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文档简介
1、晶格热容模型1.
Dulong
－Petit定律Dulong
－Petit定律：在常温下大多数固体的热容量差不多都等于6
cal/mol
·K经典统计理论的解释：能量均分定理一摩尔晶体的振动能为：
E
3N0kB
T
CV
3N0kB
3R
6cal
/
mol
KVV经典的能量均分定理可以很好地解释室温下晶格热容的实验结果。困难：低温下晶格热容的实验值明显偏小，且当T®0时，CV
®0
，经典的能量均分定理无法解释。2.
Einstein模型假设：晶体中各原子的振动相互独立，
且所有原子都以同一频率w0振动。即：
wwconst在一定温度下，由N个原子组成的晶体的总振动能为：E
T
3N
0
.
CV
3NkB
定义
Einstein温度：
E
v高温下：T
>>
QE
即
kB
T
hw0CV
3NkB
2222CV
3NkB
exp
2kB
T
exp
2kB
T
22
hw
2
3NkB
kB
3NkBT0
hw
hw
2k
kB
T01v在低温下：T
<<
QE
即kB
T
hw0CV
3NkB
hw
hw
3NkB
kB
exp
kB
当T®0时，CV
®0
，与实验结果定性符合。但实验结果表明，
T®0
，
CV
∝T3
;根据Einstein模型，
T®0
，
CV
exp
0T0T02222
Einstein模型
金刚石热容量的实验数据3.
Debye模型假设：晶体是各向同性的连续弹性介质，格波可以看成连续介质的弹性波。为简单，
设横波和纵波的传播速度相同，均为c
。w
dwdq这表明，在q空间中，等频率面为球面。
c
const.q在w－w＋dw之间晶格振动的模式数为g
w
dw
3r
q
4p
q2dq
3
4p
q2dq
3
4p
g
w
22由
g
w
dw
3Nmm0wwmCV
kB
g
w
dww
B对于大多数固体材料：
QD〜102
Kmmmmmmmmmmm22m0w定义Debye温度：
D
mkh元素QD
(K)元素QD
(K)元素QD
(K)Ag225Cd209Ir108Al428Co445K91As282Cr630Li344Au
165Cu
343La
142B1250Fe470Mg400Be1440Ga320Mn410Bi119Ge374Mo450金刚石2230Gd200Na158Ca230Hg71.9Ni450CV
9NkB
0
v在高温下：T
>>
QD
，即
xD
0
CV
9NkB
0
9NkB
0
33333xDx333333xDx333333xDx3hw
DB作变换：
x
T
Tk
x
Bk
Twm
DhCV
9NkB
0
CV
9NkB
0
dxx
3NkB
T33333xD
2x3Dx3CV
9NkB
0
9NkB
0
3333
33333
3v在低温下：T
<<
QD
，即
xD
D
利用Taylor展开式：
1
x
n
1
(
n)x
x
2
x
3
CV
9NkB
0
x4
e
x
1
2e
x
3e
2x
dx
9NkB
0
x4
n1
ne
nx
dx
9NkB
n1
n
0
x4e
nxdx利用积分公式：
x
m
e
ax
dx
0033333333333
33333333333
333333333333333333333333
3这表明，Debye模型可以很好地解释在很低温度下晶格热容CV
∝
T3
的实验结果。由此可见，
用Debye模型来解释晶格热容的实验结果是相当成功的，
尤其是在低温下，温度越低，Debye近似就越好。
CV
9NkB
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