理论力学讲义

理论力学(I)Saturday,February4,2023第二部分运动学第八章刚体的平面运动1行星齿轮机构行星轮作什么运动？2§8-1刚体平面运动的概述和运动分解§8-2求平面图形内各点速度的方法§8-3求平面图形内各点加速度的方法第八章刚体的平面运动3

一、平面运动的特征§8-1刚体平面运动的概述和运动分解

在运动过程中，刚体上任一点到某一固定平面的距离始终保持不变，或者说刚体上任一点始终在平行于某一固定平面的平面内运动。4沿直线轨道滚动的车轮56二、平面运动的简化刚体的平面运动可以简化为平面图形S

在其自身平面内的运动。三、平面运动方程线段AB的位置如何确定？可见，平面图形S的位置完全由这三个独立的参数决定。7若平面图形S上A点不动，若平面图形S上

角不变，则刚体作定轴转动。则刚体作平面平移。8

四、平面运动的分解9车轮对于定系Oxy的平面运动（绝对运动）

动系O'x'

y'（车厢）相对定系的平移（牵连运动）车轮相对动系O'x'

y'（车厢）的转动（相对运动）+=平移坐标系O'x'y'

基点三种运动？？10车轮的平面运动随基点的平移绕基点的转动+=11一般的平面运动：结论：刚体的平面运动可分解为随基点的平移和绕基点

的转动。基点可任选基点平移坐标系O'x'y'

12平面图形绕基点转动的规律与基点的选取无关，即同一瞬时平面图形绕任一基点转动的、都相同。

平面图形随基点平移的运动规律与基点的选取有关。13

§8-2求平面图形内各点速度的方法一、速度合成法（基点法）动点：B点动系：Ax'y'

定系：地面应用点的速度合成定理

取A点为基点,并固结动系。三种运动？大小?方向?14即：平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和。试一试：画出AB上各点的速度分量。——基点法15二、速度投影法沿AB投影：即：平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影（大小和正负号）相等。——速度投影定理16

OA作定轴转动，滑块B作平移，AB作平面运动。[例8-1]曲柄—滑块机构解：已知:曲柄OA以匀角速度转动。，。求:当=60º时，滑块B的速度及连杆AB的角速度。（1）基点法研究AB，以A为基点，则大小方向r?

OA

AB水平AB

AB?17

研究连杆AB：能否求出AB?（2）速度投影法由速度投影定理，有转向？?=v滑块B18如何解释这种现象？

离车轮与地面的接触处近的钢丝看得较清楚，而离得远的钢丝则模糊不清，甚至看不见。19

若选取速度为零的点作为基点，则求解速度问题的计算会大大简化，同时也能求出图形的角速度。

基点法

速度投影法优点：既能求速度，也能求

。

缺点:

计算比较繁琐。优点：计算简便，快捷。缺点:

无法直接求角速度

。A为基点20

1.速度瞬心的概念

只要

，任一瞬时平面图形上都唯一存在一个速度等于零的点。证明:（1）过点A作直线。选A为基点，则上任一点M的速度因此，在AL上必唯一存在一点P

，其速度为零。

定理

三、速度瞬心法21

某一瞬时平面图形上速度等于零的点，称为图形在该瞬时的瞬时速度中心，简称速度瞬心。唯一性：

瞬时性：

在某一瞬时，图形只有一个速度瞬心。在不同瞬时，图形具有不同的速度瞬心。证毕！（2）过点A的其它直线上的点

，因和不共线，故速度均不为零。

定义

22

2.平面图形上各点的速度方向：选取速度瞬心P为基点，则平面图形上任一点B的速度

由此可见，只要已知平面图形在某一瞬时的速度瞬心位置和角速度，就可求出该瞬时图形上各点的速度。大小：BP，指向与转向相一致。形绕速度瞬心转动的速度。等于该点随图——速度瞬心法23过速度瞬心P的任一直线上各点的速度分布有何特点？就速度分布而言，平面图形的运动可视为绕该瞬时速度瞬心的转动。与定轴转动有何区别？[思考]24[例8-2]用速度瞬心法解例8-1已知:曲柄OA以匀角速度转动。，。求:当=60º时，滑块B的速度及连杆AB的角速度。?连杆AB的速度瞬心?25

3.速度瞬心位置的确定

①

已知平面图形上一点的速度和图形角速度。速度瞬心P：

过点A作的垂线，并取。速度瞬心P：

过A、B两点分别作速度、的垂线，两垂线之交点。

②

已知平面图形上任意两点A、B的速度方位。26[思考]若A、B两点的速度指向异侧，则点P

还是图形的速度瞬心吗？为什么？27

③

已知平面图形沿固定面作无滑动的滚动（纯滚动）。速度瞬心P：

平面图形上与固定面的接触点。28行星齿轮机构29

过A、B两点分别作速度、的垂线，两垂线之交点即为连杆AB的速度瞬心P。

曲柄OA作定轴转动，滑块B作平移，连杆AB作平面运动。[例8-2]用速度瞬心法解例8-1解：已知:曲柄OA以匀角速度转动。，。求:当=60º时，滑块B的速度及连杆AB的角速度。研究连杆AB：30（1）速度瞬心可以位于平面图形之上，也可以位于平面图形边界之外（延长部分上）。[讨论]（）=v滑块B31研究连杆AB：（2）当=90º时，滑块B的速度及连杆AB的角速度为多少？P？

该瞬时，连杆AB的速度瞬心P在无穷远处，。选A为基点，则连杆AB上任一点M的速度该瞬时AB上各点的速度相等。可见，该瞬时图形上各点的速度分布如同图形作平移时的一样。各点加速度是否相等?故图形在该瞬时的运动称为瞬时平移。32确定速度瞬心第2种方法之特例：特例1

两垂线平行不共线。速度瞬心P

在无穷远处，

。特例2

两垂线平行且共线。P?若两点的速度大小相等，则速度瞬心又在哪里？33[例8-3]沿直线轨道作纯滚动的车轮求:轮缘上点A、B、C、D的速度。已知:车轮半径为R，轮心O点的速度为。解：车轮作平面运动。车轮与轨道的接触点A为速度瞬心。车轮的角速度为（）（1）更加体会到速度瞬心法的计算简便；（2）直观了解了车轮上各点的速度分布。各点的速度方向如图所示。通过此例34现在，你能解释这种现象了吗？

离车轮与地面的接触处近的钢丝看得较清楚，而离得远的钢丝则模糊不清，甚至看不见。35[思考]如果车轮在地面上既滚又滑，则接触点

P

还是车轮的速度瞬心吗？为什么?36？37取A点为基点固结平移坐标系，一、基点法

§8-3求平面图形内各点加速度的方法三种运动？选B点为动点，应用牵连运动为平移时点的加速度合成定理已知:平面图形S上点A的加速度和图形的,（某一瞬时）。求:该瞬时图形上任一点B的加速度。38其中：方向沿AB，指向A点。方向AB，指向与一致；即:平面图形上任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。试一试：画出AB上各点的加速度分量。39二、加速度投影法沿AB投影：若某瞬时

=0（瞬时平移）：40已知：车轮半径为R，轮心O点的速度为，加速度为。用基点法求解大小方向？？OPPO因此，应先求出车轮的角速度

和角加速度

。求：车轮与轨道接触点P的加速度。分析：？？以轮心O为基点，则[例8-4]沿直线轨道作纯滚动的车轮41解：车轮作平面运动，P为速度瞬心。（）因上式在任何瞬时都成立，且轮心O作直线运动，故有（）（1）求车轮、（2）求接触点P的加速度以轮心O为基点，则42作出加速度矢量图如图示。且方向相反其中：大小方向？？OPPO43结论：当车轮沿固定直线轨道纯滚动时，速度瞬心P处加速度并不等于零，且加速度指向轮心。44思考：若，分析轮缘上各点的加速度分布。轮心O为加速度瞬心45

思考：加速度瞬心存在

？加速度瞬心法

？加速度瞬心存在，但不如速度瞬心那样容易确定，故虽然加速度瞬心法也存在，但一般不用。一般情况下，加速度瞬心与速度瞬心不在同一个点。因此，求平面图形上各点的加速度一般采用基点法。46已知：滚轮半径R=15cm，OA的

转速n=60r/min，OA=R。

求：当=60º时（OAAB），滚轮的B、B。要想求出滚轮的B、B，先要求出vB

、aB。解：OA杆作定轴转动，AB杆和轮B作平面运动。P１为其速度瞬心。[例8-5]

曲柄滚轮（纯滚动）机构分析：（1）研究AB杆先用速度瞬心法求vBP147P1（）以A为基点，则B点的加速度为再用基点法求aB48大小方向？水平OA2AO？ABw

AB2ABBA并将上式向BA投影，得作出加速度矢量图如图所示，其中：49P2为其速度瞬心）（）（（2）研究轮BP250刚体平面运动习题课3.刚体平面运动的分解刚体的平面运动可以分解为随基点的平移和绕基点的转动。随基点平移的规律与基点的选择有关，绕基点转动的规律与基点的选择无关。

1.刚体平面运动的定义刚体运动时其上任一点到某固定平面的距离保持不变。2.刚体平面运动的简化

刚体平面运动可简化为平面图形在自身平面内的运动。刚体定轴转动和平面平移是刚体平面运动的特例。51

4.速度瞬心

（1）任一瞬时，平面图形或其扩展部分上速度为零的点；（2）速度瞬心具有唯一性和瞬时性；（3）当=0时，速度瞬心位于无穷远处，各点速度相同，刚体作瞬时平移（瞬时平移与平移不同）。5.求平面图形上任一点速度的方法（1）基点法：（2）速度投影法：（3）速度瞬心法：A为基点P为速度瞬心方向BP，指向与转向相一致。52

6.求平面图形上任一点加速度的方法（1）基点法：A为基点（2）加速度投影法：只有当=0即瞬时平移时才可用

7.平面运动方法与合成运动方法的应用条件平面运动方法用于研究同一个平面运动刚体上任意两点的速度、加速度之间的关系以及任意一点的速度、加速度与图形的角速度、角加速度之间的关系。点的合成运动方法常用来确定两个物体相重合点处的速度、加速度之间的关系。53已知：R、

r、o

，轮A作纯滚动。求：。解：轮O不动，杆OA作定轴转动，轮A作平面运动。）（[例1]

行星齿轮机构P为速度瞬心。研究轮A：用速度瞬心法54已知楔块：

=30º，v=12cm/s；盘：r=4cm，与楔块间无滑动。求：圆盘、轴O速度及B点速度。解：杆OC、楔块M均作平移，圆盘作平面运动。）（[例2]

平面机构研究圆盘：由A、O两点的速度方向可确定其速度瞬心为P

。用速度瞬心法55）（56每个作平面运动的刚体，在每一瞬时都有自己的速度瞬心和角速度。注意：比较例1和例2可以看出，不能认为圆轮只滚不滑时，接触点就是速度瞬心。只有在接触面是固定面时，则圆轮上接触点才是速度瞬心。57解：OA、O1D均作定轴转动，AB作平面运动。图示位置AB作瞬时平移，故有[例4]

导槽滑块机构（1）研究AB杆求：该瞬时杆O1D的角速度。已知：曲柄OA=r

，匀角速度转动，连杆AB的中点C处连一滑块C，可沿导槽O1D滑动，AB=l。图示瞬时O、A、O1三点在同一水平线上，且OAAB，=30o。

58选取动点：AB杆的C动系：O1D杆定系：基座由大小方向??O1D沿O1D作出速度平行四边形如图示。r（2）用点的合成运动方法求O1D杆上与滑块C相重合点的速度59

这是一个需要联合应用点的合成运动和刚体平面运动理论求解的综合性问题。

）（若要求该瞬时杆O1D的角加速度，则又如何求？思考：60已知：图示瞬时，O点在AB中点，=60º，AB=20cm，vA=16cm/s，BCAB，O、C在同一水平线上。求：该瞬时AB、BC两杆的角速度及滑块C的速度。解：轮A、杆AB和杆BC均作平面运动，套筒O作定轴转动，滑块C平移。（1）应用点的合成运动方