高二物理竞赛晶体能带的对称性课件

§1、

晶体能带的对称性一、

En(k)函数的对称性晶体点群对称操作的算符T(a)

，物理意义：对于任意函数f(r)，有T

a

f

r

f

a

1r

其中，a－1是a的逆操作，其定义为a－1

r点经a操作后变换到r点。晶体中电子运动的哈密顿量为：H

U

r

r2这是关于未知数an

(n

=

1,

2,

…

,

N)的线性齐次方程组。方程组的解：

a

Ceik

RnnC

：归一化因子代入方程组得E

ej

J

Rn

Rl

e

ik

Rn

Rl

l

J

Rs

e

ik

Rs

Rs

Rn

Rls上式确定了这种形式解所对应的能量本征值。对于一个确定的k，电子运动的波函数为y

k

r

eik

Rl

jj

r

Rl

C

容易验证yk(r)为Bloch函数y

k

r

eik

r

e

ik

r

Rl

jj

r

Rl

eik

r

uk

r

相应的能量本征值为E

k

ej

J

Rs

e

ik

Rslls考虑周期性边界条件，k的取值为

h1

h2

h3

1

23由此可知，在简约区中，波矢k共有N个准连续的取值，即可得N个电子的本征态yk(r)对应于N个准连续的k值。这样，E(k)将形成一个准连续的能带。形成固体时，一个原子能级将展宽为一个相应的能带，其Bloch函数是各格点上原子波函数jj(r-Rl)的线性N

N

Nk

b1

b2

b3

h1,

h2,

h3

＝整数组合。对于简单立方：Rs

＝(±a,

0,

0),

(0,

±a,

0),

(0,

0,

±a)由于s态的原子波函数是球对称的，有例1：求简单立方晶体中由原子的s态所形成的能带aaJ

Rs

J1R

近邻格矢sG点：k

＝(0,

0,

0)

E

es

J0

6J1X点：k

＝(p/a,

0,

0)

E

X

es

J0

2J1R点：k

＝(p/a,

p/a,

p/a)

E

R

es

J0

6J1由于s态波函数是偶宇称，

js(r)=

js(-r)

，

所以，在近邻重叠积分中波函数的贡献为正，

即J1

>

0

。RXGM在简单立方晶格的简约区中yxzkkkv原子的一个s能级在晶体中展宽为一个相应的能带，能带宽度取决于J1

，即近邻原子波函数的重叠积分。v原子的内层电子轨道半径较小，所形成的能带校窄；

而外层电子的轨道半径较大，所形成的能带较宽。v

以上讨论仅适用于原子能级非简并，且原子波函数重叠很少的情况，即适用于原子内层s

电子所形成的能带。G点：能带底；R点：能带顶能带宽度：

E

E

R

E

12J1}12J1

J0

e

s对于p电子、

d电子等，

这些状态都是简并的，

因此，

其Bloch函数应是孤立原子的有关状态波函数的线性组合。例2：求简单立方晶体由原子的p态所形成的能带原子的p态为三重简并，其原子轨道可表为jpx

xf

r

jpy

yf

r

在简单立方晶体中，三个p轨道各自形成一个能带，

其波函数是各自原子轨道的线性组合。jpz

zf

r

由于p轨道不是球对称的，

因此，沿不同方向的近邻重叠积分J(Rs)不完全相同。

如jpx

：电子主要集中在x轴方向，在六个近邻重叠积分中，沿x轴方向的重叠积分较大，用J1表示；沿y方向和z方向的重叠积分用J2表示。ypkx

C

eik

Rl

jpx

r

Rl

lypky

C

eik

Rl

jpy

r

Rl

lypkz

C

eik

Rl

jpz

r

Rl

lv对于原子的内层电子，

其电子轨道很小，因而形成的能带较窄。这时，原子能级与能带之间有简单的一一对应关系。v对于外层电子，

由于其电子轨道较大，形成的能带就较宽。这时，原子能级与能带之间比较复杂，不一定有简单的一一对应关系。

一个能带不一定与孤立原子的某个能级相对应，可能会出现能带的重叠。二、原子能级与能带的对应E紧束缚近似对原子的内层电子是相当