高中数学人教A版第四章圆和方程 课时提升作业(二十六)

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(二十六)直线与圆的位置关系(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.直线x-y+1=0与圆(x+1)2+y2=1的位置关系是()A.相切B.直线过圆心C.直线不过圆心但与圆相交D.相离【解析】选B.圆(x+1)2+y2=1的圆心为(-1,0),点(-1,0)在直线x-y+1=0上,故选B.【补偿训练】直线3x+4y-5=0与圆2x2+2y2-4x-2y+1=0的位置关系是()A.相离B.相切C.相交且直线不过圆心D.相交且直线过圆心【解析】选D.圆2x2+2y2-4x-2y+1=0的圆心为1,122.若直线3x+4y+k=0与圆x2+y2-6x+5=0相切,则k的值等于()或-19 或-1或-19 或19【解析】选+y2-6x+5=0的圆心为(3,0),半径r=2,由题意得圆心到直线的距离d=3×3+0+k3.点M(x0,y0)是圆x2+y2=a2(a>0)内不为圆心的一点,则直线x0x+y0y=a2与该圆的位置关系是()A.相切 B.相交C.相离 D.相切或相交【解析】选在圆内,且不为圆心,则0<x02+y02<a2,则圆心到直线x0x+y0y=a2的距离为d=4.(2023·广东高考)平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是()+5=0或2x-y-5=0+y+5=0或2x+y-5=0+5=0或2x-y-5=0+y+5=0或2x+y-5=0【解析】选D.设所求切线方程为2x+y+c=0,依题有0+0+c22+12=5,【补偿训练】过点P(2,3)引圆x2+y2-2x+4y+4=0的切线,其方程是()=2+9=0+26=0=2和12x-5y-9=0【解析】选D.点P在圆外,故过P必有两条切线,所以选D.5.在平面直角坐标系xOy中,直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=4相交于A,B两点,则弦AB的长等于()3 3 C.3 【解析】选B.圆x2+y2=4的圆心为(0,0),半径为2,则圆心到直线3x+4y-5=0的距离为d=532+42=1.所以AB=2二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2023·遵义高一检测)已知直线5x+12y+m=0与圆x2-2x+y2=0相切,则m=.【解析】由题意,得圆心C(1,0),半径r=1,则5+m答案:8或-18【延伸探究】若本题中直线与圆相交,如何求m的范围?【解析】由题意,得圆心C(1,0),半径r=1,则5+m7.过点G(0,1)的直线与圆x2+y2=4相交于A,B两点,则|AB|的最小值为.【解析】当圆心到直线距离最大时,弦长最短,易知当圆心与定点G(0,1)的连线与直线AB垂直时,圆心到直线AB的距离取得最大值,即d=OG=1,此时弦长最短,即|AB|2≥R2-d2=答案:238.由直线y=x+1上的点向圆C:x2+y2-6x+8=0引切线,则切线长的最小值为.【解析】直线y=x+1上点P(x0,y0)到圆心C的距离PC与切线长d满足d=|PC|2-1=(x0答案:7三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2023·许昌高一检测)已知点P(x,y)是圆C:(x+2)2+y2=1上任意一点.求P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值.【解析】圆心C(-2,0)到直线3x+4y+12=0的距离为d=3×(-2)+4×0+1232+42=最小值为d-r=65-1=110.已知圆C:x2+y2-8y+12=0,直线l:ax+y+2a=0.(1)当a为何值时,直线l与圆C相切.(2)当直线l与圆C相交于A,B两点,且AB=22时,求直线l的方程.【解析】将圆C的方程x2+y2-8y+12=0配方得标准方程为x2+(y-4)2=4,则此圆的圆心为(0,4),半径为2.(1)若直线l与圆C相切,则有|4+2a|a2(2)过圆心C作CD⊥AB,则根据题意和圆的性质,得|解得a=-7或a=-1.故所求直线方程为7x-y+14=0或x-y+2=0.【拓展延伸】数形结合思想方法的应用数形结合是一种重要的解题思想方法,直线和圆的方程将数(方程)与形(直线或圆)有机地结合起来,因此常用直线与圆的图形解决一些代数问题.【补偿训练】求与直线x+2y-1=0切于点A(1,0),且过点B(2,-3)的圆的方程.【解析】设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心O的坐标为(a,b),半径为r.由直线x+2y-1=0与圆O相切,可得直线AO与x+2y-1=0垂直.因为x+2y-1=0的斜率为-12,所以直线AO的斜率k=2,即b把A的坐标代入圆的方程得(1-a)2+b2=r2,②把B的坐标代入圆的方程得(2-a)2+(-3-b)2=r2③联立①②③,解得a=0,b=-2,r=5,故所求圆的方程为x2+(y+2)2=5.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2023·恩施高一检测)已知点Ma,b在圆O:x2+y2A.相切 B.相交C.相离 D.不确定【解题指南】求出圆心到直线的距离,并结合点M在圆外判断与半径的关系,可得直线与圆的关系.【解析】选B.因为点M在圆外,得a2+b2>1,所以O到直线ax+by=1的距离d=1a2.(2023·山东高考)一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切则反射光线所在直线的斜率为()53或-35 3254或-45 43【解析】选D.反射光线过点(2,-3),设反射光线所在直线方程为y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0,反射光线与圆相切,圆心(-3,2)到直线的距离等于半径1,即-3k-2-2k-31+k2=1,解得k=-二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2023·哈尔滨高一检测)设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是.【解析】由题意画出图形如图,点M(x0,1),要使圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N,使得∠OMN=45°,而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值,此时MN=1,图中只有M′到M″之间的区域满足MN=1,所以x0的取值范围是[-1,1].答案:[-1,1]【补偿训练】设直线2x+3y+1=0和圆x2+y2-2x-3=0相交于点A,B,则弦AB的垂直平分线所在方程是.【解析】设与2x+3y+1=0垂直的直线方程是3x-2y+m=0.又因为直线过圆心(1,0),所以3×1-2×0+m=0,所以m=-3,即所求直线方程为3x-2y-3=0.答案:3x-2y-3=04.(2023·湖南高考)若直线3x-4y+5=0与圆x2+y2=r2(r>0)相交于A,B两点,且∠AOB=120°(O为坐标原点),则r=.【解析】如图,直线3x-4y+5=0与圆x2+y2=r2(r>0)交于A,B两点,O为坐标原点,且∠AOB=120°,则圆心(0,0)到直线3x-4y+5=0的距离为12r,即532答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2023·临川高一检测)设圆上的点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上,且圆与直线x-y+1=0相交的弦长为22,求圆的方程.【解析】设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.由已知可知,直线x+2y=0过圆心,则a+2b=0,①又点A在圆上,则(2-a)2+(3-b)2=r2,②因为直线x-y+1=0与圆相交的弦长为22.所以(2)2+a-b+112解由①②③所组成的方程组得a=6,b=-3,r2=52,或a=14,b=-7,r2【补偿训练】已知点M(3,1),圆C:(x-1)2+(y-2)2=4.(1)求过点M(3,1)的圆的切线方程.(2)若直线ax-y+4=0与圆相交于A,B两点,且弦AB的长为23,求a的值.【解析】(1)圆心C(1,2),半径为r=2,当直线的斜率不存在时,方程为x=3.由圆心C(1,2)到直线x=3的距离d=3-1=2=r知,此时,直线与圆相切.当直线的斜率存在时,设方程为y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0.由题意知k-2+1-3kk2所以方程为y-1=34故过M点的圆的切线方程为x=3或3x-4y-5=0.(2)因为圆心到直线ax-y+4=0的距离为a+2a2+1,所以a+26.(2023·潍坊高一检测)已知圆C:x2+(y-1)2=5,直线l:mx-y+1-m=0.(1)求证:对任意m∈R,直线l与圆C总有两个不同的交点.(2)设l与圆C交于A,B两点,若|AB|=17,求l的倾斜角.【解题指南】(1)直线l方程mx-y+1-m=0可得直线恒过定点且定点在圆内,由此证明直线与圆总有两个交点.(2)将直线方程与圆的方程联立,结合弦长|AB|=17,求出m的值,确定出直线相应的倾斜角.【解