高中数学苏教版3第二章概率2．4二项分布 苏教版3 二项分布 学案

苏教版选修2-3二项分布学案[学习目标]1.理解n次独立重复试验的模型.2.理解二项分布.3.能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题.知识点一n次独立重复实验1．一般地，由n次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A与eq\x\to(A).每次试验中P(A)＝p＞0.我们将这样的试验称为n次独立重复试验，也称为伯努利试验．2．在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k(0≤k≤n)次的概率为Pn(k)＝Ceq\o\al(k,n)pkqn－k，k＝0,1,2…，n，它恰好是(q＋p)n的二项展开式中的第k＋1项．思考在n次独立重复试验中，各次试验的结果相互有影响吗？答在n次独立重复试验中，各次试验的结果相互之间无影响．因为每次试验是在相同条件下独立进行的，所以第i次试验的结果不受前i－1次结果的影响(其中i＝1,2，…，n)．知识点二二项分布若随机变量X的分布列为P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pkqn－k，其中0＜p＜1，p＋q＝1，k＝0,1,2，…，n，则称X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p)．思考你能说明两点分布与二项分布之间的关系吗？答两点分布是特殊的二项分布，即X～B(n，p)中，当n＝1时，二项分布便是两点分布，也就是说二项分布是两点分布的一般形式．题型一独立重复试验的判断例1判断下列试验是不是独立重复试验：(1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上.(2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中.(3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球.解(1)由于试验的条件不同(质地不同)，因此不是独立重复试验.(2)某人射击且击中的概率是稳定的，因此是独立重复试验.(3)每次抽取，试验的结果有三种不同的颜色，且每种颜色出现的可能性不相等，因此不是独立重复试验.反思与感悟判断的依据要看该实验是不是在相同的条件下可以重复进行，且每次试验相互独立，互不影响.跟踪训练1下列事件：①运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”；②甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；③甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”；④在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标.其中是独立重复试验的是________.答案④解析①③符合互斥事件的概念，是互斥事件；②是相互独立事件；④是独立重复试验.题型二相互独立重复事件的概率例2某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为eq\f(3,5)，且每次射击的结果互不影响，已知射手射击了5次，求：(1)其中只在第一、三、五次击中目标的概率；(2)其中恰有3次击中目标的概率；(3)其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标的概率.解(1)该射手射击了5次，其中只在第一、三、五次击中目标，是在确定的情况下击中目标3次，也就是在第二、四次没有击中目标，所以只有一种情况，又因为各次射击的结果互不影响，故所求概率为P＝eq\f(3,5)×(1－eq\f(3,5))×eq\f(3,5)×(1－eq\f(3,5))×eq\f(3,5)＝eq\f(108,3125).(2)该射手射击了5次，其中恰有3次击中目标.根据排列组合知识，5次当中选3次，共有Ceq\o\al(3,5)种情况，因为各次射击的结果互不影响，所以符合n次独立重复试验概率模型.故所求概率为P＝Ceq\o\al(3,5)×(eq\f(3,5))3×(1－eq\f(3,5))2＝eq\f(216,625).(3)该射手射击了5次，其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标，应用排列组合知识，把3次连续击中目标看成一个整体可得共有Ceq\o\al(1,3)种情况.故所求概率为P＝Ceq\o\al(1,3)·(eq\f(3,5))3·(1－eq\f(3,5))2＝eq\f(324,3125).反思与感悟解答独立重复试验中的概率问题要注意以下几点：(1)先要判断问题中所涉及的试验是否为n次独立重复试验；(2)要注意分析所研究的事件的含义，并根据题意划分为若干个互斥事件的并.(3)要善于分析规律，恰当应用排列、组合数简化运算.跟踪训练2甲、乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队胜的概率为eq\f(2,3)，没有平局.(1)若进行三局两胜制比赛，先胜两局者为胜，甲获胜的概率是多少？(2)若进行五局三胜制比赛，甲获胜的概率为多少？解(1)甲第一、二局胜，或第二、三局胜，或第一、三局胜，则P＝(eq\f(2,3))2＋Ceq\o\al(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(20,27).(2)甲前三局胜，或甲第四局胜，而前三局仅胜两局，或甲第五局胜，而前四局仅胜两局，则P＝(eq\f(2,3))3＋Ceq\o\al(2,3)×(eq\f(2,3))2×eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)(eq\f(2,3))2×(eq\f(1,3))2×eq\f(2,3)＝eq\f(64,81).题型三二项分布问题例3某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为eq\f(3,4)，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心.且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数X的概率分布.解由题意可知：X～B(3，eq\f(3,4))，所以P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,3)(eq\f(3,4))k(eq\f(1,4))3－k(k＝0,1,2,3).P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,3)(eq\f(3,4))0(eq\f(1,4))3＝eq\f(1,64)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)·eq\f(3,4)·(eq\f(1,4))2＝eq\f(9,64)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)(eq\f(3,4))2·eq\f(1,4)＝eq\f(27,64)，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,3)(eq\f(3,4))3＝eq\f(27,64).所以概率分布为X0123Peq\f(1,64)eq\f(9,64)eq\f(27,64)eq\f(27,64)反思与感悟利用二项分布来解决实际问题的关键在于在实际问题中建立二项分布的模型，也就是看它是否为n次独立重复试验，随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布.跟踪训练3某公司安装了3台报警器，它们彼此独立工作，且发生险情时每台报警器报警的概率均为.求发生险情时，下列事件的概率：(1)3台都未报警；(2)恰有1台报警；(3)恰有2台报警；(4)3台都报警；(5)至少有2台报警；(6)至少有1台报警.解令X为在发生险情时3台报警器中报警的台数，那么X～B(3,，则它的分布列为P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,3)(1－3－k(k＝1,2,3).(1)3台都未报警的概率为P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,3)××＝；(2)恰有1台报警的概率为P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)××＝；(3)恰有2台报警的概率为P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)××＝；(4)3台都报警的概率为P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,3)××＝；(5)至少有2台报警的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝；(6)至少有1台报警的概率为P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－＝.1.每次试验的成功率为p(0<p<1)，重复进行10次试验，其中前7次都未成功，后3次都成功的概率为________.答案p3(1－p)72.若X～B(5,，则P(X≤2)＝________.答案44解析P(X≤2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝Ceq\o\al(0,5)×＋Ceq\o\al(1,5)×＋Ceq\o\al(2,5)×＝44.3.将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________.答案eq\f(11,32)解析正面出现的次数比反面出现的次数多，则正面可以出现4次、5次或6次，所求概率P＝Ceq\o\al(4,6)(eq\f(1,2))6＋Ceq\o\al(5,6)(eq\f(1,2))6＋Ceq\o\al(6,6)(eq\f(1,2))6＝eq\f(11,32).4.重复抛掷一枚骰子5次得到点数为6的次数记为ξ，求P(ξ>3).解依题意，随机变量ξ～B(5，eq\f(1,6)).∴P(ξ＝4)＝Ceq\o\al(4,5)(eq\f(1,6))4·eq\f(5,6)＝eq\f(25,7776)，P(ξ＝5)＝Ceq\o\al(5,5)(eq\f(1,6))5＝eq\f(1,7776).∴P(ξ>3)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝eq\f(13,388