高二物理竞赛三维晶格振动课件

三维晶格振动1、

三维晶格振动mk1aa23aRnkRnunki

1,2,3i

u (i

1,2,3)nkinkuk晶体基矢分量

a

晶胞中第

k

个原子质量

m

(k

1,2,P)第n

个晶胞中第

k

个原子的平衡位置矢量Rnk第 个晶胞中第个原子的偏离平衡位置沿的位移：nki

1,2,3a

i1、模型n

1,2,3,N

N1N2

N3; k

1,2,3,P21212B

0iqam

(

)A

e

1 2

1 2 BA m2

(

)

eiqa

iaq12

e2

1

2

1 m m1、光学波、声学波及其物理意义在同一时刻

t ，同一原胞中的两个原子的位移之比：u2(na,

t)

Bu1

(na,

t)

A由于：1 22221m

M

8mM

1

cos(qa)

2

1

2

m

M

1

2mM 2mM若m

M ，得到：211 22221cos(qa)m

2

2

1

2

1m若

1

2

，得到：

1/

21

1sin2

(aq)4mMm

M

2mm

M

2

211 22221212cos(qa)m

2

1m

iaqmm12

1

e2

1

2211 2221/

221212

2

2cos(aq)

sin(aq)1

cos(aq)

(cos(aq)

i

sin(aq))2

1eiaq因为：211 2222121cos(qa)m2A

2

1m211 22221212cos(qa)mo

2

1m21光学支格波圆频率，

﹥

21声学支格波圆频率，

﹥

qa

a声学波0o

min

mAmax

m

21

m

22o

max

2(1

2)

0Amin光学波禁带（禁止出现的振动模式）禁带宽度=

o

minAmax声学支格波iaq2 1

e

eiaq

2 1 iaqAB2 1

e

eiaq

2 1 iaqAB2 1

e

eiaq

2 1 光学支格波B

A12

2 1

1iaqAB

e

eiaq讨论:A、对光学支格波，当

,

q

0，原胞中两个原子位移之比：表明原胞中两个原子相对振动，原子质心不动，形成长光学波。波传播方向若原胞包含一个正离子，一个负离子，形成随时间变化的电偶极矩。波传播方向+

++++----B

A12

2 1

1iaqiaqA

eB

e原胞中两原子同方向振动（与原胞原子质心振动等效），长声学波。波传播方向对声学支格波，当

,

q

0

，原胞中两个原子位移之比：qaA1

2

1 2

1 2 2m(

)

格波圆频率与波矢成正比（声学波）2cos

aq

1

1

aq2212

1 2 1

(aq)2m

(

)2A在长波极限下，q﹤﹤

/

a

(布里渊区中心附近),得到:iaqmmm12211 22221cos(qa)

1

e

1

2

2

2

1

2

1mmA

m2,A

B1202,A

B112

2

D、当

q

/

a相邻原胞的位移相反周期性边界条件、振动模式数u1

(na)

u1

((n

N

)a)u2

(na)

u2

((n

N

)a)

1eiNaqNaq

l

2

,l

0,1,2

q

2

l,

l

0,1,2

Nai

(naqt

)1i

(naqt

)u2(na)

Beu(na)

Ae

q

a aq

取值限制在一维双原子链的第一布里渊区：N

l

N2 2q

取值在一维双原子链的第一布里渊区中有

N个不同值。对每个

q

对应有两个圆频率

O

,A

，一维双原子链晶格有2N

个独立振动模式（状态）。第

n

个晶胞中第

k 个原子受到晶体其它原子作用的简谐（弹性）势能：n,

n

1,2,N; i,

i

1,2,3; k,

k

1,2,P;

kk

nn

Wii

定义恢复力系数：代表第

n个原胞中第

k个原子在其它原子不动的情况下，沿

i

方向振动位移一个单位长度时，第n个原胞中第

k

个原子在

i

方向上受到的弹性力。0 R0Rnki

nki

nki

R

Rnk

i2两个原胞编号两个原胞中原子编号kk

n

nk

k

nn

W

W

kk

nnW