高中数学人教A版第二章平面向量平面向量的实际背景及其基本概念 说课一等奖

课题名称：平面向量的实际背景及基本概念（1）课程模块及章节：第二章第一节备课时间：2023-2学科：数学备课组：高一数学主备教师：张国彪备课组长：龙清华组员：黄泽专、赵明烈、张秋花、邱建成、保德怀、龙清华、张国彪。教师二次备课教学背景分析向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具。向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，在数学和物理学中具有广泛的应用。理解向量的有关概念及向量的几何表示．(重点)理解共线向量、相等向量的概念．(难点)正确区分向量平行与直线平行．(易混点)教学目标1．知识与技能(1)了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示．(2)掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念．(3)学会区分平行向量、相等向量和共线向量．2．过程与方法通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别．3．情感、态度与价值观通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力．教学重点和难点重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量．难点：向量的概念，平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系．教学准备、教学资源和主要教学方法问题学习法、自主学习与合作探究相结合。教学过程教学环节教师为主的活动学生为主的活动设计意图导入新课【问题导思】1．在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？【提示】面积、质量只有大小，没有方向；而速度和位移既有大小又有方向．2．有向线段就是向量，向量就是有向线段，对吗？为什么？【提示】不对．有向线段是一个几何图形，具有起点、大小、方向三要素构成；而向量只有大小和方向两要素，因此二者是两个完全不同的概念．学生开始思考。创设情境，激发学生的求知欲。目标引领把目标板书在黑板的右上角，并引领学生进行解读。一起朗读目标。以目标引领学习的全过程。活动导学1．向量与数量。(1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量．(2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量．2．向量的几何表示。(1)带有方向的线段叫做有向线段．它包含三个要素：起点、方向、长度．(2)向量可以用有向线段表示，向量eq\o(AB,\s\up12(→))的大小也就是向量eq\o(AB,\s\up12(→))的长度(或称模)，记作|eq\o(AB,\s\up12(→))|.向量也可以用字母a、b、c…表示，也可以用有向线段的起点和终点字母表示，如eq\o(AB,\s\up12(→))、eq\o(CD,\s\up12(→)).【问题导思】零向量的方向是什么？两个单位向量的方向相同吗？【提示】零向量的方向是任意的．两个单位向量的方向不一定相同.名称定义零向量长度为0的向量，记作0单位向量长度等于1个单位的向量下列说法正确的有________．(1)若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；(2)向量eq\o(AB,\s\up12(→))与eq\o(CD,\s\up12(→))是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一条直线上；(3)向量eq\o(AB,\s\up12(→))与eq\o(BA,\s\up12(→))是平行向量；(4)任何两个单位向量都是相等向量．【思路探究】明确向量的有关概念，根据定义进行判定．【自主解答】(1)错误．由|a|＝|b|仅说明a与b模相等，但不能说明它们方向的关系．(2)错误．共线向量即平行向量，只要方向相同或相反，并不要求两个向量Aeq\o(B,\s\up12(→))、Ceq\o(D,\s\up12(→))必须在同一直线上，因此点A、B、C、D不一定在同一条直线上．(3)正确．向量Aeq\o(B,\s\up12(→))与Beq\o(A,\s\up12(→))是长度相等，方向相反的两个向量．(4)错误．单位向量不仅有长度，而且有方向；单位向量的方向不一定相同，而相等向量要求长度相等，方向相同．【答案】(3)1．单位向量、零向量是用向量的长度来定义的，共线向量是用表示向量的有向线段所在直线平行或重合来定义的．相等向量是用向量的长度和方向共同定义的．2．对于概念性题目，关键把握好概念的内涵与外延，正确理解向量共线、向量相等的概念，清楚它们的区别与联系．判断下列说法是否正确，并简要说明理由：(1)零向量只有大小没有方向；(2)相等向量一定是平行向量，平行向量不一定是相等向量；(3)若向量a与向量b同向，|a|＞|b|，则a＞b；(4)若a＝b，b＝c，则a＝c.【解】(1)不正确，零向量的长度为零，方向是任意的，并不是没有方向．(2)正确，相等向量的方向相同，因此必是平行向量，但平行向量的长度不一定相等，因此不一定是相等向量．(3)不正确，向量不能比较大小．(4)正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同；又∵b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.(1)已知B，C是线段AD的两个三等分点，分别以图中各点为起点和终点最多可以写出________个互不相等的非零向量．图2－1－1(2)某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向按东北方向走了10eq\r(2)米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．①作出向量eq\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(BC,\s\up12(→))，eq\o(CD,\s\up12(→)).②求eq\o(AD,\s\up12(→))的模．【思路探究】1.向量eq\o(BC,\s\up12(→))与eq\o(CB,\s\up12(→))是相等向量吗？可以从哪两个角度列出满足题意的向量？2．用有向线段表示向量时，向量的两个要素是如何表达出来的？【自主解答】(1)设线段AD的长度是3，则长度为1的向量有eq\o(AB,\s\up12(→))＝eq\o(BC,\s\up12(→))＝eq\o(CD,\s\up12(→))，eq\o(BA,\s\up12(→))＝eq\o(CB,\s\up12(→))＝eq\o(DC,\s\up12(→))，共2个互不相等的非零向量；长度为2的向量有eq\o(AC,\s\up12(→))＝eq\o(BD,\s\up12(→))，eq\o(CA,\s\up12(→))＝eq\o(DB,\s\up12(→))，共2个互不相等的非零向量；长度为3的向量有eq\o(AD,\s\up12(→))，eq\o(DA,\s\up12(→))，共2个互不相等的非零向量，综上知，最多可以写出6个互不相等的非零向量．【答案】6(2)①作出向量eq\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(BC,\s\up12(→))，eq\o(CD,\s\up12(→))，如图所示：②由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10eq\r(2)米，CD＝10米，所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝eq\r(52＋102)＝5eq\r(5)(米)．所以|eq\o(AD,\s\up12(→))|＝5eq\r(5)米．1．向量的两种表示方法(1)几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点．(2)字母表示法：为了便于运算可用字母a，b，c表示，为了联系平面几何中的图形性质，可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量，如eq\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(CD,\s\up12(→))，eq\o(EF,\s\up12(→))等．2．两种向量表示方法的作用(1)用几何表示法表示向量，便于用几何研究向量运算，为用向量处理几何问题打下了基础．(2)用字母表示法表示向量，便于向量的运算．在如图所示的坐标纸中每个小正方形的边长为1，用直尺和圆规画出下列向量：图2－1－2(1)|eq\o(OA,\s\up12(→))|＝3，点A在点O正东方向．(2)|eq\o(OB,\s\up12(→))|＝3，点B在点O正西方向．(3)|eq\o(OC,\s\up12(→))|＝4eq\r(2)，点C在点O东北方向．(4)|eq\o(OD,\s\up12(→))|＝2，点D在点O西南方向．【解】如图所示．学生带着问题去阅读课本。学生自己动手尝试。学生自己动手尝试。教师通过分析、讲解，帮助学生理解概念。通过例1来加深对“向量”的理解。通过两道变式，增强学生的理解与把握。当堂评价下列说法正确的个数是()①向量a，b共线，向量b，c共线，则a与c也共线；②任意两个相等的非零向量的起点与终点都分别重合；③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；④有相同起点的两个非零向量不平行．A．1B．2C．3D．4【错解】向量共线具有传递性，相等向量的各要素相同(包括起点、终点)，同起点共线向量不是平行向量．【答案】B或C或D【错因分析】对共线向量的概念理解不清，零向量与任一向量都是共线向量，共线向量也是平行向量，它与平面几何中的共线和平行不同．【防范措施】正确理解共线向量、相等向量以及非零向量的概念及其性质是关键．【正解】事实上，对于①，由于零向量与任意向量都共线，因此①不正确；对于②，由于向量都是自由向量，则两个相等向量的始点和终点不一定重合，故②不正确；对于④，向量的平行只与方向有关，而与起点是否相同无关，故④不正确；a与b不共线，则a与b都是非零向量，否则，不妨设a为零向量，则a与b共线，与a与b不共线矛盾，从而③正确．【答案】A学生合作交流。学生自己检测自己的学习效果。通过练习让学生巩固新知，达成目标。板书设计平面向量的实际背景及基本概念（1）物理背景:例学习目标向量的定义：变式练习1、……向量的表示：2、……教学反思课题名称：平面向量的实际背景及基本概念（2）课程模块及章节：第二章第一节备课时间：2023-2学科：数学备课组：高一数学主备教师：张国彪备课组长：龙清华组员：黄泽专、赵明烈、张秋花、邱建成、保德怀、龙清华、张国彪。教师二次备课教学背景分析向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具。向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，在数学和物理学中具有广泛的应用。理解向量的有关概念及向量的几何表示．(重点)理解共线向量、相等向量的概念．(难点)正确区分向量平行与直线平行．(易混点)教学目标1．知识与技能(1)了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示．(2)掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念．(3)学会区分平行向量、相等向量和共线向量．2．过程与方法通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别．3．情感、态度与价值观通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力．教学重点和难点重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量．难点：向量的概念，平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系．教学准备、教学资源和主要教学方法问题学习法、自主学习与合作探究相结合。教学过程教学环节教师为主的活动学生为主的活动设计意图导入新课1．向量与数量。(1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量．(2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量．2．向量的几何表示。(1)带有方向的线段叫做有向线段．它包含三个要素：起点、方向、长度．(2)向量可以用有向线段表示，向量eq\o(AB,\s\up12(→))的大小也就是向量eq\o(AB,\s\up12(→))的长度(或称模)，记作|eq\o(AB,\s\up12(→))|.向量也可以用字母a、b、c…表示，也可以用有向线段的起点和终点字母表示，如eq\o(AB,\s\up12(→))、eq\o(CD,\s\up12(→)).学生开始思考。创设情境，激发学生的求知欲。目标引领把目标板书在黑板的右上角，并引领学生进行解读。一起朗读目标。以目标引领学习的全过程。活动导学【问题导思】1．已知向量a是非零向量，则有a>0或a<0，这种说法对吗？【提示】错误，因为向量包含两个基本要素：模与方向．前一个要素模是数量，可以比较大小，而后一个要素方向是不能比较大小的，但可以说a≠0.2．向量平行与直线平行是一回事，对吗？为什么？【提示】不对，因为两个非零向量平行，只要表示两个向量的有向线段方向相同或相反即可，而有向线段所在的直线可能平行也可能重合．1．相等向量定义长度相等且方向相同的向量表示方法向量a与b相等，记作a＝b结论有向线段表示同一个向量的条件：长度相等、指向一致2．平行向量(也叫共线向量)定义方向相同或相反的非零向量表示方法向量a平行于向量b，记作a∥b规定零向量与任一向量平行例：如图，O是正六边形ABCDEF的中心，且Oeq\o(A,\s\up12(→))＝a，Oeq\o(B,\s\up12(→))＝b.图2－1－3(1)与a的模相等的向量有多少个？(2)与a的长度相等，方向相反的向量有哪些？(3)与a共线的向量有哪些？(4)请一一列出与a，b相等的向量．【思路探究】借助几何图形的性质及向量相关概念进行判断．【自主解答】(1)与a的模相等的向量有23个．(2)与a的长度相等且方向相反的向量有Oeq\o(D,\s\up12(→))，Beq\o(C,\s\up12(→))，Aeq\o(O,\s\up12(→))，Feq\o(E,\s\up12(→)).(3)与a共线的向量有Eeq\o(F,\s\up12(→))，Beq\o(C,\s\up12(→))，Oeq\o(D,\s\up12(→))，Feq\o(E,\s\up12(→))，Ceq\o(B,\s\up12(→))，Deq\o(O,\s\up12(→))，Aeq\o(O,\s\up12(→))，Deq\o(A,\s\up12(→))，Aeq\o(D,\s\up12(→)).(4)与a相等的向量有Eeq\o(F,\s\up12(→))，Deq\o(O,\s\up12(→))，Ceq\o(B,\s\up12(→))；与b相等的向量有Deq\o(C,\s\up12(→))，Eeq\o(O,\s\up12(→))，Feq\o(A,\s\up12(→)).1．寻找相等向量，先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线；寻找共线向量，先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量．2．向量的相关概念性质与几何知识交汇，要注意联系几何图形的相关性质，使向量与几何图形有机地结合起来．若将本例中的正六边形ABCDEF改为如图2－1－4所示的▱ABCD，则图2－1－4(1)与Oeq\o(A,\s\up12(→))的模相等的向量有多少个？(2)与Oeq\o(A,\s\up12(→))的模相等，方向相反的向量有哪些？(3)写出与Aeq\o(B,\s\up12(→))共线的向量．【解】(1)与Oeq\o(A,\s\up12(→))的模相等的向量有Oeq\o(C,\s\up12(→))，Aeq\o(O,\s\up12(→))，Ceq\o(O,\s\up12(→))三个向量．(2)与Oeq\o(A,\s\up12(→))的模相等且方向相反的向量为Oeq\o(C,\s\up12(→))，Aeq\o(O,\s\up12(→)).(3)与Aeq\o(B,\s\up12(→))共线的向量有Deq\o(C,\s\up12(→))，Ceq\o(D,\s\up12(→))，Beq\o(A,\s\up12(→)).学生带着问题去阅读课本。学生自己动手尝试。学生自己动手尝试。教师通过分析、讲解，给学生起一个引导示范的作用。通过例题来加深对“相等向量”的理解。通过两道变式，增强学生的理解与把握。当堂评价1．下列说法正确的是()A．若|a|＞|b|，则a＞bB．若|a|＝|b|，则a＝bC．若a＝b，则a与b共线D．若a≠b，则a一定不与b共线【解析】A中，向量的模可以比较大小，因为向量的模是非负实数，虽然|a|＞|b|，但a与b的方向不确定，不能说a＞b，A不正确；同理B错误；D中，a≠b，a可与b共线．故选C.2．在同一平面内，把平行于某一直线的一切向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是()A．一条线段B．一条直线C．圆上一群孤立的点D．一个半径为1的圆【解析】由于向量的始点确定，而向量平行于同一直线，所以随向量模的变化，向量的终点构成一条直线．【答案】B3．设在平面上给定了一个四边形ABCD，点K，L，M，N分别是AB，BC，CD，DA的中点，在以已知各点为起点和终点的向量中，与向量eq\o(KL,\s\up12(→))相等的向量是________．图2－1－5【解析】因为点K，L分别是AB，BC的中点，所以KL∥AC，KL＝eq\f(1,2)AC，因为点M，N分别是CD，DA的中点，所以MN∥AC，MN＝eq\f(1,2)AC，所以KL∥MN，KL＝MN，所以eq\o(KL,\s\up12(→))＝eq\o(NM,\s\up12(→)).【答案】eq\o(NM,\s\up12(→))4．如图所示四边形ABCD与ABEC都是平行四边形．图2－1－6(1)写出与向量eq\o(AB,\s\up12(→))共线的向量；(2)写出与向量Aeq\o(B,\s\up12(→))相等的向量．学生合作交流。学生自己检测自己的学习效果。通过练习让学生巩固新知，达成目标。板书设计平面向量的实际背景及基本概念（2）向量的基本关系:例学习目标相等向量：变式练习1、……共线向量：2、……教学反思课题名称：平面向量的实际背景及基本概念（3）课程模块及章节：第二章第一节备课时间：2023-2学科：数学备课组：高一数学主备教师：张国彪备课组长：龙清华组员：黄泽专、赵明烈、张秋花、邱建成、保德怀、龙清华、张国彪。教师二次备课教学背景分析向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具。向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，在数学和物理学中具有广泛的应用。理解向量的有关概念及向量的几何表示．(重点)理解共线向量、相等向量的概念．(难点)正确区分向量平行与直线平行．(易混点)教学目标1．知识与技能(1)了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示．(2)掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念．(3)学会区分平行向量、相等向量和共线向量．2．过程与方法通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别．3．情感、态度与价值观通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力．教学重点和难点重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量．难点：向量的概念，平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系．教学准备、教学资源和主要教学方法问题学习法、自主学习与合作探究相结合。教学过程教学环节教师为主的活动学生为主的活动设计意图导入新课【问题导思】1．已知向量a是非零向量，则有a>0或a<0，这种说法对吗？2．向量平行与直线平行是一回事，对吗？为什么？学生开始思考。创设情境，激发学生的求知欲。目标引领把目标板书在黑板的右上角，并引领学生进行解读。一起朗读目标。以目标引领学习的全过程。活动导学1．向量与数量。(1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量．(2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量．2．向量的几何表示。(1)带有方向的线段叫做有向线段．它包含三个要素：起点、方向、长度．(2)向量可以用有向线段表示，向量eq\o(AB,\s\up12(→))的大小也就是向量eq\o(AB,\s\up12(→))的长度(或称模)，记作|eq\o(AB,\s\up12(→))|.向量也可以用字母a、b、c…表示，也可以用有向线段的起点和终点字母表示，如eq\o(AB,\s\up12(→))、eq\o(CD,\s\up12(→)).下列说法正确的个数是()①向量a，b共线，向量b，c共线，则a与c也共线；②任意两个相等的非零向量的起点与终点都分别重合；③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；④有相同起点的两个非零向量不平行．A．1B．2C．3D．4【解】事实上，对于①，由于零向量与任意向量都共线，因此①不正确；对于②，由于向量都是自由向量，则两个相等向量的始点和终点不一定重合，故②不正确；对于④，向量的平行只与方向有关，而与起点是否相同无关，故④不正确；a与b不共线，则a与b都是非零向量，否则，不妨设a为零向量，则a与b共线，与a与b不共线矛盾，从而③正确．【答案】A学生带着问题去阅读课本。学生自己动手尝试。教师通过分析、讲解，给学生起一个引导示范的作用。通过例题来加深对“相等向量”的理解。当堂评价一、选择题1．下列说法中正确的个数是()(1)身高是一个向量．(2)∠AOB的两条边都是向量．(3)温度含零上和零下温度，所以温度是向量．(4)物理学中的加速度是向量．A．0B．1C．2D．3【解析】只有(4)中物理学中的加速度既有大小又有方向是向量，而(1)、(2)、(3)中的量均是只有大小的量，故(1)(2)(3)错误．(4)正确．【答案】B2．下列说法正确的是()A．若a∥b，则a与b的方向相同或相反B．若a∥b，b∥c，则a∥cC．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等D．若a＝b，b＝c，则a＝c【答案】D3．如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量eq\o(AB,\s\up12(→))与eq\o(DC,\s\up12(→))的关系是()图2－1－7\o(AB,\s\up12(→))＝eq\o(DC,\s\up12(→))B．|eq\o(AB,\s\up12(→))|＝|eq\o(DC,\s\up12(→))|\o(AB,\s\up12(→))＞eq\o(DC,\s\up12(→))D．eq\o(AB,\s\up12(→))＜eq\o(DC,\s\up12(→))【解析】|eq\o(AB,\s\up12(→))|与|eq\o(DC,\s\up12(→))|表示等腰梯形两腰的长度，故相等．【答案】B4．如图所示，在正方形ABCD中，可以用同一条有向线段表示的向量是()图2－1－8\o(DA,\s\up12(→))与eq\o(BC,\s\up12(→))\o(AB,\s\up12(→))与eq\o(DC,\s\up12(→))\o(DC,\s\up12(→))与eq\o(DA,\s\up12(→))D．eq\o(BC,\s\up12(→))与eq\o(AB,\s\up12(→))【答案】B5．下列说法中正确的个数是()(1)单位向量都平行．(2)若两个单位向量共线，则这两个向量相等．(3)向量a与b不共线，则a与b都是非零向量．(4)有相同起点的两个非零向量不平行．(5)方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量．A．2B．3C．4D．5【答案】A二、填空题6．设数轴上有四个点A，B，C，D，其中A，C对应的实数分别是1和－3，且eq\o(AC,\s\up12(→))＝eq\o(CB,\s\up12(→))，eq\o