高中数学高考一轮复习一轮复习 第五节 古典概型

课时作业(五十九)古典概型1．集合A＝{2，3}，B＝{1，2，3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是()A．eq\f(2,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,6)C[从A，B中任意取一个数，共有2×3＝6(种)情形，两数和等于4的情形只有(2，2)，(3，1)两种，所以P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).故选C.]2．在{3，5}和{2，4}两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个数能被5整除的概率是()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,6)C[在{3，5}和{2，4}两个集合中各取一个数组成的两位数有：32，34，52，54，23，25，43，45，共8个，其中能被5整除的两位数有：25，45，共2个，故所求概率P＝eq\f(2,8)＝eq\f(1,4)，故选C.]3．(2023·武汉市学习质量检测)同时抛掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和等于5的概率为()A．eq\f(1,9) B．eq\f(1,6)C．eq\f(1,18) D．eq\f(5,12)A[同时抛掷两个质地均匀的骰子不同的情况有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，…，(6，5)，(6，6)，共36种，其中向上的点数之和等于5的情况有(1，4)，(4，1)，(2，3)，(3，2)，共4种情况，由古典概型的概率计算公式得所求的概率为eq\f(4,36)＝eq\f(1,9).故选A．]4．(多选)(2023·沧州期中)从集合A＝{－1，－3，2，4}中随机选取一个数记为a，从集合B＝{－5，1，4}中随机选取一个数记为b，则()A．ab＞0的概率是eq\f(1,2)B．a＋b≥0的概率是eq\f(1,2)C．直线y＝ax＋b不经过第三象限的概率是eq\f(1,3)D．lna＋lnb＞1的概率是eq\f(5,12)AC[由题意可知是(a，b)所有可能的取法有12种，(－1，－5)，(－1，1)，(－1，4)，(－3，－5)，(－3，1)，(－3，4)，(2，－5)，(2，1)，(2，4)，(4，－5)，(4，1)，(4，4).其中满足ab＞0的取法有(－1，－5)，(－3，－5)，(2，1)，(2，4)，(4，1)，(4，4)共6种，则ab＞0的概率P＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2)，故A正确；其中满足a＋b≥0的取法有(－1，1)，(－1，4)，(－3，4)，(2，1)，(2，4)，(4，1)，(4，4)，共7种，则a＋b≥0的概率P＝eq\f(7,12)，故B错误；因为直线y＝ax＋b不经过第三象限，所以a＜0，b≥0，所有满足直线y＝ax＋b不经过第三象限的取法有(－1，1)，(－1，4)，(－3，1)，(－3，4)，共4种，则直线y＝ax＋b不经过第三象限的概率P＝eq\f(4,12)＝eq\f(1,3)，故C正确；因为lna＋lnb＝lnab＞1，所以a＞0，b＞0，ab＞e，所以满足lna＋lnb＞1的取法有(2，4)，(4，1)，(4，4)，共3种，故lna＋lnb＞1的概率P＝eq\f(3,12)＝eq\f(1,4)，故D错误．故选AC.]5．(2023·重庆模拟)2023年2月，在新型冠状病毒肺炎疫情防控工作期间，某单位有4名党员报名参加该地四个社区的疫情防控服务工作，假设每名党员均从这四个社区中任意选取一个社区参加疫情防控服务工作，则恰有一个社区未被这4名党员选取的概率为()A．eq\f(81,256) B．eq\f(27,64)C．eq\f(9,64) D．eq\f(9,16)D[由题意得基本事件总数为44，而恰有一个社区未被这4名党员选取包含的基本事件个数为Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))，则恰有一个社区未被这4名党员选取的概率P＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3)),44)＝eq\f(9,16).故选D.]6．将号码分别为1，2，3，4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为a，放回后，乙从此口袋中再摸出一个小球，其号码为b，则使不等式a－2b＋4<0成立的事件发生的概率为________．解析：由题意知(a，b)的所有可能结果有16种．其中满足a－2b＋4<0有(1，3)，(1，4)，(2，4)，(3，4)共4种结果．故所求事件的概率p＝eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)7．(2023·柯城区校级模拟)洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源．在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数，其各行各列及对角线点数之和皆为15.如图，则甲壳上所有阴阳数之和________；若从五个阳数中随机抽取三个数，则能使得这三个数之和等于15概率是________．解析：甲壳上所有阴阳数之和为：2＋4＋6＋8＋1＋3＋5＋7＋9＝45.从五个阳数：1，3，5，7，9中随机抽取三个数，基本事件总数n＝Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))＝10，能使得这三个数之和等于15的三个数为：(1，5，9)，(3，5，7)，共2个，则能使得这三个数之和等于15的概率P＝eq\f(2,10)＝eq\f(1,5).故答案为：45；eq\f(1,5).答案：45；eq\f(1,5)8．如图的三行三列的方阵中有九个数aij(i＝1，2，3；j＝1，2，3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率为________．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a11a12a13,a21a22a23,a31a32a33))解析：从九个数中任取三个数的不同取法共有Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(9))＝eq\f(9×8×7,1×2×3)＝84种，取出的三个数分别位于不同的行与列的取法共有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))·Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))·Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(1))＝6种，所以至少有两个数位于同行或同列的概率为1－eq\f(6,84)＝eq\f(13,14).答案：eq\f(13,14)9．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品即可抽奖．抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果；(2)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率．你认为正确吗？请说明理由．解析：(1)所有可能的摸出结果是{A1，a1}，{A1，a2}，{A1，b1)，{A1，b2}，{A2，a1}，{A2，a2}，{A2，b1}，{A2，b2}，{B，a1}，{B，a2}，{B，b1}，{B，b2}．(2)不正确，理由如下：由(1)知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为{A1，a1}，{A1，a2}，{A2，a1}，{A2，a2}，共4种，所以中奖的概率为eq\f(4,12)＝eq\f(1,3)，不中奖的概率为1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)>eq\f(1,3)，故这种说法不正确．10．海关对同时从A，B，C三个不同地区进口某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．地区ABC数量50150100(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．解析：(1)A，B，C三个地区商品的总数量为50＋150＋100＝300，抽样比为eq\f(6,300)＝eq\f(1,50)，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是50×eq\f(1,50)＝1，150×eq\f(1,50)＝3，100×eq\f(1,50)＝2.所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别是1，3，2.(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为：A；B1，B2，B3；C1，C2.则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B3，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个．每个样品被抽到的机会相等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有：{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个，所以P(D)＝eq\f(4,15).即这2件商品来自相同地区的概率为eq\f(4,15).11．(2023·江西南昌四校联考)在明代珠算发明之前，我们的先祖从春秋开始多是用算筹为工具记数、列式和计算．算筹实际上是一根根相同长度的小木棍，如图是利用算筹表示数1～9的一种方法，例如：47可以表示为“”，如果用算筹表示一个不含“0”且没有重复数字的三位数，这个数至少要用8根小木棍的概率为()A．eq\f(11,14) B．eq\f(3,14)C．eq\f(73,84) D．eq\f(6,7)D[至少要用8根小木棍的对立事件为用5根，6根，7根这三种情况，用5根小木棍为数字1、2、6这一种情况的全排列，用6根小木棍为数字1、2、3，1、2、7，1、6、3，1、6、7这四种情况的全排列，用7根小木棍为数字1、2、4，1、2、8，1、6、4，1、6、8，1、3、7，2、6、7，2、6，3这七种情况的全排列，故至少要用8根小木棍的概率为1－eq\f(12Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3)),Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(9)))＝eq\f(6,7).]12．若a，b∈{－1，0，1，2}，则使关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的概率为________．解析：要使方程有实数解，则a＝0或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ab≤1，,a≠0，))所有可能的结果为(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(－1，2)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，－1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)共16个，其中符合要求的有13个，故所求概率P＝eq\f(13,16).答案：eq\f(13,16)13．在某大型活动中，甲、乙等五名志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．(1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；(3)求五名志愿者中仅有一人参加A岗位服务的概率；解析：(1)记“甲、乙两人同时参加A岗位服务”为事件EA，那么P(EA)＝eq\f(Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4)))＝eq\f(1,40)，即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是eq\f(1,40).(2)记“甲、乙两人同时参加同一岗位服务”为事件E，那么P(E)＝eq\f(Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4)))＝eq\f(1,10)，所以甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P(eq\o(E,\s\up6(－)))＝1－P(E)＝eq\f(9,10).(3)有两个同时参加A岗位服务的概率P2＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4)))＝eq\f(1,4)，所以仅有一人参加A岗位服务的概率P1＝1－P2＝eq\f(3,4).14．十八届三中全会提出以管资本为主加强国有资产监管．改革国有资本授权经营体制．恒天集团和绿地集团利用现有闲置资金可选择投资新能源汽车或投资文化地产，以推进混合所有制改革，使国有资源效益最大化．①投资新能源汽车：投资结果盈利不赔不赚亏损概率eq\f(1,2)eq\f(1,8)eq\f(3,8)②投资文化地产：投资结果盈利不赔不赚亏损概率peq\f(1,3)q(1)当p＝eq\f(1,2)时，求q的值；(2)若恒天集团投资文化地产亏损的概率比投资新能源汽车亏损的概率小，求p的取值范围；(3)假设恒天集团和绿地集团都选择投