自动控制原理 第四章 根轨迹法

第四章根轨迹法§4-1根轨迹§4-2绘制系统根轨迹的基本法则§4-3广义根轨迹小结4-1根轨迹4.1.1根轨迹的基本概念

反馈控制系统的性质取决于闭环传递函数。只要求解出闭环系统的特征根，系统响应的变化规律就知道了。但是对于3阶以上的系统求根比较困难。如果系统中有一个可变参数时，求根就更困难了。

1948年，伊文思（W.R.Evans）提出了一种确定系统闭环特征根的图解法——根轨迹法。

在已知开环传函，即已知开环零极点分布的基础上，当某些参数变化时，利用该图解法就可以非常方便的确定闭环极点。

定义：当系统开环传递函数中某一参数从0时，闭环系统特征根在s平面上的变化轨迹，就称作系统根轨迹。一般取开环传递系数（根轨迹增益Kg）作为可变参数。式中，K为系统的开环比例系数。Kg

=2K称为系统的开环根轨迹增益。系统的闭环传递函数为：举例说明：已知系统的结构图，分析0<K<

，闭环特征根在s平面上的移动路径及其特征。

Ks(0.5s+1)﹣+R(s)C(s)

解：系统的开环传递函数为一定要写成零极点表达式

系统的闭环特征方程为：s2+2s+Kg

=0

可求得闭环特征根为：(1)Kg=0：s1=0,s2=2,是根迹的起点(开环极点),用“”表示。2

j

01(2)0<Kg<1：s1，s2均是负实数。Kgs1，s2。

s1从坐标原点开始沿负实轴向左移动；s2从（2，j0）点开始沿负实轴向右移动。(3)

Kg=1：s1=s2=1，重根。闭环特征根s1，s2是Kg的函数，

随着Kg的改变而变化。(4)

Kg>1：Kg=0s1Kg=0s2Kg=1KgKg

根据2阶系统根轨迹的特点，可以推得n阶系统，会有如下的结论：（1）n阶系统有n个根，根轨迹有n条分支；（2）每条分支的起点(Kg=0)位于开环极点处；（3）各分支的终点(Kg)或为开环零点处或为无限点；（4）重根点，称为分离点或汇合点。2

j

01Kg=0Kg=0Kg=1KgKg4.1.2

根轨迹与系统性能1.稳定性当Kg从0时，图中的根轨迹不会越过虚轴进入s右半平面，因此二阶系统对所有的Kg值都是稳定的。高阶系统的根轨迹有可能会进入s右半平面，如图所示。此时根迹与虚轴交点处的Kg值，称为临界开环增益。下图中临界Kg=30，只有当0<Kg<30时系统才是稳定的。

2

j

01Kg=0Kg=0Kg=1KgKgKg=302.稳态性能开环系统在坐标原点有一个极点，系统属于I型系统，因而根迹上的K

值就是静态速度误差系数Kv。如果给定系统ess

的要求，则由根迹图可以确定闭环极点位置的容许范围。2

j

01Kg=0Kg=0Kg=1KgKg3.动态性能

由图可见，当0<Kg<1时，闭环极点均位于负实轴上，系统为过阻尼系统，单位阶跃响应为非周期过程。

当Kg=1时，闭环两个实极点重合，系统为临界阻尼系统，单位阶跃响应为非周期过程。当Kg>1时，闭环极点为一对共轭复数极点，系统为欠阻尼系统，单位阶跃响应为阻尼振荡过程。Kgp%，但是ts不变。Why？

因此，根轨迹和系统性能之间有密切的关系，根据根轨迹可以对系统性能进行分析。然而，对于高阶系统来说采用解析的办法绘制根轨迹图是不现实的，必须采用简易的方法。4.1.3根轨迹方程

研究下图所示反馈控制系统的一般结构。系统的闭环传递函数为G(s)R(s)C(s)±+H(s)该系统的闭环特征方程为:D(s)=1±

G(s)H(s)=0或G(s)H(s)=±1若将系统的开环传递函数G(s)H(s)写成如下形式：一定要写成零极点表达式

式中Kg为系统的根迹增益，zi为系统的开环零点，pj为系统的开环极点。闭环特征方程又可写为：

“-”号，对应负反馈，“+”号对应正反馈。由于满足上式的任何s都是系统的闭环极点，所以当系统的结构参数，如Kg在某一范围内连续变化时，由上式制约的s在s平面上描画的轨迹就是系统的根轨迹。因此上式称之为系统的根轨迹方程。根轨迹的幅值方程：根轨迹的幅角方程：式中，k=0，±1，±2，…（全部整数）。（1）通常称为180

根轨迹(负反馈)；（2）称作0根轨迹(正反馈和非对小相位系统—广义根轨迹)。

根据这两个条件，可完全确定s平面上根轨迹及根轨迹上任一点对应的Kg值。幅角条件是确定s平面上根轨迹的充要条件，因此，绘制根轨迹时，只需要使用幅角条件；而当需要确定根轨迹上各点的Kg值时，才使用幅值条件。“-”号，对应负反馈“+”号对应正反馈按幅角条件和幅值条件绘制系统的闭环根轨迹图及求Kg的方法。已知负反馈系统开环零极点分布如图示。p2p3

j

0p1z1s11123

在s平面找一点s1

，画出各开环零、极点到s1点的向量。

检验s1是否满足幅角条件：(s1z1)[(s1p1)+(s1p2)+(s1p3)]=1

123=(2k+1)？？

如果s1点满足幅角条件，则是根轨迹上的一点。寻找在s平面内满足幅角条件的所有s1点，将这些点连成光滑曲线，即是闭环系统根轨迹。反过来，如果s1是根轨迹上的点，则与这一点对应的Kg按幅值条件确定。

例2：单位反馈系统的

用根轨迹法在s平面上找到闭环极点。解:p1=0，p2=-1，没有零点，用试探法：j0-110.5-0.5–0.5–1–1.50.5p1p2s11）在[0，1]间任取一点s1，

∴s1在根轨迹上。2）在[-1，-∞]间任取一点s2，

s2∴s2不在根轨迹上。j0-110.5-0.5–0.5–1–1.50.5p1p2s1s23）在[0，∞]间任取一点s3，s3∴s3

不在根轨迹上。4）在复平面上取一点s4=-0.5+j，s4∴s4

在根轨迹上。j0-110.5-0.5–0.5–1–1.50.5p1p2s1s2s3s45）取一点s5∴s5不在根轨迹上。

在1948年，伊文思（W.R.Evans）提出了用图解法绘制根迹的一些基本法则，可以迅速绘制闭环系统的根轨迹草图，在根轨迹草图的基础上，必要时可用幅角条件使其精确化，从而使整个根规迹的绘制过程大为简化。4.2绘制根轨迹的基本法则180º根轨迹的幅值方程：根轨迹的幅角方程：

在本节的讨论中，假定系统变化的参数是开环根轨迹增益Kg(>0)，这种180º根轨迹习惯上称之为常规根轨迹。

Kg<0(正反馈和最小相位系统)和其它参数变化时的根轨迹（广义根轨迹）在后几节讨论。4.2.1绘制常规根轨迹的基本法则对于闭环系统,如果它的开环传递函数极点或零点的实部小于或等于零,则称它是最小相位系统.如果开环传递函中有正实部的零点或极点,或有延迟环节,则称系统是非最小相位系统【法则1】

根轨迹的起点和终点

根轨迹起始于系统开环极点，终止于系统开环零点。根轨迹上Kg=0的点为起点，Kg时的点为终点。1+G(s)H(s)=0证明：

当Kg=0时，有

s=pj(j=1,2,…,n)

上式说明Kg=0时，闭环特征方程的根就是开环极点。

当Kg时，有

s=zi(i=1,2,…,m)

所以根轨迹必终止于开环零点。在实际系统中，开环传函中mn，有m条根轨迹终点为开环零点处，另有nm条根轨迹的终点将在无穷远处，可以认为有nm

个无穷远处的开环零点。将特征方程改写为：

由于闭环特征根是实数或者共轭复数，因此根轨迹是关于实轴对称的。利用这一性质，只要绘制出实轴上部的根轨迹，实轴下部的根轨迹可由对称性绘出。n阶系统，其闭环特征方程有n个根。当Kg从0连续变化时，n个根将绘出有n条轨迹分支。因此根轨迹的条数或分支数等于其闭环特征根的个数，即系统的阶数。【法则2】

根轨迹的分支数、对称性和连续性0j

0jKgKgKg0

j

0

j-1-2j1

由于闭环特征根是实数或者共轭复数，因此根轨迹是关于实轴对称的。利用这一性质，只要绘制出实轴上部的根轨迹，实轴下部的根轨迹可由对称性绘出。n阶系统，其闭环特征方程有n个根。当Kg从0连续变化时，n个根将绘出有n条轨迹分支。因此根轨迹的条数或分支数等于其闭环特征根的个数，即系统的阶数。【法则2】

根轨迹的分支数、对称性和连续性

由于根轨迹增益是连续的，根也是连续的，根轨迹当然也是连续的。利用这一性质，只要精确画出几个特征点，描点连线即可画出整个根轨迹。【法则3】

根轨迹的渐近线

根据法则1，当开环传递函数中m<n时，将有nm条根轨迹分支沿着与实轴夹角为a，交点为a的一组渐近线趋于无穷远处，且有：(k=0,1,…,nm1)

0jKgKgKg0

j

【法则4】根轨迹在实轴上的分布

实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。“奇是偶不是”证明：设零、极点分布如图示：p2p3

j

0p1z1s111=023

在实轴上取一测试点s1

。

由图可见，复数共轭极点到实轴s1点的向量幅角和为2，复数共轭零点亦是如此。因此在确定实轴上的根轨迹时，可以不考虑复数零、极点的影响。

s1点左边开环实数零、极点到s1点的向量幅角均为零，也不影响实轴上根轨迹的幅角条件。而s1点右边开环实数零、极点到s1点的向量幅角为。如果s1是根轨迹上的点，则只有当零极点数目之和为奇数时，才满足幅角条件：ji

=(2k+1)即如果s1所在的区域为根轨迹，其右边开环实数零、极点个数之和必须为奇数。p2p3

j

0p1z1s111=023例4-1

设某负反馈系统的开环传递函数为试确定系统根轨迹条数、起点和终点、渐近线及根轨迹在实轴上的分布。

解：开环极点p1=0、p2=1、p3=5。系统的根轨迹有三条分支，分别起始于系统的三个有限的开环极点，由于不存在有限的开环零点，当Kg时，沿着三条渐近线趋向无穷远处；三条渐近线在实轴上的交点0

j

实轴上的根轨迹分布在(0，1)和(5，)的实轴段上。60三条渐近线与正实轴上间的夹角：-2

1948年，伊文思（W.R.Evans）提出了一种确定系统闭环特征根的图解法——根轨迹法。

在已知开环零极点分布的基础上(开环传函)，当某些参数变化时，利用根轨迹法求闭环系统的特征根。

定义：当系统开环传递函数中某一参数从0时，闭环系统特征根在s平面上的变化轨迹，就称作系统根轨迹。一般取开环传递系数（根轨迹增益Kg）作为可变参数。一般把哪个参数作为可变参数？参数怎么变化？180º根轨迹的幅值方程：根轨迹的幅角方程：根轨迹方程：S代表什么？用试探法画根轨迹图绘制根轨迹的法则法则4

渐近线法则1

根轨迹的起点和终点法则2

根轨迹的分支数，对称性和连续性法则3

实轴上的根轨迹法则5

分离点分离点的性质：

1）分离点是系统闭环重根；

2）由于根轨迹是对称的，所以分离点或位于实轴上，或以共轭形式成对出现在复平面上；

3）实轴上相邻两个开环零（极）点之间（其中之一可为无穷零（极）点）若为根轨迹，则必有一个分离点；

4）在一个开环零点和一个开环极点之间若有根轨迹，该段无分离点或分离点成对出现。

j

0【法则5】根轨迹分离点（会合点）

两条或两条以上的根轨迹在s平面上相遇后立即分开的点，称为根轨迹的分离点(会合点)。0

jz1j1Ap1p2KgKgKg=0Kg=0分离点的性质：

1）分离点是系统闭环重根；

2）由于根轨迹是对称的，所以分离点或位于实轴上，或以共轭形式成对出现在复平面上；

3）实轴上相邻两个开环零（极）点之间（其中之一可为无穷零（极）点）若为根轨迹，则必有一个分离点；

4）在一个开环零点和一个开环极点之间若有根轨迹，该段无分离点或分离点成对出现。

j

0

证明：根轨迹在s平面上相遇，说明闭环特征方程有重根出现，设s=d处为分离点。确定分离点位置的方法（需验证）：式中，zi

、pj

是系统的有限开环零点和开环极点。

分离点上，根轨迹的切线与正实轴的夹角称为根轨迹的分离角，用下式计算：k为分离点处根轨迹的分支数。公式法设分离点的坐标为d，则d满足如下公式：牢记！[证毕]例4-2

求例4-1系统根轨迹的分离点。

解：根据例4-1，系统实轴上的根轨迹段（1，0），位于两个开环极点之间，该轨迹段上必然存在根轨迹的分离点。设分离点的坐标为d，则注：若没有开环零点，应取：3d2+12d+5=0

d1=0.472d2=

3.53(不在根轨迹上，舍去，也可代入幅值方程看Kg>0否？)分离点上根轨迹的分离角为±90°。0j

如果方程的阶次高时，可用试探法确定分离点。d1=0.472

例4-3

已知系统开环传函为试绘制系统的根轨迹。解：0jd=2.5左=0.67右=0.4d=2.01左=0.99右=99.49d=2.25左=0.8右=3.11d=2.47左=0.68右=0.65d=2.47【法则6】

根轨迹的起始角(出射角)与终止角(入射角)根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴方向的夹角，称为出射角(起始角)，用

根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴方向的夹角，称为入射角(终止角)，用

表示；求出这些角度可按如下关系表示。“π加零去余极”“π加极去余零”0

jz1j1Ap1p2KgKgKg=0Kg=0pxPx+1

j

0s1

由于s1无限接近px，因此，除px外，所有其它开环零、极点到s1点的向量幅角，都可以用它们到px的向量幅角来代替，而px到s1点的向量幅角即为起始角。根据s1点必满足幅角条件，应有移项后，立即得到法则中的公式。

[证毕]

证明：设开环系统有一对共轭复数极点px,x+1

。在十分靠近待求起始角的复数极点px的根轨迹上取一点s1

。0

j-1-2j1试绘制出系统的根轨迹。解：例4-4

设负反馈系统的开环传递函数为起始角与终止角123132=180+1+2+31

23=180+56.5+19+59

108.5

37

90=790

j-1-2j1=180

117

90+153+63.5+119+121=149.5【法则7】根轨迹与虚轴交点若根轨迹与虚轴相交（临界稳定状态），则交点上的坐标（包括闭环极点和临界增益）可按下述两种方法求出：

方法一：在系统的闭环特征方程D(s)=0中，令s=jω，D(jω)=0的解即是交点坐标。

方法二：由劳斯稳定判据求出。例4-5

求例4-1系统的根轨迹与s平面虚轴的交点的交点坐标。解：方法一：s3+6s2+5s+Kg=0令s=jω，则

(jω)3+6(jω)2+5(jω)+Kg=0ω3+5ω=06ω2+Kg=0Kg=0(起点，舍去)，Kg=30方法二：s3+6s2+5s+Kg=0劳斯表为s315s26Kgs1(30

Kg)/6s0Kg

当Kg=30时，s1行全零，劳斯表第一列不变号，系统存在共轭虚根。共轭虚根可由s2行的辅助方程求出：

6s2+Kg=0(jω)3+6(jω)2+5(jω)+Kg=0

0

d=0.472

0

j

d=0.472

Kg=30KgKgKgj2.24Kg=30试绘制出系统的根轨迹。解：三个开环极点

p1=0、p2,3=1±j

渐近线：

3条0

j例4-6设负反馈系统的开环传递函数为

根轨迹与虚轴交点：系统的闭环特征方程为

s3+2s2+2s+Kg=0

劳斯表s312s22Kgs1(4

Kg)/2s0Kg

令s1系数为0，得Kg=4代入辅助方程2s2+Kg=0

实轴上根轨迹：(，0)，即整个负实轴。起始角：绘制出系统根轨迹如图所示。0

j12KgKgKgj1.414Kg=4-45°[法则8]根之和绘制根轨迹，或利用根轨迹进行系统性能分析时，可利用该法则。若开环传函分母阶次n比分子阶次m高2次或2次以上，即nm

2，则系统闭环极点之和等于其开环极点之和=常数。证明：式中(韦达定理)根据高阶方程系数与根的关系式，若nm

2，则

利用上述基本法则，可以迅速绘制闭环系统的根轨迹草图，对需要准确绘制的根轨迹，可根据幅角方程条件使其精确化，一般而言，靠近虚轴或原点附近的根轨迹对分析系统的性能至关重要，应尽可能的准确绘制。总结见P145表4-1[证毕]

-a1称为系统闭环极点或开环极点的重心。表明当Kg变化时，一些根增大时，另一些必然减小；即一些根轨迹右行，一些必然左行，重心保持不变。因此：

1）根的分量之和是一个与Kg无关的常数；

2）各分支要保持总和平衡，走向左右对称。绘制根轨迹法则小结法则5

渐近线法则1

根轨迹的起点和终点法则2

根轨迹的分支数，对称性和连续性法则3

实轴上的根轨迹法则4

根之和法则6

分离点法则7

与虚轴交点法则8

出射角/入射角试绘制出系统的根轨迹。

解：例4-7

设负反馈系统的开环传递函数为一定要写成零极点表达式0

j-1-2j1d=0.59(舍去)

d=3.41

结论：由两个极点和一个有限零点组成的开环系统，只要有限零点没有位于两个实数极点之间，当K从0时，闭环根轨迹的复数部分，是以有限零点为圆心，以有限零点到分离点为半径的一个圆，或圆的一部分。d要求：1）试绘制系统的根轨迹，并讨论系统的稳定性。

2）如果改变反馈通路传递函数，使H(s)=1+2s，讨论H(s)的变化对系统稳定性的影响。解：1）

例4-8设单位负反馈系统的开环传递函数为渐近线：a=(0+0

25)/4=

7/4

a=(2k+1)/4=45,1350

j-1-4-2

j1与虚轴交点：s4+7s3

+10s2+K=0

特征方程式中s1缺项，系统不稳定。可求得：与虚轴的交点：Kg=0,s=0，即坐标原点。分离点：4d2+21d+20=0d=4d=1.25(舍去)实轴上的根迹：[52]渐近线：3条a=[(0+0

25)(0.5)]/3=2.17

a=(2k+1)/3=60,1802)实轴上的根迹：[-2,0.5][-,-5]0

j-1-5-2j2.55

K=22.75可由劳斯判据求得：与虚轴的交点：K=22.75,s=j2.55。s4110Ks372Ks2(702K)/7Ks1K(914K)/(702K)s0K要使系统稳定

：

702K>0914K>0K>0求得：0<K<22.75当K=22.75时，系统临界稳定。

[(702K)/7]s2

+

K=0s=j2.55与虚轴交点：

s4+7s3

+10s2+2Ks+K=0

劳斯表0

j-1-5-2j2.55K=22.750

j-1-4-2

j1

当H(s)=1+2s时（微分负反馈），使系统由结构不稳定变为条件稳定的系统，改善了系统的稳定性。

0

j-1-4-2

j1试绘制出系统的根轨迹。解：

例4-9

设负反馈系统的开环传递函数为渐近线：a=2

a=45,135分离点：d=2

d=2j2.45与虚轴交点：Kg=260s=j3.164.3.10根轨迹若系统为正反馈，则其特征方程式为

D(s)=1

G(s)H(s)=0或此时的根轨迹称为0根轨迹。4.3广义根轨迹根轨迹的幅角方程：根轨迹的幅值方程：

显然0根轨迹的幅值方程与180根轨迹的完全相同，只是幅角相差一个π，因此只要把180根轨迹法则中，与幅角相关的项进行修正，即可获得绘制0根轨迹的基本法则。【法则1】

根轨迹的起点(Kg=0)和终点(Kg)

：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。【法则2】

根轨迹的分支数、连续性和对称性：系统根轨迹的分支数为n，根轨迹是连续的并且对称于实轴。绘制0根轨迹的基本法则如下：【法则3】

根轨迹的渐近线当开环传函中m<n时，有nm条根轨迹分支沿着与实轴夹角为a，交点为a的一组渐近线趋于无穷远处，且有：(k=0,1,…,nm1)【法则4】实轴上的根轨迹实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数之和为偶数，则该区域必是根轨迹。“偶是奇不是”【法则5】根轨迹分离点或会合点同180根轨迹【法则6】

根轨迹的出射角与入射角“0加零去余极”“0加极去余零”【法则7】根轨迹与虚轴交点的确定方法同180根轨但要注意：D(s)=1-G(s)H(s)=0

若根轨迹与虚轴相交，则交点上的坐标可按下述两种方法求出：

方法一：在系统的闭环特征方程D(s)

=

0中，令s=jω，D(jω)=0的解即是交点坐标。方法二：由劳斯稳定判据求出。【法则8】根之和

若开环传函分母阶次n比分子阶次m高2次或2次以上，即nm

2，则系统闭环极点之和等于其开环极点之和。

1）根的分量之和是一个与Kg无关的常数；

2）各分支要保持总和平衡，走向左右对称。例4-10设单位正反馈系统的开环传递函数，绘制根轨迹。解：最小相位系统，正反馈，按0根轨迹的法则绘制。有2个开环极点：-2，-4；1个开环零点：-1。m=1,n=2

根据法则1：根轨迹有2条分支，起始于2个极点，1条终止于开环零点，1条终止于无穷远处。根据法则2：根轨迹是关于实轴对称的连续曲线。根据法则3，根轨迹有1条渐近线。0

j-1-2Aj1.414-4d2d1根据法则4和5，实轴上的根轨迹为存在2个分离点，由下式求得分离角＝±90°根据法则7，求根轨迹与虚轴的交点0

j-1-2Aj1.414-4d2d1

根据上述结论，可绘制出根轨迹如图所示，箭头为kg增大的方向。

结论：由两个极点和一个有限零点组成的开环系统，只要有限零点没有位于两个实数极点之间，当K从0时，闭环根轨迹的复数部分，是以有限零点为圆心，以有限零点到分离点为半径的一个圆，或圆的一部分。当Kg

<6时，正反馈闭环系统是稳定的。如果此系统为负反馈系统，则系统总是稳定的。4.3.2参变量系统的根轨迹设系统的开环传递函数为G(s)H(s)=GH(s,A)

式中A为系统Kg以外的参变量。则系统的闭环特征方程为D(s)=1+G(s)H(s)=1+GH(s,A)=0进行有效变换，可整理为

式中，GH’(s)为等效系统的开环传递函数。根轨迹化为常规根轨迹。例4-11

已知某负反馈系统的开环传递函数为试绘制参数a从零变化到正无穷时，闭环系统的根轨迹。解:系统的闭环特征方程为s3

+s2+0.25s+0.25a=0于是，等效系统开环传递函数为把a视为根迹增益，可绘制出a变化时系统的常规根轨迹。0

j0.51渐近线：σa=1/3a=π/3，5π/3，π。根轨迹与虚轴的交点:a=1s=j/2a

j0.5a

=1分离点：

d1=1/6,d2=1/2。a试确定系统根轨迹的类型。

解：系统(1)和系统(2)都在s平面右半部具有一个开环零点z=1。所以，系统均属非最小相位系统。4.3.3非最小相位系统的根轨迹

在s平面右半部具有开环零点和（或）极点的反馈系统称为非最小相位系统。绘制方法同最小相位系统，但必须将开环传递函数整理成标准形式，然后根据根轨迹方程才能确定按180根轨迹还是0根轨迹的法则绘制。例4-12设负反馈系统的开环传递函数为其根轨迹方程为可按180º根轨迹的基本法则绘制系统的根轨迹。对系统(2)，其闭环特征方程为此时按0º根轨迹的基本法则绘制系统的根轨迹。对系统(1)，其闭环特征方程为4.3.4.开环零、极点的分布对系统性能的影响

试绘制如下几种情况下Kg从零连续变化到无穷大时系统的根轨迹：（1）b→∞,a为有限量；（2）b>a；（3）b=a

（4）b<a;（5）b=0，a为有限量。1.开环零点对根轨迹的影响

例4-13设单位负反馈系统的开环传递函数为解：（1）b→∞,a为有限量时，系统的等效开环传递函数为

起始于坐标原点的两条根轨迹始终位于右半s平面，系统结构不稳定。0

jaa/3相当于没有零点！

（2）b>a时，起始于坐标原点的两条根轨迹的渐近线位于右半s平面，系统结构不稳定。0

ja(ba)/20

jb

（3）b=a时，起始于坐标原点的两条根轨迹为与虚轴上，系统临界稳定。p=-a和z=-b构成开环偶极子。

j0

jb=-a

（4）b<a时，起始于坐标原点的两条根轨迹的渐近线位于左半s平面，系统结构稳定。0

ja(ba)/20

jb

（5）b=0，a为有限量时，系统为没有开环零点的二阶系统，结构稳定。

j0

j-a-a/2

从上例可以看出，增加一个开环零点对系统的根轨迹有如下影响：（1）改变了实轴上根轨迹的分布。零点越靠近虚轴影响越大（2）改变了根轨迹渐近线的条数、与实轴交点的坐标及夹角的大小。（3）使系统的根轨迹向左偏移。提高了系统的稳定度，有利于改善系统的动态特性。（4）开环零点和极点重合或相近时，二者构成开环偶极子,抵消有损系统性能的极点对系统的不利影响。

2.开环极点对根轨迹的影响增加一个开环极点对系统的根轨迹有如下影响：（1）改变了实轴上根轨迹的分布。（2）改变了根轨迹渐近线的条数、与实轴交点的坐标及夹角的大小。（3）使系统的根轨迹向右偏移。降低了系统的稳定度，有损于系统的动态特性，使得