2021届安徽省皖南八校高三上学期第二次联考数学(理)试题

皖南八校”2021届高三第二次联考数学（理科）18所理事学校新考文化2020.12考生注意：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．2•考生作答时，请将答案答在答题卡上•选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超．出．答．题．区．域．书．写．的．答．案．无．效．，在．试．题．卷．、草．稿．纸．上．作．答．无．效．．3・做选考题时,考生须按照题目要求作答,并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.一、选择题：本题共12小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．TOC\o"1-5"\h\z1.若集合A={—2,—1,0,1},B=（xIx3+2x<则AnB=（）A.{—1}B.{—1,0}C.{—2,—1,0}D.{—1,0,1}数系的扩张过程以自然数为基础，德国数学家克罗内克（Kronecker,1823-1891）说“上帝创造了整数，其它一切都是人造的”设i为虚数单位，复数z（2—i）=4+3i，则z的共轭复数是（）A.2+iB.2—iC・1—2iD・1+2i已知双曲线的渐近线方程是土y=0,且与椭圆x2+2y2=8有共同焦点，则双曲线的方程为（）A.y2A.y2B.X2—T=1y2C.x2—=14y2D.x2--=14.若{a}是公比为e的正项等比数列，则{lna}是（）n3n—1A.公比为e3等比数列B.公比为3的等比数列C.公差为3e的等差数列D.公差为3的等差数列5.A（6,13）和B（12,11）是平面上圆C上两点，过A，B两点作圆C的切线交于x轴上同一点，则圆C的面积为（)8%A.82阮85兀43kB.2C.8D.46.如图，四棱锥P—ABCD中，PA丄平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，PA=1.过BD作与侧棱PC垂直的平面BDE，交PC于点Z则CE的长为（）D．D．7.已知正实数a,b,满足a＞b，贝9(A.ln(a—bA.ln(a—b+1)<0B.兀a-b<3a-bC.a+1>b+1abD.a-1>b-1ab8．魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中,称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”(如图),刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为兀:4.在某一球内任意取一点，则此点取自球的一个内接正方体的“牟合方盖”的概率为()A．B．DA．B．D．9.如图，在平面直角坐标系xOy中，点M(x,y)为阴影区域内的动点(不包括边界)，这里Ix＜兀,1y＜兀，贝下列不等式恒成立的是()A.sin(x-y)>0B.sin(x-y)<0C.cos(x-y)>0D.cos(x-y)<010.设正实数a，b，c,满足e2a=blnb=cec=2，则a，b，c的大小关系为()A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<a<c

11．已知正项数列｛a11．已知正项数列｛a｝的前n项和为S,nn如果VneN*都有Sn1)+——

a丿

n数列｛b｝满足nTOC\o"1-5"\h\zb+S=9,neN*，数列｛c｝满足c=bbb,neN*.设T为｛c｝的前n项和，则当T取得最大nn2nnnn+1n+2nnn值时，n的值等于（）D．20A．17B．18C．1912.已知直线y=a（x—1）（a>0）与曲线f（x）=cosx（xe（—兀,兀））相切于点A、D．20若A、B两点对应的横坐标分别为xi，x2（xi<叮，则（1-珥皿xi二（）A.—1B.2C.1D.—2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.兀厂13.兀厂己知角a+g的终边与单位圆交于点卩43)5'5丿，则cos(2a—76］的值为

I6丿（i\n14•若x2+—展开式的各项系数之和为32,则展开式中的含x4项的系数为.（用数字作答）.kx丿x2y215.如图所示，已知MN为双曲线石-厉二1（a>0,b>0）上关于原点对称的两点，点M与点°关于25ME=1625ME=16MQ兀直线NE交双曲线右支于点戶，若ZNMP=x轴对称，16.已知a=（x，0）（x>0）,b=（1,0），若JaI2—IbI2+Jla-bI=1aIJlaI，则a=.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题,每个试题考生都必须作答•第22、23题为选考题，考生根据要求作答•一（一）必考题：共60分．且bsinA=2£3acos217．（12分）已知三角形ABC三内角A，B，C且bsinA=2£3acos21）求角B；,兀（2）若A=-，角B的平分线交AC于点D,CD=2，求SBCD△18.（12分）8月10日，2020年《财富》世界500强排行榜正式发布．中国大陆（含香港）公司数量达到124家，历史上第一次超过美国（121家）．2008年中国加入世贸组织时中国大陆进入世界500强的企业12家，以后逐年增加，以下是2016——2020年（年份代码依次为1，2，3，4，5）中国大陆进入世界500强的企业数量．12345103109111119124（1）已知可用线性回归模型拟合尹与x的关系，求尹关于x的回归方程.并预测2021年中国大陆进入世界500强的企业数量，结果取整；（2）2020年《财富》榜单显示共有7家互联网公司上榜，中国大陆4家、美国3家．现某财经杂志计划从这7家公司中随机选取3家进行深度报道，记选取的3家公司中，中国大陆公司个数为求E的分布列与期望．参考公式：参考数据：壬y=566，fxy=1750.参考公式：y-y）工x-y-y-y）工x-y-nx-yb==,a=y-bx入乙x2一nx2入19．（12分）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，已知AB//CD,AD丄CD,AB=AD=-如图，正方形ADEFM为EC的中点.求证：BMII平面ADEF；求平面bmd与平面ABF所成锐二面角的余弦值.20．(12分)(1)已知函数f(x)二一―x+m-e-x(meR).kx丿求证：当m=0时，函数f(x)在(-g,0)内单调递减；若函数f(x)在区间(1,2)内有且只有一个极值点，求m的取值范围.21．(12分)已知抛物线C：y2二2px(p>0)，点P为y轴左侧一点,A,B为抛物线C上两点，当直线AB过抛物线C焦点F且垂直于x轴时，AOB面积为2.求抛物线C标准方程；若直线PA,PB为抛物线C的两条切线，设PAB的外心为M(点M不与焦点F重合)，求sinZPFM的所有可能取值.(二)选考题：共10分•请考生在第22、23题中任选一题作答•如果多做，则按所做的第一题计分.22.［选修4-4：坐标系与参数方程］(10分)x二2+2cosa已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为彳小•(a为参数)以原点O为极点，x轴［y二2sina的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，直线l的极坐标方程为P(sin9+cosO)=1.求圆C普通方程和直线l直角坐标方程；(兀)点P极坐标为1,-，设直线l与圆C的交点为A，B两点A，B中点为Q求线段PQ的长.k2丿23．［选修4-5：不等式选讲］(10分)已知x>0,y>0,叮x+p'y=2，证明：(1)x2+y2>2；2）+y1.\!x+1y+1“皖南八校”2021届高三第二次联考•数学（理科）参考答案、解析及评分细则2）+y1.\!x+1y+1“皖南八校”2021届高三第二次联考•数学（理科）参考答案、解析及评分细则1．A因为B=(xIx2+2x<o},所以B={xI-2<x<0},因为A={—2,—1,0,1},所以AcB={—1}.2．C•••z(2-i)=4+33z=守==響=1+2i，•••z=1-23．Bx2y2x2y2椭圆x2+2y2=8，即瓦+T=1的焦点为（±2,0）-可设双曲线的方程为石-厉=1（a>0,b>°）'可得a2+b2=4.由渐近线方程是\：3x±y=°，可得一=，解得a=1,b=、：3，则双曲线的方程为a4.D令b=Inan3n-1则b=lna，所以b-bn+13n+2n+1na=ln3nI2

a3n-1=lne3=3.在ACD中，AD=p(6—5)2+(13—0)2=\!70,AE=罟DE*(9-5)2+(12-0)2=4帀,CADsAEDCADsAED，故CDADAEED亠AD-AE^/i7085kr幺CA—，故圆C面积为-.ED48D依题意，PB丄BC,PC丄BE，所以BC2=CExCP，易知PB=迈,CP仝，则CE的长为<3T*D对A，取a=3,b=2，则ln（a一b+1）=ln2>0，故错误；对B，取a=3,b=2，则兀1>31，故11511711错误；对C，取a=石,b=，则2+=怎<4+=，故错误；对D，由a>b>0可知〒>一，由42244ba同向不等式相加的性质可得a+b>b+丄，可得a—->b—baab8.C设球的直径为J3a，则球的内接正方体的棱长为q，正方体的内切球的半径r=2,・•・正方体的内切球的体积V・•・正方体的内切球的体积V内接球又由已知“内接球=—V4牟合方盖V牟合方盖・此点取自球的内接正方体的“牟合方盖”的概率为V牟合方盖・此点取自球的内接正方体的“牟合方盖”的概率为U3]——a〔2丿4/39兀9.A由于IxIv兀,1ylv兀，则Ix—ylv2兀.设与y=x相平行的直线的方程为x—y=m，当直线x—y=m过点（—兀，兀）时，m=—2兀；当直线x—y=m过点（—兀,0）和（0,兀）时，m=—兀；直线x—y=m过点（0,—k）和（兀,0）时，m=兀.则由图中阴影部分可得一2兀vx—yV—兀或0vx—y<兀，这里—兀Vx<兀，—兀vyV兀.则一定有sin（x-y）>0.2丿10.B设f(x)=xex(x>0)，易得f(x)在(0,+8)单调递增，xe-,1时，f(x)2丿c，所以ce£,1，blnb=lnb•einb=cec，故lnb=c，即b=ece(J7,e)，而a=ln-2V丄，所以avcvb.^2c，11-D当n二1时，Si=11-D当n二1时，Si=ai=2，整理得a2=1，因为a>0，所以a二1,1n1当n2时，Sn=2r1)S—S+Inn-1S-S丿nn-1,可得S+S=,所以S2-S2=1,即数列(2}nn-1S—Snn-1nnn-1是一个以1为首项，1为公差的等差数列，所以S2=1+(n-1)=n，由a>0，可得S>0，故S=乔,nnnn92r2丁]92当1n20时，b>0；当n21时，b<0，nn故聲芒18时,c>0n当n故聲芒18时,c>0n当n二19时,c<0；当n二20时,19c>0,当n21时,20c<0，n又c+cW=1920丿'2—<21丿(9-押-J22)>0，故当n二20时,T取得最大值.n12.C如图直线l与f(x)=cosx相切于点力，则A(x,cosx),f(x)=-sinx，直线过定点(1，0)，则111=一sinx,.・.(1一x)tanx1=一sinx,.・.(1一x)tanx=1.x-1111则24253sina+—二一,cosa+—=I6J5L6丿45(兀)[r兀)兀r兀)r兀)cos2a——=cos2a+—=2sina+—cosa+——L6丿1L6丿2_L6丿L6丿13由题意242514.10由展开式的各项系数之和为32,则2n=32,n=5,Tr+1=Cr(x2)-r5x-r=Crx10-3r.令10—3厂=45解得r二2，所以展开式中的含x4项的系数为10.525181丿15.丁设M(x,y),P(x,y),则N(—x,-y),Q(x,-y).由MEMQ，得Ex,—二y从4181丿MPy1而有S'=hkPN=仁=-扑，又ANMP=%，kMN=十，所以MPy11。1MNxPN1x2-1--斗=1a2b2x2~^r-里=1a2b2又由MNxPN1x2-1--斗=1a2b2x2~^r-里=1a2b2又由<b2b2x从而得到k•k=所以k-k=-fPMPNy1PMPNa2<nA9y——、16x丿11+冬b2b2x从而得到k•k=所以k-k=-fPMPNy1PMPNa2<nA9y——、16x丿11+冬=5a2416=—，所以e=16a2如图，构造三角形DC一1,SIaI2一|bI2+a-b丨=1a丨JaI等价于x2-1+Jx-1=xv'x,ABC,AD为BC边上的高且AD=1,其中AB=x,AC=，则BD=^x2-1,=1AB-AC-sinABAC=ABC22AD-Be,△即—x、jxsinABAC=—22则sinABAC=1，故AB2+AC2=BC2,x2-1+二(Xjx)2,贝yx2+x=化简得x2-x-1=0，又x>0，解得x二耳上1，故17.解：（1）因为bsinA=2<3acos2，由正弦定理可得sinBsinA=2V3sinAcos2[-—=2V3sinAsin2—,2分B(兀、b因为0vAv兀,0<Bv兀，所以sinC>0,—g0,—,sin—>0,2y2丿2BBB贝y2sincos=2.3sin2一,2^2^2^4分故tan|=£，所以B=才.6分⑵由⑴可知zabd=zcBBB贝y2sincos=2.3sin2一,2^2^2^4分故tan|=£，所以B=才.6分⑵由⑴可知zabd=zcbd=彳，又A=冷；斤以zadb=巻zcdb=12，可得ZBCD=善所以BC=BD,8分CDBD在BCD中，由正弦定理可得一=sin6.5兀

sin-12.5兀△sin故BD=CD•―12=、6+%■'2

.兀

sin610分S=--CB-BD-sinZCBD=1BD2•sin，=73+2BCD22612分△18.解：(1)由题意可知x=3，y=113.2，f(x-x)2=10,ii=1为(x-x)(y-y)=工xy-X工y=1750-3x566=52,ii=1ii=1ii2分i=1b上(xi-x)(yi-y)工(x-x)2ii=15210=5・2，a=y-bx=1132-52x3=97・6'所以尹关于x的回归方程为y=97.6+5.2X.5分将X=6代入，得y=128.8129，故预计2021年中国大陆进入世界500强的企业数量大约129家.(2)由题意知E的所有可能取值为0，1，2，3,8分哙0)=C3=£哙1)=晋=1277哙2哙2)=晋=笋哙3)=晋7743510分所以E10分0i23P1121843535353511218412Eg=0x—+1x—+2x—+3x—二一12分353535357°19．（1）证明：设N为DE中点，连接MN,AN（如图），因为M为EC的中点，所以MN为CDE中位线,1所以MN//CD，且MN二-CD.21又因为AB//CD，且AB二-CD,所以AB//MN，且AB二MN.所以四边形ABMN为平行四边形，TOC\o"1-5"\h\z所以BM//AN.2分因为ANu平面ADEF,BM匸平面ADEF，所以BM//平面ADEF.4分（2）解：由已知，平面ADEF丄平面ABCD，且四边形ADEF为正方形，所以DE丄AD.又平面ADEFn平面ABCD=AD，所以DE丄平面ABCD，又DCu平面ABCD所以DE丄DC.又因为AD丄CD,DE丄DA，所以DA,DC,DE两两互相垂直.如图，以D为坐标原点，以DA,DC,DE所在的直线分别为x轴、尹轴、之轴，建立空间直角坐标系.6分(1、因为M为EC的中点，所以M0丄2.于是DB=(1丄0),DMV2丿设平面BDM的法向量为设平面BDM的法向量为n=(x,y,z)，则n-DB=0,n•DM=0.所以x+y=0,y+2z=0-令x=1，则n=(1,一1,2)二8分易知平面ABF的法向量为DA=(1,0,0)8分设平面BMD与平面ABF所成锐二面角为0,则cos0=|cos〈n,DA〉1=n^DAmi-1dai=丄卫<66所以平面bmd与^abf所成锐二面角的余弦值为*-12分20.(1)证明：函数f(x)的定义域为(一8,0)U(0,+◎.1分x3-x2-x-1当m=0时，f(x)=e-x--x22分设g(x)=x3-x2-x-1，贝yg'(x)=3x2-2x-1=(3x+1)(x-1).则当xe(1\―叫―3时，g'(x)>0，函数g(x)单调递增;V3丿(1A当xe-3,0时g'(x)<0，函数g(x)单调递减.4分k3丿(1A22所以在(—a),0)内，函数g(x)的最大值为g—3=—27•k3丿27即在(—8,0)内，函数g(x)<0.由于e-x>0,x2>0，所以在(—8,0)上,f'(x)<0.5分所以函数f(x)在(—8,0)上单调递减.6分2)解：x2)解：x3—(m+1)x2—x—1x27分设g(x)二x3—(m+1)x2—x—1,g'(x)二3x2—2(m+1)x—1.若函数f(x)在区间(1,2)内有且只有一个极值点，则函数g(x)在区间(1,2)上有且只有一个零点，且g(x)在这个零点两侧异号．设x,x(x<x)是函数g'(x)的两个零点1212(A二4(m+1)2+12>0，方程g'(x)=0有两个不相等的实数根).则函数g(x)在(—8,x)内单调递增，在(x,x)内单调递减，在(x,+8)内单调递增.由于x,x(x<x)11221212是方程3x2-2(m+1)x-1-0的两根，且x1-x2=—9分<g(1)<0!g⑵>0则x<0,9分<g(1)<0!g⑵>0122若函数g(x)在区间(1,2)上有且只有一个零点x0，则1解得—2<m<4.10分当xe(1,x)时，g(x)<0,xe(x,2)时，g(x)>0，所以g(x)在这个零点两侧异号，即f(x)在这个零00点两侧异号．11分当m<—2时，g(1)=—m—20.又g'⑴>0,g'(x)>0在(1,2)内成立，所以g(x)在(1，2)内单调递增，故f(x)无极值点.

当m4时，g(2)0,g(0)<0'易得xe(1,2)时，g(x)<0，故f(x)无极值点.><亠所以当函数f(x)在区间(1,2)内有且只有一个极值点时，m的取值范围是-2,二・12p21•解：(1)当直线AB过抛物线焦点F且垂直于x轴时当m4时，g(2)0,g(0)<0'易得xe(1,2)时，g(x)<0，故f(x)无极值点.><亠所以当函数f(x)在区间(1,2)内有且只有一个极值点时，m的取值范围是-2,二・12p21•解：