自动控制整合

1自动控制原理

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2023年2月4日2参考书《自动控制原理简明教程》胡寿松科学出版社《自动控制原理》胡寿松科学出版社《自动控制原理》吴麒清华大学出版社《控制工程基础》

姚伯威国防工业出版社《控制工程基础》

孙志毅机械工业出版社3第一章控制系统的一般概念1.引言2.开环系统与闭环系统3.控制系统的举例4.控制系统的组成与对控制系统的基本要求41.1引言自动控制的定义

在无人直接参与的情况下，通过控制器使被控对象或过程自动地按照预定要求运行。自动控制的应用自动控制理论的划分根据自动控制技术的发展阶段可分为：古典控制理论现代控制理论51.2开环控制与闭环控制一.控制系统的分类按控制方式分开环控制系统闭环控制系统复合控制系统按系统功能分温度控制系统压力控制系统位置控制系统6按元件类型分机械系统电气系统机电系统液压系统气动系统生物系统7按系统性能分线性系统和非线性系统连续系统和离散系统定常系统和时变系统确定系统和不确定系统按参据量变化规律分恒值控制系统随动控制系统程序控制系统8二.开环控制

直流电动机调速系统9开环控制系统方框图开环控制系统的定义：被控制量只受控于控制量，而对控制量不能反施影响的一类系统称为开环控制系统。10开环控制系统的优点：结构简单开环控制系统的缺点：本系统不具备自动修正能力。提高开环控制系统精度的措施：系统各元、部件的参数值在工作过程中，必须严格保持在事先校准的量值上。11三.闭环系统121.闭环控制系统的定义：利用通过负反馈产生的偏差所取得的控制作用去消除偏差的控制原理称为反馈控制原理。整个控制系统形成一个闭合的环路，因而称为闭环控制系统或反馈控制系统。闭环控制系统方框图132.形成闭环系统的要求：必须对被控制量进行测量。并将其反馈到系统的输入端与控制量相减，得到偏差。对偏差进行适当放大，从而产生对被控对象的控制作用。3.闭环控制系统的特点：优点：具有抑制任何内、外干扰对系统输出产生影响的能力，有较高的控制精度。缺点：使用的元件多，结构复杂，系统设计与分析较为麻烦。14四.开环系统与闭环系统的比较开环系统不存在被控量到控制量的负反馈，系统不具有对干扰给被控制量造成误差的自修正能力。闭环系统采用负反馈，具有自修正功能，当系统的扰动量无法事先预计时，它有明显优势。开环系统结构简单。闭环系统结构复杂。151.3控制系统举例热水器电加热系统给定温度温控开关电加热器测量元件水箱热水冷水16电加热系统T(℃)扰动To(℃)温控开关电加热器水箱测温元件171.4控制系统的组成与对其基本要求控制系统的组成18测量元件比较元件放大元件执行元件校正元件给定元件被控对象19二.控制系统的基本要求稳定性——基本要求阻尼程度响应速度控制精度

基本要求通常是通过系统对特定形式输入信号的响应过程所具有的一些特征值来体现的。快速性201.阶跃函数2.斜坡函数3.加速度函数4.脉冲函数5.正弦函数三.典型外作用21例：22作业:P16,1-4,1-51-4下图为水温控制系统示意图.冷水在热交换器中由通入的蒸汽加热,从而得到一定温度的热水.冷水流量变化用流量计测量.试绘制系统方块图,并说明为了保持热水温度为期望值,系统是如何工作的?系统的被控制对象和控制装置各是什么?23作业:P16,1-4,1-51-5下图是电炉温度控制系统原理示意图,试分析系统保持电炉温度恒定的工作过程,指出系统的被控对象,被控量以及各部件的作用,最后画出系统方块图.自动控制原理

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2023年2月4日第二章控制系统的数学模型2.控制系统的运动方程式3.传递函数4.控制系统的传递函数5.控制系统的的结构图及其化简6.信号流图7.脉冲响应1.傅氏变换与拉氏变换2.1傅里叶变换与拉普拉斯变换一.傅里叶级数二.傅里叶变换三.拉普拉斯变换2.2控制系统的运动方程式控制系统运动方程式的功能

控制系统的运动方程式展示了系统在运动过程中各变量之间的相互关系，既定性又定量地描述了整个系统的运动过程。列写控制系统运动方程式的步骤明确输入量与输出量；写出原始方程（组）；消除中间量，仅剩输入量、输出量及其导数；将微分方程整理成标准形式。举例例2-1.设有由电感L、电容C和电阻R组成的电路，示于下图。试列写出以电压U2为输出量和以电压U1为输入量的运动方程式。例2-2.设有两个形式相同的RC电路串联而成的滤波电路如

下图所示，试列写出以电压U2为输出量和以电压U1为

输入量的滤波电路运动方程式。例2-3.求下图所示机械系统的微分方程式，图中位移xi，x0分别为输入量和输出量。例2-4.设有负载直流电动机系统如下图，试列写出以电枢电压Ua为输入量和以电动机输出轴角速度为输出量的系统运动方程。E负载2.3传递函数

传递函数的功能传递函数是基于拉氏变换、用来描述线性系统或线性元件的输入-输出关系的一种常用函数。它全面地反映线性定常系统或线性元件的内在固有特性。二.传递函数的形式拉氏算子的有理式三.传递函数的定义在零初始条件下，线性定常系统或元件输出信号的拉氏变换式X2(S)与输入信号的拉氏变换式X1(S)之比，称为该系统或元件的传递函数。记为：四.传递函数的性质线性定常系统或元件的传递函数是在复域描述其运动特性的数学模型，它与作为实域数学模型的运动方程一一对应。2.传递函数是表征线性定常系统或元件自身的固有特性，它与其输入信号的形式无关，但和输入信号的作用位置及输出信号的取出位置有关。3.传递函数是复变量S的有理分式，其分子多项式M(S)及分母多项式D(S)的各项系数均为实数。4.将传递函数写成如下形式：分别定义z1,z2,…,zm及p1,p2,…,pn为传递函数G(S)的零点与极点。5.传递函数不能反映系统及其元件的物理结构，那些物理结构截然不同的系统或元件只要运动特性相同，它们便可以有相同形式的传递函数。6.传递函数的拉氏反变换即为系统的脉冲响应五.串联环节等效传递函数同理：n个串联环节的等效传递函数为：六.同向并联环节等效传递函数同理：n个环节同向并联等效传递函数为：++七.负反馈环节等效传递函数2.4控制系统的传递函数控制系统结构图1.开环传递函数在反馈控制系统中，定义前向通道的传递函数与反馈通道的传递函数之积为开环函数，通常记为G(S)2.闭环传递函数定义输出信号的拉氏变换式与输入信号的拉氏变换式之比为系统的闭环传递函数。通常记为3.扰动信号的闭环传递函数在反馈控制系统中，假如只有扰动信号f(t)，而r(t)=04.

研究反馈控制系统的控制信号及扰动信号对偏差的影响2.5控制系统的结构图及其简化一.控制系统结构图的定义应用函数方框将控制系统的全部变量联系起来，以描述信号在系统中流通过程的图示，称为控制系统结构图。二.函数方框三.系统结构图的组成函数框图相加点分支点相加点分支点四.绘制控制系统结构图的步骤1.写出组成系统的各环节运动方程2.基于运动方程求取各环节的传递函数3.根据传递函数画出响应的函数方框4.按信号流向将函数方框一一联接起来，即得系统结构图例2-5.绘制下图所示RC电路结构图例2-6.绘制下图所示RC电路结构图五.控制系统结构图的简化(1).分支点等效移动规则(2).相加点等效移动规则六.检验化简的正确性1.前向通道中各串联函数方框的传递函数的乘积须保持不变。2.各反馈回路所含函数方框的传递函数的乘积须保持不变。例2-7.设有下图所示电路，试绘制其结构图，并通过简化求其传递函数U2(S)/U1(S)例2-8.设某位置随动系统的结构图如下所示。试应用等效简化结构图方法求其闭环传递函数。2.6信号流图1.信号流图的定义

它是表示控制系统各变量间相互关系、以及信号流通过程的另一种图示。2.信号流图的结构它具有网络形式，其中的节点代表系统变量，两节点用表明信号流向的定向线段联接，其上标出两变量见的传递函数。三.信号流图的术语输入节点（源点）回路输入节点（源点）输出节点（阱点）混合节点abcdl四.信号流图的优点：求系统的传递函数时，不必进行预先的等效简化，而应用计算公式即可得到传递函数。这对复杂系统来说比结构图更为方便。前向通道五.控制系统的信号流图例2-9:设已知某控制系统运动方程的拉氏变换式为：其中，分别为系统输入、输出信号的拉氏变换。试画出该系统的信号流图六.信号流图的梅森增益公式梅森增益公式例2-10.设某控制系统的结构图如下所示。试绘制其信号流图，并由信号流图应用梅森增益公式计算系统的闭环传递函数C(S)/R(S)。X0X1X2X3X4X5X6X7X82.7脉冲响应一.脉冲响应的定义脉冲响应是零初始条件下，线性定常系统对理想单位脉冲输入的响应过程。二.理想单位脉冲函数三.理想单位脉冲的性质在t=t0处的理想单位脉冲函数可用来表示四.控制系统的脉冲响应与系统闭环传递函数的关系设控制系统运动方程为

D(p)c(t)=M(p)r(t)(1)r(t)——输入信号

c(t)——输出信号取r(t)=，则c(t)便是脉冲响应，对式（1）进行拉氏变换，并令初始条件为零，得：结论控制系统的脉冲响应的拉氏变换式等于其闭环传递函数，而脉冲响应可通过传递函数的拉氏反变换取得。即：控制系统的脉冲响应可以作为描述控制系统运动特性的数学模型，是一种时域数学模型。作业自动控制原理（第四版） P70-73 2-3，2-11，2-18，2-20， 2-22（a，e)简明教程（第一版） P822-12，2-14，2-15（a，e)简明教程（第二版） P802-12，2-14，2-15（a，d)自动控制原理

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2023/2/4第三章线性系统的时域分析法1.系统时间响应的性能指标2.一阶系统的时域分析3.二阶系统的时域分析4.线性系统的稳定性分析5.线性系统的稳态误差分析时域分析的定义时域分析法是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法，具有直观、准确的优点，并且可以提供系统时间响应的全部信息。3.1系统时间响应的性能指标一.控制系统性能的评价指标

1.动态性能2.稳态性能二.典型输入信号

所谓的典型输入信号是指根据系统常遇到的输入信号形式，在数学上加以理想化的一些基本输入函数。典型输入函数三.典型输入信号的选取取决于系统常见的工作状态。取决于最不利的信号作为系统的典型输入信号同一系统中，不同形式的输入信号所对应的输出响应是不同的，但对于线性控制系统来说，它们所表征的系统性能是一致的。四.动态过程与稳态过程动态过程又称为过渡过程或瞬时过程，指系统在典型输入信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程。2.稳态过程又称为稳态响应，指系统在典型输入信号作用下，当时间t趋于无穷时，系统输出量的表现方式。五.动态性能和稳态性能延迟时间上升时间

峰值时间调节时间

超调量动态性能指标描述的是稳定系统在单位阶跃函数作用下，动态过程随时间t的变化状况指标。

通常，上升时间和峰值时间来评价系统的响应速度；用超调量来评价系统的阻尼程度；而调整时间是一个同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。2.稳态性能稳态误差是描述系统稳态性能的一种性能指标，是系统控制精度或抗干扰能力的一种度量。3.2一阶系统的时域分析一阶系统的定义凡以一阶微分方程作为运动方程的控制系统，称为一阶系统。一.一阶系统的数学模型CR系统的传递函数：

令T=RC，且定义T为时间常数，则T反映系统惯性的量，一阶系统的惯性越小，其响应速度越快。-R(S)C(S)(3-2)二.一阶系统的单位阶跃响应设一阶系统的输入信号为单位阶跃函数r(t)=1(t)，则由式（3-2）可得一阶系统的单位阶跃响应为：1.可用时间常数T去度量系统输出量的数值；2.响应曲线的斜率初始值为1/T，并随时间的推移而下降。初始斜率特性也是常用来确定一阶系统时间的方法之一。一阶系统的单位阶跃响应具有两个重要特点：一阶系统的动态性能指标为：峰值与超调量不存在三.一阶系统的单位脉冲响应当输出信号为理想单位脉冲函数时，由于R(S)=1，所以系统输出的拉氏变换式与系统的传递函数相同，即：系统的输出称为脉冲响应，其表达式为：单位脉冲响应曲线：一阶系统的脉冲响应（指数曲线）衰减到其初始值的5%所需的时间为脉冲响应的调节时间，则通过计算得：四.一阶系统的单位斜坡响应当系统的输入信号为单位斜坡函数，则由式（3-2）可以求得一阶系统的单位斜坡响应为：其中，(t-T)为稳态分量；为瞬时分量。T值越小,跟踪准确率越高五.一阶系统的单位加速度响应设系统的输入信号为单位加速度函数，则由式（3-2）可以求得一阶系统的单位加速度为：系统的跟踪误差为：跟踪误差随时间推移而增大，直至无穷大。因此，一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。六.四种典型输入信号响应的对比3-3二阶系统的时域分析二阶系统的定义：凡以二阶微分方程作为运动方程的控制系统，称为二阶系统。一.二阶系统的数学模型得系统的运动方程为：得系统的传递函数为：为了研究具有普遍性，将上式表示为标准形式：-R(S)E(S)C(S)-其中：——自然频率（或无阻尼振荡频率）——阻尼比（或相对阻尼系数）（3-3）令式（3-3）的分母多项式为零，得二阶系统的特征

方程为：其两个根（闭环极点）为：二.二阶系统的单位阶跃响应则二阶系统具有两个正实部的特征根。此时，系统的单位阶跃响应为：其中：由于阻尼比为负，指数因子具有正幂指数，因此，系统的动态过程为发散正弦振荡或单调发散的形式，从而表明的二阶系统是不稳定的。2.当时，二阶系统的特征

方程有一对纯虚根，对应于S平面

虚轴上一对共轭极点，系统的阶

跃响应为等幅振荡，此时，系统处

于无阻尼情况。3.当时，则特征方程有一对具有负实部的共轭复根，对应于s平面左半部的共轭复数极点，对应的阶跃响应为衰减振荡过程，此时，系统处于欠阻尼情况。4.当=1时，则特征方程具

有两个相等的负实根，对应

于s平面负实轴上的两个相

等极点，响应的阶跃响应是

非周期地趋于稳态输出，此

时，系统处于临界阻尼情况

5.当时，则特征方程有两个不相等的负实根，对应于s平面上的两个不相等的实极点，响应的单位阶跃响应也是非周期地趋于稳态输出，但响应速度比临界阻尼情况缓慢，因此，称为过阻尼情况。（一）.欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应则有：式中，称为衰减系数，

叫做阻尼振荡频率。

得单位阶跃响应为：

（二）.临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应为：

临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应是稳态值为1的无超调单调上升过程，其变化率为：

当t=0时，响应过程的变化率为零；当t>0时，响应过程的变化率为正，响应过程单调上升；当时，响应过程的变化率趋于零，响应过程趋于常值1。

（三）.过阻尼二阶系统的单位阶跃响应令：得过阻尼二阶系统的单位阶跃响应：响应特性包含着两个单调衰减的指数项，其代数和决不会超过稳态值1，因而过阻尼二阶系统的单位阶跃响应是非振荡的，通常称为过阻尼响应。二阶系统单位阶跃响应曲线三.欠阻尼二阶系统的动态过程分析（一）.延迟时间的计算当时，也可用下式近似计算：

（二）.上升时间的计算当阻尼比一定时，阻尼角不变，系统的响应速度与成反比；而当阻尼振荡频率一定时，阻尼比越小，上升时间越短。（三）.峰值时间的计算（四）.调整时间的计算（五）.超调量的计算例3-1：设系统结构如图，若要求系统具有性能指

标，试确定系统参数

K和，并计算单位阶跃响应的特征量

。

R(s)C(s)+-例3-2：设系统的初始条件为零，其微分方程如下：

求系统的脉冲响应g(t)及单位阶跃响应、超调

量、峰值时间、调整时间

四.二阶系统性能的改善1.比例—微分控制（PD）+1+-R(s)E(s)C(s)——微分器时间常数系统的开环传递函数为：其中：——开环增益令系统的闭环传递函数为：比例—微分控制不改变系统的自然频率，但可增大系统的阻尼比。当输入为单位阶跃函数时

令，取拉氏反变换得系统的单位阶跃响应为：

上升时间

峰值时间：将式（3-4）对t求导并令其为零，有：

得：

其中：

超调量：调节时间：例3-3：设单位反馈系统开环传递函数为：其中，K为开环增益。已知系统在单位斜坡函数输入时，稳态误差。若要求试确定K与的数值，并估计系统在阶跃函数作用下的动态性能。结论：比例—微分控制可以增大系统的阻尼，使阶跃响应的超调量下降，调节时间缩短，且不影响常值误差及系统的自然频率。微分器对于噪声，特别是对于高频噪声的放大作用，远大于对缓慢变化输入信号的放大作用，因此在系统输入端噪声较强的情况下，不宜采用PD控制方式。2.测速反馈控制-R(s)E(s)C(s)-其中例3-4：设控制系统如下图所示。试确定使系统阻尼比为0.5的值，并计算原系统与测速反馈系统中各项性能指标。-R(s)E(s)C(s)-结论：测速反馈也可以增大系统的阻尼，使阶跃响应的超调量下降，调节时间缩短，但响应时间上升,且不影响常值误差及系统的自然频率。3-4线性系统的稳定性分析一.稳定性的基本概念所谓的稳定性是指系统在扰动消失后，由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能。

大范围稳定系统

小范围稳定系统线性系统的稳定性若线性控制系统在初始扰动的影响下，其动态过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零（原平衡点），则称系统渐近稳定。二.系统稳定性的充分必要条件

设一系统的闭环传递函数为：

设线性系统在初始条件为零时，作用一个理想单位脉冲，这时，系统的输出增量为脉冲响应c(t)。若时，脉冲响应。即输出增量收敛于原平衡工作点，则线性系统是稳定的。

当输入为单位脉冲函数时，输出为：

对上式进行拉氏反变换得系统的单位脉冲响应为：

由上式可以看出：要使

必须使特征方程的根全部在s平面的左半平面上。由此得出线性系统稳定的充分必要条件为：闭环系统特征方程的所有根均具有负实部。

三．劳思—赫尔维茨稳定判据

设线性系统的特征方程为：

则使线性系统稳定的必要条件为：在特征方程中各项系数为正数。线性系统稳定的充分必要条件为：由系统特征方程各项系数所构成的主行列式，及其顺序主子式全部为正。即：

推论（李纳德—戚泊特稳定判据）——：在特征方程的所有系数为正的条件下，若所有奇次顺序赫尔维茨行列式为正，则所有偶次赫尔维茨行列式亦必为正，反之亦然。例3-5：设某单位负反馈系统的开环传递函数为：试用赫尔维茨稳定判据确定使闭环系统稳定的K及T的取值范围。四．劳思稳定判据

设线性系统的特征方程为：列劳思表：

系统稳定的充分必要条件：劳思表中第一列各值均为正。如果劳思表中第一列中出现小于零的数值，系统就不稳定，且第一列各系数符号的改变次数代表特征方程的正实部根的数目。例3-6：设系统特征方程为：

试用劳思稳定判据判断系统的稳定性。

劳思稳定判据的特殊情况：1.劳思表中某行的第一列项为零，而其余项不为零，或不全为零。用因子(s+a)乘以原特征方程，其中a可以是任意正数，再对新的特征方程应用劳思判据。例3-7：系统的特征方程为：试判断系统的稳定性。2.劳思表中出现全零行用全零行上面一行的系数构造一个辅助方程F(s)=0，并将辅助方程对复变量s求导，用所得导数方程的系数取代全零行的元素，然后，按劳思表的要求继续。例3-8：系统的特征方程为：试判断系统的稳定性。例3-9：设系统特征方程如下，试用劳思判据确定

系统正实部根的个数。

-五.劳思稳定判据的应用令s1=s+a（a为给定稳定度）代入原系统特征方程，得到一个以s为变量的新特征方程，对新特征方程应用劳思稳定判据，可以判别系统的特征根是否全位于s=-a垂线之左。应用劳思判据可以确定一个或两个可调参数对系统稳定性的影响。例3-10：某系统如下图所示，其K是待定参数，已知，

试用劳思稳定判据确定使

闭环系统稳定的K取值范围，如果要求闭环系

统的极点全部位于s=-1之左，问K值范围应取

多大？

1++-R(s)C(s)例3-11：系统的特征方程为求在s平面右半部的特征根数，并求出特征根。例3-12：系统方框图如下所示，若系统以的频率作等幅振荡，利用劳思表求和的值。

3-5线性系统的稳态误差计算一.误差与稳态误差G(s)H(s)R(s)C(s)E(s)-E(s)=R(s)-C(s)H(s)

误差e(t)是时间t的函数定义稳态误差为：由拉氏变换的终值定理可得：

例3-13：设单位负反馈系统的开环传递函数为，输入信号为，试求其稳态误差。二.系统类型当输入信号一定时，即R(s)一定时，与(s)H(s)有关。

一般情况下：

K——开环增益，——时间常数当时，为零型系统；当时，为一型系统；当时，为二型系统；……令1.系统类型；2.开环增益；3.输入信号的形式和幅值。三.阶跃输入作用下的稳态误差与静态位置误差系数对于标准单位负反馈控制系统，当输入信号为单位阶跃输入时，得各型系统在其作用下的稳态误差为：习惯上，常采用静态位置误差系数表示各型系统在阶跃输入作用下的位置误差。

如果要求系统对于阶跃输入作用不存在稳态误差，则必须选择I型或I型以上的系统。

四.斜坡输入作用下的稳态误差与静态速度误差系数

对于标准单位负反馈控制系统，当输入信号为速度输入函数，则各型系统的稳态误差为：

0型系统在稳态时不能跟踪斜坡输入；对于I型单位反馈系统，稳态输出速度恰好与输入速度相同，但存在一个稳态位置误差。对于II型及II以上的系统，稳态时能准确地跟踪斜坡输入信号，不存在位置误差。如果用静态速度误差系数表示系统在斜坡（速度）输入作用下的稳态误差，得：

五．加速度输入作用下的稳态误差与静态加速度

误差系数

对于标准单位负反馈控制系统，当输入信号为加速度输入时，则，得各型系统在加速度输入作用下的稳态误差为：

0型及Ⅰ型单位反馈系统在加速度函数输入作用下不能跟踪加速度输入；

Ⅱ型单位反馈系统，稳态输出的加速度与输入加速度函数相同，但存在一定的稳态位置误差。Ⅲ型及Ⅲ型以上的单位反馈系统，只要系统稳定，其稳态输出能准确跟踪加速度输入信号，不存在位置误差。

如果用静态加速度误差系数表示系统在加速度输入作用下的稳态误差得：

输入信号作用下的稳态误差对照表例3-14：一控制系统如下图所示，图中

试选择a和b的值，使系统由Ⅰ型系统提高为Ⅲ型系统。例3-15：设复合控制系统如图所示，其中，

要求当时，系统的稳态

误差。

r(t)c(t)++-例3-16：无论对于单位反馈系统还是非单位反馈系统，误差均定义为系统的输入量与输出量之差，即：

现在设闭环系统的传递函数为：

证明：系统在单位斜坡函数输入作用下，不存在稳态误差的条件是和

六.动态误差系数将在s=0的邻域内展成泰勒级数，得：

对上式进行拉氏反变换得：——动态误差系数一种求解动态误差系数的简便方法令：

则误差传递函数为：

稳态误差为：

又因为：

正是要求的动态误差系数。

在一个特定的系统中，可以建立某些动态误差系数与静态误差系数之间的关系：0型系统：

Ⅰ型系统：

Ⅱ型系统：

例3-17：设单位反馈控制系统的开环传递函数为：

若输入信号为，试求系统的稳态误差。

作业自动控制原理（第四版） P134-136

3-4，3-7，3-11，3-14，3-15（2）， 3-16（2），3-18简明教程（第一版） P135-137

3-4，3-11，3-15（2），3-16（2）简明教程（第二版） P132-135

3-3，3-9，3-13（2），3-14（2）自动控制原理

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2023/2/4第四章线性系统的根轨迹法1.根轨迹法的基本概念2.绘制根轨迹的基本法则4.系统性能的分析3.广义根轨迹1.1根轨迹法的基本概念一.根轨迹的定义根轨迹是开环系统某一参数从零变到无穷时，闭环系统特征方程式的跟在s平面上变化的轨迹。二.根轨迹与系统性能1.稳定性2.静态性能3.动态性能三.闭环零、极点与开环零、极点之间的关系闭环系统根轨迹增益，等于开环系统前向通道根轨迹增益。对于单位反馈系统，闭环系统根轨迹增益就等于开环系统根轨迹增益。闭环零点由开环前向通道传递函数的零点和反馈通道传递函数的极点组成。对于单位反馈系统，闭环零点就是开环零点。闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益均有关。四.根轨迹方程根轨迹方程的定义：

令闭环传递函数的分母为零，得闭环系统特征方程为：即：其中zj为已知的开环零点；pi为已知的开环极点；K*从零变到无穷。上式即为根轨迹方程。描述根轨迹的两个方程：相角条件：模值条件：4-2根轨迹绘制的基本法则法则1：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点(有限零点或无穷远零点)。法则2：根轨迹的分支数与开环有限零点数m和有限极点数n中的大者同等，它们连续并且对称于实轴。法则3：实轴上的某一区域，若其右边开环实零点、极点的个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。法则4：当开环有限极点数n大于有限零点数m时，有n-m条根轨迹分支，其沿着实轴的夹角为，交点为的一组渐进线，且趋于无穷远处，其中渐进线是s值最大的根轨迹，满足根轨迹法则2。法则5：法则6：两条或两条以上根轨迹分布在s平面上相遇后又立即分开的点称为分离点；分离点的坐标d是下列方程的解。若根轨迹与虚轴相交，则交点上的K*值和值可用老思判据确定，也可令闭环特征方程中，然后分别令其实部和虚部为零而求得。法则7：根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴的夹角称为起始角，用表示；根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹角，称为终止角，用表示。举例例4-1：设系统开环传递函数为试绘制该系统的根轨迹。例4-2：某负反馈控制系统的开环传递函数为：绘制根轨迹图。例4-3：某负反馈控制系统的开环传递函数为：绘制根轨迹图。例4-4：某负反馈控制系统的开环传递函数为：绘制根轨迹图。二.闭环极点的确定对于特定K值下的闭环极点，可以用模值条件确定。一般来说，比较简单的方法是先用试探法确定闭环极点的数值，然后用综合法得到其余的闭环极点。如果在特定的K值下，闭环系统只有一对复数极点，那么可以直接在概略根轨迹图上，用上述方法获得要求的闭环极点。例4-5：设系统开环传递函数为：绘制闭环系统的根轨迹，并确定K=4时的闭环极点。三.附加开环零点的作用设系统开环传递函数为式中，为附加的开环实数零点，其值可在s左半平面内任意选择。当时，表示有限零点不存在的情况。4-3广义根轨迹广义根轨迹系统的参数根轨迹开环传递函数中零点个数多于极点个数时的根轨迹零度根轨迹一.系统的参数根轨迹以非开环增益为可变参数绘制的根轨迹称为参数根轨迹。等效变换：设系统开环传递函数中的可变参数为A，若对闭环特征方程进行变换。得如下形式：其中：例4-6：设位置随动系统如下图所示，图中系统I为比例控制系统，系统II为比例-微分控制系统，系统III为测速反馈控制系统，表示微分器时间常数或测速反馈系统。试分析对系统性能的影响，比较系统II和系统III在具有相同阻尼比时的有关特点。例4-7：设单位反馈系统的开环传递函数为其中开环增益K可自行选定，试分析时间常数对系统性能的影响。二..零度根轨迹如果所研究的控制系统为非最小相位系统，则有时不能采用常规根轨迹的绘制法则来绘制系统的根轨迹，因为起相角遵循条件，而不是条件，故一般称之为零度根轨迹。零度根轨迹的来源非最小相位系统中包含s最高次幂的系数为负的因子控制系统中包含有正反馈内回路例4-8：设某正反馈控制系统如下图所示：试绘制正反馈系统的根轨迹。根轨迹方程为：即：描述根轨迹的两个方程：相角条件：模值条件：法则4：当开环有限极点数n大于有限零点数m时，有n-m条根轨迹分支，其沿着实轴的夹角为，交点为的一组渐进线，且趋于无穷远处，其中渐进线是s值最大的根轨迹，满足根轨迹法则2。法则3：实轴上的某一区域，若其右边开环实零点、极点的个数之和为偶数，则该区域必是根轨迹。法则7：根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴的夹角称为起始角，用表示；根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹角，称为终止角，用表示。例4-9：某正反馈控制系统的开环传递函数为：绘制根轨迹图。例4-10：某正反馈控制系统的开环传递函数为：绘制根轨迹图。4-4系统性能的分析一.闭环零、极点与时间响应主导极点主导极点定义为对整个时间响应过程起主要作用的闭环极点。偶极子

如果闭环零、极点相距很近，那么这样的闭环零点、极点常称为偶极子。主导极点对时间响应的影响例4-11：某控制系统的闭环传递函数为：

该系统的单位阶跃响应为：采用主导极点法时，在全部闭环极点中，选留最靠近虚轴而又不十分靠近闭环零点的一个或几个闭环极点作为主导极点，略去不十分接近原点的偶极子，以及比主导极点距离虚轴远6倍以上的闭环零、极点。偶极子对时间响应的影响例4-12：某控制系统的闭环传递函数为：

该系统的单位阶跃响应为：当时，而a不十分接近坐标原点，上式可简化为：当时，而同时a又十分接近坐标原点，上式可简化为：当偶极子不十分接近坐标原点时，它们对系统的影响就甚微，可略去不计。当偶极子十分接近坐标原点时，它们对系统的影响不可略去。闭环系统零、极点位置对时间响应的影响，可以归纳为如下几点：稳定性：如果闭环极点全部位于s平面的左半平面，则系统一定是稳定的；即稳定性只与闭环极点位置有关，而与闭环零点的位置无关。运动形式：如果闭环系统无零点，且闭环极点均为实数极点，则时间响应一定是单调的；如果闭环极点均为复数极点，则时间响应一定为振荡的。二.系统性能的定性分析实数零、极点影响：零点减小系统阻尼，使峰值时间提高，超调量增大；极点增大系统阻尼，使峰值时间滞后，超调量减小。它们的作用，随着本身接近坐标原点的程度而加强。超调量：超调量主要取决于闭环复数主导极点的衰减率：并与其它闭环零、极点接近坐标原点的程度有关。调节时间：主要取决于最靠近虚轴的闭环复数极点的实部绝对值；如果实数极点距虚轴最近，并且它附近没有实数零点，则调节时间主要取决于该实数极点的模值。偶极子及其处理：如果零、极点之间的距离比它们本身的模值小一个数量级，则它们就构成了偶极子。原离原点的偶极子，其影响可略；接近原点的偶极子，其影响必须考虑。主导极点：在s平面上，最靠近虚轴而附近又无闭环零点的一些闭环极点，对系统性能影响最大，称为主导极点。凡比主导极点的实部大6倍以上的其它闭环零、极点，其影响均可忽略。作业自动控制原理简明教程（第一版）P1644-4(1)4-5(1)4-6(3)4-7自动控制原理简明教（第二版）P1614-3(1)4-4(1)4-5(3)4-6自动控制原理

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2023/2/4第五章线性系统的频域分析1.频率响应及其描述2.典型环节的Nyquist图3.对数频率特性(Bode图和Nichols图)4.Nyquist稳定判据5.稳定裕度6.频域指标与时域指标间的关系5.1频率响应及其描述一.频域分析法利用系统对正弦输入信号的稳态响应来描述系统特性，称为频域分析法。线性系统对正弦输入信号的稳态响应仍是与输入信号同频率的正弦信号，其振幅是输入信号振幅的倍，正弦输出相对正弦输入的相移是。系统的幅频特性：系统的相频特性：定义在稳态时求取的输出、输入振幅比依赖于角频率的函数为系统的幅频特性。

定义系统输出信号的稳态响应相对其正弦输入信号的相移为系统的相频特性。

系统的频率特性（频率响应）：幅频特性及相频特性统称为系统的频率响应或频率特性。记为：

二.频率特性的几何表示法

：将频率响应通过其幅频特性及相频特性表示在极坐标中的图形，称为幅相图，即Nyquist图。

2.在对数坐标中将频率响应的幅频特性与相频特性分开来表示的图形，称为对数频率特性，或Bode图。

将构成对数频率特性的的幅频特性与相频特性集中绘制于一图，称为对数幅相图，或Nichols图。

例5-1.设系统的传递函数为：

取K=45,T=0.5

试用解析法求取其频率特性（响应）

5.2典型环节的Nyquist图1.放大环节的频率特性放大环节也称为比例环节，其传递函数为：由传递函数求得其幅频特性和相频特性为：j0K2.积分环节得频率特性由频率响应求得其幅频特性及相频特性分别为：

积分环节的传递函数：其频率特性为：3.惯性环节惯性环节的传递函数为：

由传递函数求得惯性环节的幅频特性及相频特性为：

4.振荡环节的频率特性由传递函数求得惯性环节的幅频特性及相频特性为：

振荡环节的传递函数为：

5.一阶微分环节的频率响应一阶微分环节的传递函数为：

由传递函数求得惯性环节的幅频特性及相频特性为：

ReIm6.不稳定惯性环节不稳定惯性环节的传递函数为：

由传递函数求得不稳定惯性环节的幅频特性及相频特性为：

例5-2：某0型单位反馈系统

试绘制系统开环幅相曲线，即Nyquist曲线。

例5-3.设系统开环传递函数为

试绘制系统开环幅相曲线

例5-4.设系统开环传递函数为

试绘制系统开环幅相曲线

一.（对数幅频图）Bode图Bode图——对数频率特性通过两张图（幅频特性与相频特性）来表达频率响应，其中幅频特性图的纵坐标是幅频特性的对数20lg，单位为分贝（dB），采用线性分度；横坐标为采用对数分度的角频率。相频特性图的纵坐标是以度为单位的频率响应的相移，采用线性分度。5.3对数频率特性十倍频程1.放大环节的Bode图2.积分环节的Bode图积分环节在Bode图上的幅频特性为：它在幅频特性图上是一条在处穿越横轴的直线，其斜率为：3.惯性环节的Bode图惯性环节在Bode图上的幅频特性为：

由上式可以看出：在Bode图上的低频区，幅频特性可近似为：

这说明在的频段内，幅频特性是与横轴重合的直线，而在的频段内幅频特性可近似为：

在=1/T点附近的较正1十倍频程=50mm,1dB=2mm,1°=1mm4.振荡环节的Bode图振荡环节在Bode图上的幅频特性为：

在Bode图上的低频区，幅频特性可近似为：

在的频段内，幅频特性可近似为：

5.一阶微分环节的Bode图一阶微分环节在Bode图上的幅频特性为：

6.二阶微分环节的Bode图二阶微分环节的幅频特性及相频特性图7.非最小相位环节的Bode图不稳定惯性环节的Bode图

幅频特性：

相频特性：

8.时滞环节的Bode图

时滞环节的频率特性为常量1

相频特性为：9.具有正实零点和惯性的一阶微分环节的Bode图

具有正实零点和惯性的一阶微分环节的传递函数为：

幅频特性及相频特性为：当时，例5-5：试在Bode图上绘制传递函数为：

的幅频特性。

例5-6.已知系统开环传递函数为：

试绘制系统开环对数幅频渐进特性曲线。

例5-7.设系统开环传递函数为

试绘制系统开环对数幅相曲线

例5-8：设某具有时滞环节的非最小相位开环系统的

传递函数为：

试绘制该开环系统的频率响应图。

(Nyquist图与Bode图)

例5-9：已知最小相位系统的对数幅频特性如下图，

试列写系统的开环传递函数，并求出开环放

大系数K与各频率间的关系。

例5-10：已知最小相位系统的对数幅频特性如下图，试列写系统的开环传递函数二.（对数幅相图）Nichols图对数幅相图采用直角坐标系，其中，取幅频特性的对数为纵坐标，单位为dB，线性分度；取相频特性做为横坐标，单位为度，线性分度。

5.4Nyquist稳定判据一.幅角定理设s平面，存在闭合曲线包围F(s)的Z个零点和P个极点，则s沿着顺时针运动一周时，在F(s)平面上，F(s)闭合曲线包围原点的圈数：

和分别表示顺时针、逆时针包围F(s)平面的原点；表示不包围F(s)平面的原点。

二.辅助函数

建立辅助函数

若记：

则：

辅助函数F(s)具有如下特点：

F(s)的极点为开环极点，F(s)的零点为闭环极点；F(s)的极点、零点数相等；F(s)与G(s)H(s)只差一个单位。即F(s)形成的闭合曲线是G(s)H(s)形成的闭合曲线向右平移一个单位而成。

三.s平面闭合曲线的选择

当开环传递函数G(s)H(s)无虚轴上的极点时：

当开环传递函数G(s)H(s)有虚轴上的极点时：

四．G(s)H(s)开环闭合曲线的绘制1.若G(s)H(s)无虚轴上极点，

就是Nyquist曲线。

2.若G(s)H(s)有积分环节时:

3.若G(s)H(s)有等幅振荡环节：

五．闭合曲线包围原点圈数R的计算

设N为穿越(-1,j0)点左侧负实轴的次数。表示正穿越的次数和（从上向下穿越）；表示负穿越次数和（从下向上穿越）。则：

包围原点的圈数R等于包围(-1,j0)点的圈数。

六．Nyquist稳定判据

反馈控制系统稳定的充分必要条件:是半闭合曲线不穿越(-1,j0)点，且逆时针包围临界点(-1,j0)点的圈数R等于开环传递函数的正实部极点数P。例5-11：已知系统的开环幅相特性如下图所示，图中P为开环传递函数G(s)H(s)具有正实部特征根的数目，试分析它组成的闭环系统的稳定性。

P=2P=0P=0P=0例5-12：已知单位反馈系统开环传递函数为当(1)K=20,(2)当K=100时,要求判断系统是否稳定例5-13：已知单位反馈系统开环传递函数为当(1)K=2,(2)当K=20时,要求判断系统是否稳定例5-14：已知单位反馈系统开环传递函数为要求判断能使闭环系统稳定的K值范围例5-15：已知单位反馈系统开环幅相曲线（k=5,p=0,v=1）如图所示，试确定系统闭环稳定时k值的范围。

七.对数频率稳定判据

1.穿越点

设当时，

称为截止频率。称为穿越频率。设Bode图中的对数幅频曲线和对数相频曲线分别为和。

由于等于曲线，则在时，穿越负实轴的点等于在半对数坐标下，对数幅频特性时，对数相频特性曲线与平行线的交点。2.的确定

（1）.开环系统无虚轴上极点时，等于曲线。

（2）.开环系统存在积分环节时，需从对数相频特性曲线较小且的点处向上补作的虚直线，曲线和补作的虚直线构成。

（3）.开环系统存在等幅振荡环节时。

需从对数相频特性曲线起点起向上补作的虚直线直至处，曲线和补作的虚直线构成。

3.穿越次数的计算

正穿越一次：

负穿越一次：

正穿越半次：

负穿越半次：

由下向上穿越线一次。由上向下穿越线一次。由下向上起于或止于线一次。由上向下起于或止于线一次。4.对数频率稳定判据设P为开环系统正实部的极点数，反馈系统稳定的充分必要条件是：和时，曲线穿越线的次数

满足：例5-16：已知某系统开环稳定，开环幅相曲线如下图所示，试将开环幅相曲线表示为开环对数频率特性曲线，并运用对数稳定判据判断系统的闭环稳定性。

例5-17：已知某系统开环型次，P=0，开环对数相频特性曲线如下图，图中时，，试确定闭环不稳定极点的个数。

5.5．稳定裕度

在稳定性研究中，称(-1,j0)点为临界点，而闭合曲线相对于临界点的位置即偏离临界点的程度，反映系统的相对稳定性。频域的相对稳定性即稳定裕度常用相角裕度和幅值裕度来度量。

相角裕度

设为系统的截止频率则：在截止频率上，使闭环系统具有临界稳定性，需要在开环频率响应的相移上补加的附加相移，称为控制系统的相角裕度。即：幅值裕度h开环频率响应的相移等于时的角频率上，开环幅频特性值的倒数，称为控制系统的幅值裕度，记为h，得：对数坐标下，

例5-18：已知单位反馈系统

设K分别位4和10时，试确定系统的稳定裕度

例5-19：已知单位负反馈系统的开环传递函数为

设求时的值。两种频率特性图上相角裕度和幅值裕度的位置

Nyquist图

Bode图

例5-20：已知单位负反馈系统的开环传递函数为

试分别确定系统开环增益K=5和K=20时的相角裕度和幅值裕度。6.频域指标与时域指标间的关系1.系统闭环频域指标和时域指标的关系

开环频率特性为：

设系统开环相频特性可表示为：

闭环幅频特性为：

一般情况下，在的极大值附近,有：当时，为极值。谐振峰值为：

控制系统的设计中，一般先根据控制要求提出闭环频域指标，再由上式确定相角裕度和选择合适的截止频率，然后根据和选择校正网络的结构并确定参数。

2.开环频域指标和时域指标的关系

典型二阶系统的开环频率特性为：

设为截止频率，则有：

则有：

得:

求得相角裕度为：

例5-21：设一单位反馈系统的开环传递函数为：若已知单位速度信号输入下的稳态误差，相角裕度，试确定系统时域指标和。5-22.已知单位负反馈系统的开环传递函数G(s)无右半平面的零点和极点,且其对数幅频特性如图所示.试写出G(s)的表达式,用Nyquist稳定判据判断闭环系统的稳定性,并求其相角裕度.5-23.设单位负反馈的I型典型欠阻尼系统,在输入振幅A=1,频率的正弦信号时,稳态输出信号的振幅为2,相角恰好滞后90o.试求:(1)系统的闭环传递函数(2)系统的动态性能指标和(3)系统的截止频率和相角裕度测验题作业简明教程:P2085-5,5-9(1),5-11简明教程(第二版)P2045-5,5-9(1),5-11自动控制原理

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2023年2月4日第六章线性系统的校正方法1.系统的设计与校正问题2.常用校正装置及其特性3.串联校正-频域响应法5.反馈校正6.复合校正4.串联校正-根轨迹法6-1系统的设计与校正问题何谓校正？所谓校正，就是在系统中加入一些其参数可以根据需要而改变的机构或装置，使系统整个特性发生变化，从而满足给定的各项性能指标。

一.系统的初步设计步骤：

当被控对象给定后，按照被控对象的工作条件，被控信号应具有的最大速度和加速度要求等，可以初步选定执行元件的型式、特性和参数。

根据测量精度、抗干扰能力、被测信号的物理性质、测量过程中的惯性及非线性度等因素，选择合适的测量变送元件。设计增益可调的前置放大器与功率放大器。二．系统带宽的选择

-开环对数幅频特性在中频区的斜率应为－20dB/dec，同时要求中频区占据一定的频率范围，以保证在系统参数变化时，相角裕度变化不大。相角裕度具有左右的数值。

过此中频区后，要求系统幅频特性迅速衰减，以削减噪声对系统的影响。控制系统的带宽频率通常取为三．频域指标与时域指标的关系

1.二阶系统频域指标与时域指标的关系

谐振峰值:

谐振频率:

带宽频率:

截止频率:

相角裕度:

超调量:

调节时间:

2.高阶系统频域指标与时域指标的关系

谐振峰值:

超调量:

调节时间:

四.校正方法

复合校正串联校正反馈校正前馈校正1.串联校正和反馈校正：

串联校正控制器对象反馈校正RE-NC2.前馈校正：

前馈校正控制器对象ERNC-前馈校正控制器对象NC3.复合校正

+CGn(s)G1(s)G2(s)NRE+-按扰动补偿的复合控制形式

复合校正按输入补偿的复合控制形式

G1(s)Gn(s)G2(s)RE+-C五.基本控制规律

1.比例（P）控制规律

Kpr(t)m(t)c(t)e(t)-Kp称为P控制增益。

在串联校正中，加大控制器增益Kp，可以提高系统的开环增益，减小系统稳态误差，从而提高系统的控制精度，但会降低系统的相对稳定性，甚至可能造成闭环系统不稳定。因此，在系统校正设计中，很少单独使用比例控制规律。

2.比例—微分(PD)控制规律

Kp（1＋s）r(t)m(t)c(t)e(t)-为比例系数；为微分时间常数。例6-1：设比例—微分控制系统如下图所示，试分析PD控制器对系统性能的影响。在串联校正时，可使系统增加一个的开环零点，使系统的相角裕度提高，因而有助于系统动态性能的改善。

Kp（1＋s）r(t)m(t)c(t)e(t)-c(t)3.积分(I)控制规律

R(s)E(s)M(s)C(s)-在串联校正时，采用I控制器可以提高系统的型别，有利于系统稳态性能的提高，但积分控制使系统增加了一个位于原点的开环极点，使信号产生的相角滞后，于系统的稳定性不利。因此，在控制系统的校正设计中，通常不宜采用单一的I控制器。

4.比例—积分(PI)控制规律

在串联校正中，PI控制器相当于在系统中增加了一个位于原点的开环极点，同时也增加了一个位于s左半平面的开环零点。位于原点的极点可以提高系统的型别，以消除或减小系统的稳态误差，改善系统的稳态性能；而增加的负实零点则用来减小系统的阻尼程度，缓和PI控制器极点对系统稳定性及动态过程产生的不利影响。

R(s)E(s)M(s)C(s)-例6-2：设比例—积分控制系统如下图所示，其中不可变部分的传递函数为：试分析PI控制器对系统稳态性能的改善作用。R(s)E(s)M(s)C(s)-5.比例—积分—微分(PID)控制规律

R(s)E(s)M(s)C(s)-由此可以看出：当利用PID控制器进行串联校正时，除可使系统的型别提高一级外，还将提供两个负实零点。与PI控制器相比，PID控制器除了同样具有提高系统的稳态性能的有点外，还多提供一个负实零点，从而在提高系统动态性能方面，具有更大的优越性。

6-2常用校正装置及其特性

一．无源校正网络

1.无源超前网络

先进行拉氏变换，再消去中间变量，得超前网络的传递函数为：

其中，——分度系数；

——时间常数。

无源超前网络G(S)的对数频率特性如下图所示：

在最大超前角频率处，具有最大超前角，且正好处于频率和的几何中心。2.无源滞后网络其中：无源滞后网络的对数频率特性如下图所示：

在最大超前角频率处，具有最大超前角，且正好处于频率和的几何中心。3.无源滞后—超前网络

其中：无源滞后—超前网络的对数幅频渐进特性如下图所示：

二．有源校正网络1.同相输入超前（微分）有源网络

其中：2.PID（比例-积分-微分）有源网络

其中：PID（比例-积分-微分）有源网络的对数幅频渐进特性如下图所示：

三．PID控制器PID控制器的结构

6-3串联校正频率响应设计法一.校正设计方法

分析法：优点：校正装置比较直观，物理实现上容易。缺点：对设计者要求较高，有一定的工程设计经验，设计过程带有试探性。

综合法：从闭环系统性能与开环系统特性密切相关出发,根据规定的性能指标要求确定系统期望的开环特性形状,然后与系统原有开环特性相比较,从而确定校正方式、校正装置的形式和参数。

频率特性图可以清楚表明系统改变性能指标的方向。频域设计通常通过Bode图进行处理起来十分简单。

（当采用串联校正时，使得校正后系统的Bode图即为原有系统Bode图和校正装置的Bode图直接相加）对于某些数学模型推导起来比较困难的元件，如液压和气动元件，通常可以通过频率响应实验来获得其Bode图。在涉及到高频噪声时，频域法设计比其他方法更为方便。分析法或者综合法都可应用根轨迹法和频率响应法实现。低频段

(第一个转折频率ω1之前的频段)稳态性能中频段(ω1~10ωc既ωc频段附近)动态性能高频段

(10ωc

以后的频段)