

A1

sin(K1

x

1

)

(x)

A

eB

eK2

x(x)

A sin(K

x

)0U

>E时方势垒中定态波

函数

12mEK 222m(U

E)K 11IK2

xiK

xK2

x

(x)

eiK

x

ReiK1xII(x)

A2eB2eIII(x)

Te或1R

eiK

x、1 0 2iK

xT

e分别代表反射波和透射波小于势垒高度，入射粒透射系数T 随势垒宽度a、粒子质量m 和能量差变化，随着势垒的加宽、加高，透射系数减小。0 a子仍可能穿过势垒进入

EIII

区

—

隧道效应，它是粒子波动性的表现。U0Ⅰ Ⅱ Ⅲ

讨论：(1) E

<

U0

,

即粒子总能量1K 2mE2 0 22m(U

E)K 2|

T

|2

1

|

R

|21 221 2(k

2

k

2

)2

sin2

(k a)|R

|2

1 2 2 (k

2

k

2

)

sin2

(k a)

4k

2k

22如k

a

1,0016

E

(UU

2E

)

e

2

k2

xT 0 aU0Ⅰ Ⅱ ⅢE

12mEk 222m(E

U0)k 2|

R

|2

1

|

T

|21221 24k

2k

2|T

|2

1 2 (k

2

k

2

)

sin2

(k a)

4k

2k

2讨论：(2) E

>

U0

,

即粒子总能量大于势垒高度，入射粒子也并非全部透射进入

III

区,仍有一定几率被反射回

I

区。ⅠⅡⅢE0 aEΨ1Ψ2U0xⅠ区0Ⅱ区a Ⅲ区Ψ32m

(U0

E

)a

2

(a