高中数学苏教版1第2章圆锥曲线与方程2．1圆锥曲线 第2章2

圆锥曲线1．了解椭圆、双曲线和抛物线的定义和几何图形．(重点)2．了解圆锥曲线特别是双曲线的形成过程．(难点)3．椭圆定义与双曲线定义的区别．(易混点)[基础·初探]教材整理圆锥曲线阅读教材P27～P28例1以上内容，完成下列问题．1．用平面截圆锥面能得到的曲线图形是两条相交直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线．2．设P为相应曲线上任意一点，常数为2a(a定义(自然语言)数学语言椭圆平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆．两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距PF1＋PF2＝2a＞F1双曲线平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距|PF1－PF2|＝2a＜F1抛物线平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线PF＝d，其中d为点P到l的距离判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到两定点F1(－5,0)，F2(5,0)的距离之和为10的动点的轨迹是椭圆．()(2)在双曲线定义中，若去掉“绝对值”，其轨迹不是双曲线．()(3)在抛物线定义中，“F不在l上”可以省略．()(4)在椭圆、双曲线、抛物线的定义中“平面内”这一条件都不能丢掉，否则动点的轨迹就是空间图形．()【解析】(1)×.因为|F1F2|＝10，所以动点轨迹是线段F1F2，不是椭圆，故不正确．(2)√.双曲线定义中，若去掉“绝对值”，其轨迹是双曲线的一支，不是双曲线，故正确．(3)×.抛物线定义中，“F不在l上”不能省略，因为F在l上时，轨迹是一条直线，故不正确．(4)√.圆锥曲线是平面图形，因此是正确的．【答案】(1)×(2)√(3)×(4)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]椭圆的定义及应用(1)在△ABC中，B，C是两个定点，sinB＋sinC＝2sinA，试确定顶点A的轨迹；(2)已知F1，F2为椭圆的两焦点，直线AB过点F1，若椭圆上任一点P满足PF1＋PF2＝5，求△ABF2的周长．【精彩点拨】(1)利用正弦定理转化为边之间的关系，结合椭圆的定义求解；(2)利用椭圆的定义，把△ABF2的周长分解为点A和点B到焦点的距离之和．【自主解答】(1)∵sinB＋sinC＝2sinA，由正弦定理可得AC＋AB＝2BC＞BC，又∵B，C是两个定点，由椭圆的定义可知，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆(除去与B，C所在同一直线的两个定点)．(2)由椭圆的定义可知，AF1＋AF2＝BF1＋BF2＝PF1＋PF2＝5，∴△ABF2的周长为AB＋AF2＋BF2＝(AF1＋AF2)＋(BF1＋BF2)＝5＋5＝10.椭圆定义的应用方法1．判定动点P的轨迹为椭圆，关键分析两点：(1)点P到两定点的距离之和是否为常数，(2)该常数是否大于两定点之间的距离．2．判定点的轨迹时，应注意对个别点进行检验，如本例(1)中，因为△ABC三顶点不共线，所以应去掉直线BC与椭圆的两个交点．3．若已知某点在椭圆上时，要应用椭圆的定义PF1＋PF2＝2a[再练一题]1．命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和PA＋PB＝2a(a>0，a为常数)；命题乙：P【解析】根据椭圆的定义，应填必要不充分．【答案】必要不充分双曲线的定义及应用已知点P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各条件下点P的轨迹是什么图形？(1)|eq\r(x＋52＋y2)－eq\r(x－52＋y2)|＝6；(2)eq\r(x＋42＋y2)－eq\r(x－42＋y2)＝6.【精彩点拨】把代数方程转化为几何问题解决，严格扣准双曲线的定义．【自主解答】(1)∵|eq\r(x＋52＋y2)－eq\r(x－52＋y2)|表示点P(x，y)到两定点F1(－5,0)，F2(5,0)的距离之差的绝对值，|F1F2|＝10，∴||PF1|－|PF2||＝6<|F1F2|，故点P的轨迹是双曲线．(2)∵eq\r(x＋42＋y2)－eq\r(x－42＋y2)表示点P(x，y)到两定点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离之差，|F1F2|＝8，∴|PF1|－|PF2|＝6<|F1F2|，故点P的轨迹是双曲线的右支．在双曲线的定义中，注意三个关键点：①在平面内；②差的绝对值；③定值且定值小于两定点间距.在这三个条件中，缺少一个条件，其动点轨迹也不是双曲线.[再练一题]2．已知A(0，－5)，B(0,5)，若|PA|－|PB|＝6，则P点的轨迹为________，若|PA|－|PB|＝10，则P点的轨迹为________.【导学号：09390018】【解析】∵|PA|－|PB|＝6<10时，∴P的轨迹为双曲线的一支．又∵|PA|－|PB|＝10且|AB|＝10，∴P的轨迹为射线，是以B为端点向上的一条射线．【答案】双曲线的一支一条射线抛物线的定义及应用已知动点M(x，y)满足|3x＋4y＋1|＝5eq\r(x－12＋y－22)，试判断动点M的轨迹．【精彩点拨】把条件式化为点M到点(1,2)与点M到直线3x＋4y＋1＝0的距离相等，利用抛物线的定义求解．【自主解答】选定直线l：3x＋4y＋1＝0，定点F(1,2)，则M到l的距离为d＝eq\f(|3x＋4y＋1|,5)，MF＝eq\r(x－12＋y－22).由题意知d＝MF，且F∉l，由抛物线定义知，M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线．抛物线定义的应用方法1．涉及点线距、两点间距离的轨迹问题，要充分联想抛物线的定义，判别动点的轨迹．2．应用抛物线的定义判定动点的轨迹，关键是看动点到定点与到定直线的距离是否相等，并且注意定点不在定直线上．3．若已知某点在抛物线上，则该点到抛物线焦点的距离与该点到抛物线准线的距离相等．[再练一题]3．点P到点F(4,0)的距离比它到直线l：x＝－6的距离小2，则点P的轨迹为________．【解析】由题意可知，点P到F(4,0)的距离与到直线x＝－4的距离相等．根据抛物线的定义知，点P的轨迹为抛物线．【答案】抛物线[探究共研型]如何区分椭圆与双曲线探究1已知F1(－2,0)，F2(2,0)，若PF1＋PF2＝6时，点P的轨迹是什么？若|PF1－PF2|＝2时，点P的轨迹是什么？【提示】若PF1＋PF2＝6>4，则P的轨迹为椭圆；若|PF1－PF2|＝2<4，则P的轨迹为双曲线．理解椭圆关注几个词：“和”“定值”“大于焦距”；理解双曲线关注几个词：“差”“绝对值”“定值”“小于焦距”．探究2抛物线的定义应注意什么？定点为F(2,0)，定直线为x＝－2时，动点P到F的距离与到直线x＝－2的距离相等，动点P的轨迹是什么？【提示】在抛物线定义中，要特别注意：①在平面内；②到定点距离等于到定直线距离；③定点不在定直线上．因为(2,0)不在直线x＝－2上，所以点P的轨迹为抛物线．已知圆C1：(x＋2)2＋y2＝1和圆C2：(x－2)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹．【精彩点拨】根据M到C1，C2的距离的关系，扣住圆锥曲线的定义．【自主解答】由已知得，圆C1的圆心C1(－2,0)，半径r1＝1，圆C2的圆心C2(2,0)，半径r2＝3.设动圆M的半径为r，因为动圆M与圆C1相外切，所以MC1＝r＋1.①又因为动圆M与圆C2相外切，所以MC2＝r＋3.②②－①得MC2－MC1＝2，且2<C1C2＝4.所以动圆圆心M的轨迹为双曲线的左支，且除去点(－1,0)．设动圆半径为r，利用动圆M同时与圆C1及圆C2相外切得两个等式，相减后消去r，得到点M的关系式.注意到MC2－MC1＝2中没有绝对值，所以轨迹是双曲线的一支，又因为圆C1与圆C2相切于点－1，0，所以M的轨迹不过点－1，0.[再练一题]4．已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内有一定点B(3,0)，动圆M过B点且与圆A内切，求证：圆心M的轨迹是椭圆.【导学号：09390019】【证明】设MB＝r.∵圆M与圆A内切，圆A的半径为10，∴两圆的圆心距MA＝10－r，即MA＋MB＝10(大于AB)，∴圆心M的轨迹是以A，B两点为焦点的椭圆．[构建·体系]1．已知F1(－2,0)，F2(2,0)，动点P满足PF1＋PF2＝6，则点P的轨迹是________．【解析】∵PF1＋PF2＝6＞F1F2，∴点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆．【答案】以F1，F2为焦点的椭圆2．已知抛物线上一点P到焦点F的距离为eq\f(3,2)，则点P到抛物线准线的距离为________．【解析】根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离与它到准线的距离相等，故点P到准线的距离为eq\f(3,2).【答案】eq\f(3,2)3．以F1，F2为焦点作椭圆，椭圆上一点P1到F1，F2的距离之和为10，椭圆上另一点P2满足P2F1＝P2F2，则P2【解析】由椭圆的定义可知P2F1＋P2F2＝10.又∵P2F1＝P2F2，∴P2F1＝5.【答案】54．已知M(－2,0)，N(2,0)，PM－PN＝3，则动点P的轨迹为________．【解析】∵MN＝4，PM－PN＝3<4，∴动点P的轨迹为双曲线的右支．【答案】双曲线的右支5．动点P(x，