高中数学北师大版2第二章变化率与导数 第2章3计算导数

§3计算导数1.理解导数的概念.(重点)2.会用导数定义求简单函数的导数.3.记住基本初等函数的求导公式，并能用它们求简单函数的导数.(难点)[基础·初探]教材整理1导函数的概念阅读教材P38～P40“练习”以上部分，完成下列问题.一般地，如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数.若函数f(x)＝(x－1)2，那么f′(x)＝________.【提示】∵f(x)＝x2－2x＋1，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)＝2x＋Δx－2.故f′(x)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))(2x＋Δx－2)＝2x－2.【答案】2x－2教材整理2导数公式表阅读教材P41“习题2－3”以上部分，完成下列问题.函数导函数y＝c(c是常数)y′＝0y＝xα(α是实数)y′＝αxα－1y＝ax(a>0，a≠1)y′＝axln_a，特别地(ex)′＝exy＝logax(a>0，a≠1)y′＝eq\f(1,xlna)，特别地(lnx)′＝eq\f(1,x)y＝sinxy′＝cos_xy＝cosxy′＝－sin_xy＝tanxy′＝eq\f(1,cos2x)y＝cotxy′＝－eq\f(1,sin2x)给出下列命题：①y＝ln2，则y′＝eq\f(1,2)；②y＝eq\f(1,x2)，则y′＝－eq\f(2,x3)；③y＝2x，则y′＝2xln2；④y＝log2x，则y′＝eq\f(1,xln2).其中正确命题的个数为()【解析】对于①，y′＝0，故①错误；显然②③④正确，故选C.【答案】C[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]利用导数公式求函数的导数求下列函数的导数.(1)y＝x12；(2)y＝eq\f(1,x4)；(3)y＝3x；(4)y＝log5x.【精彩点拨】首先观察函数解析式是否符合求导形式，若不符合可先将函数解析式化为基本初等函数的求导形式.【自主解答】(1)y′＝(x12)′＝12x11.(2)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x4)))′＝(x－4)′＝－4x－5＝－eq\f(4,x5).(3)y′＝(3x)′＝3xln3.(4)y′＝(log5x)′＝eq\f(1,xln5).1.若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解.2.对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误.3.要特别注意“eq\f(1,x)与lnx”，“ax与logax”，“sinx与cosx”的导数区别.[再练一题]1.若f(x)＝x3，g(x)＝log3x,则f′(x)－g′(x)＝__________.【导学号：94210040】【解析】∵f′(x)＝3x2，g′(x)＝eq\f(1,xln3)，∴f′(x)－g′(x)＝3x2－eq\f(1,xln3).【答案】3x2－eq\f(1,xln3)利用导数公式求函数在某点处的导数质点的运动方程是s＝sint，(1)求质点在t＝eq\f(π,3)时的速度；(2)求质点运动的加速度.【精彩点拨】(1)先求s′(t)，再求s′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3))).(2)加速度是速度v(t)对t的导数，故先求v(t)，再求导.【自主解答】(1)v(t)＝s′(t)＝cost，∴veq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2).即质点在t＝eq\f(π,3)时的速度为eq\f(1,2).(2)∵v(t)＝cost，∴加速度a(t)＝v′(t)＝(cost)′＝－sint.1.速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间的导数.2.求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是：(1)先求函数的导函数；(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值.[再练一题]2.(1)求函数f(x)＝eq\f(1,\r(3,x))在(1，1)处的导数；(2)求函数f(x)＝cosx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(\r(2),2)))处的导数.【解】(1)∵f′(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3,x))))eq\s\up12(′)＝(xeq\s\up12(-\f(1,3)))′＝－eq\f(1,3)xeq\s\up12(-\f(4,3))＝－eq\f(1,3\r(3,x4))，∴f′(1)＝－eq\f(1,3\r(3,1))＝－eq\f(1,3).(2)∵f′(x)＝－sinx，∴f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝－sineq\f(π,4)＝－eq\f(\r(2),2).[探究共研型]导数公式的应用探究已知函数f(x)＝tanx，试求f(x)的图像在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\r(3)))处的切线方程.【提示】f′(x)＝eq\f(1,cos2x)，∴f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝4，即所求切线的斜率为4，故切线方程为y－eq\r(3)＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))，即4x－y＋eq\r(3)－eq\f(4π,3)＝0.(2023·长沙高二检测)求过曲线f(x)＝cosx上一点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(1,2)))且与曲线在这点的切线垂直的直线方程.【精彩点拨】eq\x(求导数f′（x0）)→eq\x(计算f′\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3))))→所求直线斜率k＝－eq\f(1,f′\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3))))→eq\x(\a\al(利用点斜式写,出直线方程))【自主解答】因为f(x)＝cosx，所以f′(x)＝－sinx，则曲线f(x)＝cosx在点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(1,2)))的切线斜率为f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝－sineq\f(π,3)＝－eq\f(\r(3),2)，所以所求直线的斜率为eq\f(2,3)eq\r(3)，所求直线方程为y－eq\f(1,2)＝eq\f(2,3)eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))，即y＝eq\f(2,3)eq\r(3)x－eq\f(2\r(3),9)π＋eq\f(1,2).求曲线方程或切线方程时，应注意：(1)切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程；(2)曲线在切点处的导数就是切线的斜率；(3)必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设出切点.[再练一题]3.已知曲线C：f(x)＝x3－ax＋a，若过曲线C外一点A(1，0)引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则a的值为________.【解析】设切点坐标为(t，t3－at＋a).由题意知，f′(x)＝3x2－a，切线的斜率为k＝f′(t)＝3t2－a， ①所以切线方程为y－(t3－at＋a)＝(3t2－a)·(x－t). ②将点(1，0)代入②式得－(t3－at＋a)＝(3t2－a)(1－t)，解得t＝0或t＝eq\f(3,2).分别将t＝0或t＝eq\f(3,2)代入①式，得k＝－a或k＝eq\f(27,4)－a，由题意得它们互为相反数得a＝eq\f(27,8).【答案】eq\f(27,8)[构建·体系]1.已知f(x)＝xα(α∈Q＋)，若f′(1)＝eq\f(1,4)，则α等于()\f(1,3) \f(1,2)\f(1,8) \f(1,4)【解析】∵f(x)＝xα，∴f′(x)＝αxα－1，∴f′(1)＝α＝eq\f(1,4).【答案】D2.给出下列结论：①若y＝eq\f(1,x3)，则y′＝－eq\f(3,x4)；②若y＝eq\r(3,x)，则y′＝eq\f(1,3)eq\r(3,x)；③若f(x)＝3x，则f′(1)＝3.其中正确的个数是() 【解析】对于①，y′＝eq\f(0－（x3）′,x6)＝eq\f(－3x2,x6)＝eq\f(－3,x4)，正确；对于②，y′＝eq\f(1,3)x＝eq\f(1,3)xeq\s\up12(-\f(2,3))，不正确；对于③，f′(x)＝3，故f′(1)＝3，正确.【答案】B3.若f(x)＝10x，则f′(1)＝________.【导学号：94210041】【解析】f′(x)＝10xln10，∴f′(1)＝10ln10.【答案】10ln104.曲线f(x)＝eq\f(1,\r(4,x3))在x＝1处的切线的倾斜角的正切值为________.【解析】f′(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x\s\up12(－\f(3,4))))eq\s\up12(′)＝－eq\f(3,4)x，∴f′(1)＝－eq\f(3,4)＝k，∴倾斜角的正切值为－eq\f(3,4).【答案】－eq\f(3,4)5.若质点P的运动方程是s(t)＝eq\r(3,t2)(s的单位为m，t的单位为s)，求质点P在t＝8s时的瞬时速度.【解】∵s′(t)＝(eq\r(3,t2))′＝(teq\s\up8(\f(2,3)))′＝eq\f(2,3)teq\s\up12(-\f(1,3))，∴s′(8)＝eq\f(2,3)×8eq\s\up12(-\f(1,3))＝eq\f(2,3)×2－1＝eq\f(1,3)，∴质点P在t＝8s时的瞬时速度为eq\f(1,3)m/s.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(九)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.下列结论正确的是()A.若y＝cosx，则y′＝sinxB.若y＝sinx，则y′＝－cosxC.若y＝eq\f(1,x)，则y′＝－eq\f(1,x2)D.若y＝eq\r(x)，则y′＝eq\f(\r(x),2)【解析】∵(cosx)′＝－sinx，∴A不正确；∵(sinx)′＝cosx，∴B不正确；∵(eq\r(x))′＝eq\f(1,2\r(x))，∴D不正确.【答案】C2.(2023·济南高二检测)在曲线f(x)＝eq\f(1,x)上切线的倾斜角为eq\f(3,4)π的点的坐标为()A.(1，1) B.(－1，－1)C.(－1，1) D.(1，1)或(－1，－1)【解析】切线的斜率k＝taneq\f(3,4)π＝－1，设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝－1，又f′(x)＝－eq\f(1,x2)，∴－eq\f(1,xeq\o\al(2,0))＝－1，∴x0＝1或－1，∴切点坐标为(1，1)或(－1，－1).故选D.【答案】D3.对任意的x，有f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则此函数解析式为()(x)＝x3 (x)＝x4－2(x)＝x3＋1 (x)＝x4－1【解析】由f′(x)＝4x3知f(x)中含有x4项，然后将x＝1代入选项中验证可得，选B.【答案】B4.(2023·北京高二检测)已知曲线y＝x3在点(2，8)处的切线方程为y＝kx＋b，则k－b＝() B.－4 D.－28【解析】∵y′＝3x2，∴点(2，8)处的切线斜率k＝f′(2)＝12.∴切线方程为y－8＝12(x－2)，即y＝12x－16，∴k＝12，b＝－16，∴k－b＝28.【答案】C5.若f(x)＝sinx，f′(α)＝eq\f(1,2)，则下列α的值中满足条件的是()【导学号：94210042】\f(π,3) \f(π,6)\f(2,3)π \f(5,6)π【解析】∵f(x)＝sinx，∴f′(x)＝cosx.又∵f′(α)＝cosα＝eq\f(1,2)，∴α＝2kπ±eq\f(π,3)(k∈Z).当k＝0时，α＝eq\f(π,3).【答案】A二、填空题6.(2023·菏泽高二检测)已知f(x)＝x2，g(x)＝lnx，若f′(x)－g′(x)＝1，则x＝________.【解析】因为f(x)＝x2，g(x)＝lnx，所以f′(x)＝2x，g′(x)＝eq\f(1,x)且x>0，f′(x)－g′(x)＝2x－eq\f(1,x)＝1，即2x2－x－1＝0，解得x＝1或x＝－eq\f(1,2)(舍去).故x＝1.【答案】17.直线y＝eq\f(1,2)x＋b是曲线f(x)＝lnx(x＞0)的一条切线，则实数b＝________.【解析】设切点坐标为(x0，y0)，则y0＝lnx0.∵y′＝(lnx)′＝eq\f(1,x)，∴f′(x0)＝eq\f(1,x0)，由题意知eq\f(1,x0)＝eq\f(1,2)，∴x0＝2，y0＝ln2.由ln2＝eq\f(1,2)×2＋b，得b＝ln2－1.【答案】ln2－18.(2023·南京高二检测)已知函数y＝f(x)的图像在M(1，f(1))处的切线方程是y＝eq\f(1,2)x＋2，则f(1)＋f′(1)＝__________.【解析】依题意知，f(1)＝eq\f(1,2)×1＋2＝eq\f(5,2)，f′(1)＝eq\f(1,2)，∴f(1)＋f′(1)＝eq\f(5,2)＋eq\f(1,2)＝3.【答案】3三、解答题9.求下列函数的导数.(1)y＝xeq\r(x)；(2)y＝eq\r(5,x3)；(3)y＝log2x2－log2x；(4)y＝－2sineq\f(x,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－2cos2\f(x,4))).【解】(4)∵y＝－2sineq\f(x,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－2cos2\f(x,4)))＝2sineq\f(x,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cos2\f(x,4)－1))＝2sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx.10.若曲线y＝xeq\s\up12(-\f(1,2))在点(a，aeq\s\up12(-\f(1,2)))处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，求a的值.【解】y′＝－eq\f(1,2)xeq\s\up12(-\f(3,2))，所以曲线y＝xeq\s\up12(-\f(1,2))在点(a，aeq\s\up12(-\f(1,2)))处的切线方程为y－aeq\s\up12(-\f(1,2))＝－eq\f(1,2)aeq\s\up12(-\f(3,2))(x－a).由x＝0得y＝eq\f(3,2)aeq\s\up12(-\f(1,2))，由y＝0得x＝3a，所以eq\f(1,2)·eq\f(3,2)aeq\s\up12(-\f(1,2))·3a＝18，解得a＝64.[能力提升]1.设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2016(x)＝()x B.－sinxx D.－cosx【解析】f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)＝(sinx)′＝cosx，f2(x)＝f1′(x)＝(cosx)′＝－sinx，f3(x)＝f2′(x)＝(－sinx)′＝－cosx，f4(x)＝f3′(x)＝(－cosx)′＝sinx，所以4为最小正周期，故f2016(x)＝f0(x)＝sinx.【答案】A2.已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线，则实数k的值为()【导学号：94210043】\f(1,e) B.－eq\f(1,e)C.－e 【解析】y′＝ex，设切点为(x0，y0)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y0＝kx\s\do2(0)，,y0＝ex\s\do2(0)，,