高中数学人教A版第二章平面向量（全国一等奖）

平面向量的实际背景及基本概念课前准备温故知新：向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景.本节从物理上的力和位移出发，抽象出向量的概念，并说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的一些基本概念.学习目标：1.了解向量的实际背景;理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；会区分平行向量、相等向量和共线向量.课前思索：1、如何直观（用几何方法）表示数量？如实数？2、向量既有大小，又有方向，又如何直观表示？课堂学习学习引领1、数量与向量的区别：A(起点A(起点)B（终点）a向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；注：手写体是用上面带方向箭头的字母,等来表示.③用有向线段的起点与终点字母：；④向量的大小――长度称为向量的模，记作||.3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.4、零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，规定零向量的方向是任意的.注意0与0的含义与书写区别.②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.5、平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定与任一向量平行.说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量平行，记作.6、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：（1）向量与相等，记作；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.7、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.合作探究例1:判断：（1）平行向量是否一定方向相同？（2）不相等的向量是否一定不平行？（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（6）两个非零向量相等的条件是什么？（7）共线向量一定在同一直线上吗？解析：（1）不一定因为方向相同或相反的向量叫平行向量；（2）不一定因为只要方向相同或相反的两个向量就平行与长度没有关系（3）零向量因为两个向量相等需满足长度相等方向相同（4）零向量因为规定零向量与任意向量平行；（5）共线向量因为能平移到同一条直线的向量是共线向量或平行向量（6）长度相等且方向相同；(7)不一定因为只要两个向量能平移到同一条直线上就叫共线向量也叫平行向量。点评：掌握好与向量有关的概念是判定此类问题的基础，特别说明平行向量与共线向量是等价的，向量是自由平行移动的，所以共线向量并不是指两个向量在同一条直线上，而是可以平移到同一条直线上。例2:下列命题正确的是（）A.与共线，与共线，则与也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量与不共线，则与都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行解析：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；所以应选C.点评：要掌握特殊向量零向量的要求，它与任意向量平行，它的长度为零。另外掌握平行向量（也叫共线向量），相等向量等是判定这类问题的基础。例3:如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量、、相等的向量.变式一：与向量长度相等的向量有多少个？变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？变式三：与向量共线的向量有哪些？解析：与向量相等的向量有.与向量相等的向量有.与向量相等的向量有.变式一：与向量长度相等的向量有.变式二：存在与向量长度相等、方向相反的向量有：。变式三：与向量共线的向量有.点评：判断依据是相等向量与共线向量的定义。三、课堂练习：1.下面几个命题：（1）若，则;（2）若，则;（3）若，则;（4）两个向量相等的充要条件是;（5）若A、B、C、D是不共线的四点，则是四边形ABCD是平形四边形的充要条件。其中正确的个数是() 2.关于零向量，下列说法中错误的是（）A.零向量是没有方向的。 B.零向量的长度是0C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任意的。3．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD是平行四边形当且仅当＝⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.4.如果对于任意的向量，均有,则为_________________.5.给出下列命题：①向量的大小是实数②平行向量的方向一定相同③向量可以用有向线段表示④向量就是有向线段正确的有_________________________.四、课后作业：1.下列命题中正确的是()若两个向量相等,则它们的起点和终点分别重合;模相等的两个平行向量是相等向量;若和都是单位向量,则;两个相等向量的模相等;2.在四边形ABCD中，，且||＝||，那么四边形ABCD为A．平行四边形 B．菱形 C．长方形 D．正方形3.向量都是非零向量，下面说法不正确的是（）A.向量与反向，则向量与向量的方向可能相同B.向量与反向，则向量与向量的方向可能相反C.向量与反向，且，则向量与向量的方向相同D.向量与反向，且，则向量与向量的方向相同4.把平行于某一直线的一切向量平移到同一起点，则这些向量的终点构成的图形是______________.5.把平面上的一切单位向量归结到共同的起点，那么这些向量的终点所构成的图形是_______________.6.用向量表示向东走了，则表示____．学后反思自我总结知识归纳方法总结错误总结附2.4.1详细解答

三、课堂练习正确的有：(1)(2)(5).对于（3）,方向不一定相同；对于(4)长度相等且方向相同，两个向量相等。两向量平行方向可能相反.零向量方向任意不能说没有方向，因为任何向量具有两个属性长度和方向。3.①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、在同一直线上.②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.④、⑤