高一（下学期）期末考试数学试卷

第第页答案第=page11页，共=sectionpages22页高一（下学期）期末考试数学试卷（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、多选题1．下列抽样方法是简单随机抽样的是（

）A．某工厂从老年、中年、青年职工中按2∶5∶3的比例选取职工代表B．用抽签的方法产生随机数C．福利彩票用摇奖机摇奖D．规定凡买到明信片最后四位号码是“6637”的人获三等奖2．若直线a平行于平面α，则下列结论正确的是（

）A．a平行于α内的有限条直线B．α内有无数条直线与a平行C．直线a上的点到平面α的距离相等D．α内存在无数条直线与a成90°角3．设，，为不同的直线，，，为不同的平面，下列四个命题中错误的是（

）A．若，，则B．若，，，则C．若，，，，则D．若，，，，则4．小王于2017年底贷款购置了一套房子，根据家庭收入情况，小王选择了10年期每月还款数额相同的还贷方式，且截止2021年底，他没有再购买第二套房子．如图是2018年和2021年小王的家庭收入用于各项支出的比例分配图：根据以上信息，判断下列结论中正确的是（

）A．小王一家2021年用于饮食的支出费用跟2018年相同B．小王一家2021年用于其他方面的支出费用是2018年的3倍C．小王一家2021年的家庭收人比2018年增加了1倍D．小王一家2021年用于房贷的支出费用与2018年相同5．已知正方体的棱长为2，点是棱的中点，点在四边形内(包括边界)运动，则下列说法正确的是（

）A．若在线段上，则三棱锥的体积为定值B．若在线段上，则与所成角的取值范围为C．若平面，则点的轨迹的长度为D．若，则与平面所成角正切值的最大值为二、单选题6．已知，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，，，，则“，相交“是“，相交”的（

）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件7．某校有男生3000人，女生2000人，学校将通过分层随机抽样的方法抽取100人的身高数据，若按男女比例进行分层随机抽样，抽取到的学生平均身高为，其中被抽取的男生平均身高为，则被抽取的女生平均身高为（

）A． B． C． D．8．从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角的关系是（

）A．互为余角 B．相等 C．其和为周角 D．互为补角9．某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生,其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图,估计这次测试中数学成绩的平均分、众数、中位数分别是（

）A．73.3，75，72 B．72，75，73.3C．75，72，73.3 D．75，73.3，7210．对于数据：2、6、8、3、3、4、6、8，四位同学得出了下列结论：甲：平均数为5；乙：没有众数；丙：中位数是3；丁：第75百分位数是7，正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．411．为了贯彻落实《中共中央国务院全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的文件精神，某学校结合自身实际，推出了《植物栽培》《手工编织》《实用木工》《实用电工》《烹饪技术》五门校本劳动选修课程，要求每个学生从中任选三门进行学习，学生经考核合格后方能获得该学校荣誉毕业证，则甲､乙两人的选课中仅有一门课程相同的概率为（

）A． B． C． D．12．已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，CC1=E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为A．2 B． C． D．1三、填空题13．如图，在棱长为1的正方体中，点E、F、G分别为棱、、的中点，P是底面ABCD上的一点，若平面GEF，则下面的4个判断①点P的轨迹是一段长度为的线段；②线段的最小值为；③；④与一定异面．其中正确判断的序号为__________．14．甲、乙两同学参加“建党一百周年”知识竞赛，甲、乙获得一等奖的概率分别为、，获得二等奖的概率分别为、，甲、乙两同学是否获奖相互独立，则甲、乙两人至少有人获奖的概率为___________.15．数据，，…，平均数为6，标准差为2，则数据，，…，的方差为________.16．将正方形沿对角线折起，并使得平面垂直于平面，直线与所成的角为__________.四、解答题17．如图，在直三棱柱中，，G是棱的中点．(1)证明：；(2)证明：平面平面．18．甲、乙两台机床同时生产一种零件，在天中，两台机床每天生产的次品数分别为：甲：；乙：．（1）分别求两组数据的众数、中位数；（2）根据两组数据平均数和标准差的计算结果比较两台机床性能．19．某大学艺术专业名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了名学生，记录他们的分数，将数据分成组：，，，，并整理得到如下频率分布直方图：（1）从总体的名学生中随机抽取一人，估计其分数小于的概率；（2）已知样本中分数小于的学生有人，试估计总体中分数在区间内的人数；（3）已知样本中有一半男生的分数不小于，且样本中分数不小于的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.20．某学校招聘在职教师，甲、乙两人同时应聘．应聘者需进行笔试和面试，笔试分为三个环节，每个环节都必须参与，甲笔试部分每个环节通过的概率依次为，乙笔试部分每个环节通过的概率依次为，笔试三个环节至少通过两个才能够参加面试，否则直接淘汰；面试分为两个环节，每个环节都必须参与，甲面试部分每个环节通过的概率依次为，乙面试部分每个环节通过的概率依次为，若面试部分的两个环节都通过，则可以成为该学校的在职教师．甲、乙两人通过各个环节相互独立．(1)求甲未能参与面试的概率；(2)记乙本次应聘通过的环节数为，求的值；(3)记甲、乙两人应聘成功的人数为，求的的分布列和数学期望21．如图，在三棱锥P-ABC中，平面，分别为的中点，(1)求证：MN//平面PAC(2)求证：平面PBC平面PAM22．如图，在四棱柱中，底面ABCD为菱形，其对角线AC与BD相交于点O，，，.(1)证明：平面ABCD；(2)求三棱锥的体积.参考答案：1．BC【分析】由题意，根据简单随机抽样的定义，可得答案.【详解】对于A，此为分层抽样；对于B，此为随机数表法；对于C，此为简单随机抽样；对于D，此为系统抽样.故选：BC.2．BCD【分析】根据直线与平面平行的性质即可判断.【详解】因为直线a平行于平面α，所以a与平面α内的直线平行或异面，选项A错误；选项B，C，D正确.故选：BCD.3．ACD【分析】选项ACD，可借助正方体构造反例；选项B，在平面分别取直线满足，直线满足，可证明，，即得证.【详解】A选项：取平面，，但是不垂直于平面，命题A错误．B选项：设，，在平面分别取直线满足，直线满足．因为，，所以，，又，，所以，，所以．命题B正确．C选项：平面，平面，但平面与平面不平行，命题C错误．D选项：平面平面，交线为，平面，，但与平面不垂直，命题D错误．故选：ACD4．BD【分析】由题意，根据扇形统计图的性质，可得答案.【详解】对于A，小王一家2021年用于饮食的支出比例与跟2018年相同，但是由于2021年比2018年家庭收入多，∴小王一家2021年用于饮食的支出费用比2018年多，故A错误；对于B，设2018年收入为a，∵相同的还款数额在2018年占各项支出的60%，在2021年占各项支出的40%，∴2021年收入为：，∴小王一家2021年用于其他方面的支出费用为，小王一家2018年用于其他方面的支出费用为，∴小王一家2021年用于其他方面的支出费用是2018年的3倍，故B正确；对于C，设2018年收入为a，则2021年收入为：，故C错误；对于D，小王一家2021年用于房贷的支出费用与2018年相同，故D正确．故选：BD．5．ACD【分析】A.如图，当在线段上时，当到平面的距离不变，又底面的面积是定值，所以三棱锥的体积为定值，所以该选项正确；B.如图，分析得与所成角的取值范围为，所以该命题错误；C.如图，分别是中点，点的轨迹是线段，所以该选项正确；D.点的轨迹为以中点为圆心，以1为半径的半圆，,所以的最小值为,所以与平面所成角正切值的最大值为.所以该选项正确.【详解】A.如图，因为平面平面所以平面所以当在线段上时，当到平面的距离不变，又底面的面积是定值，所以三棱锥的体积为定值，所以该选项正确；B.如图，因为所以与所成角就是与所成的角（锐角或直角），当点在时，由于△是等边三角形，所以这个角为，当时，这个角为，由图得与所成角的取值范围为，所以该命题错误；C.如图，分别是中点，点的轨迹是线段,由于,平面,平面,所以平面，同理可得平面，又平面,,所以平面平面，所以平面，，所以点的轨迹的长度为，所以该选项正确；D.如图，由题得与平面所成角为,,即求的最小值，因为,平面,所以平面,所以,所以点的轨迹为以中点为圆心，以1为半径的半圆，,所以的最小值为,所以与平面所成角正切值的最大值为.所以该选项正确.故选：ACD6．C【分析】根据直线与平面的位置关系进行判断即可.【详解】解：①若，相交，，，则其交点在交线上，故，相交，②若，相交，可能，为相交直线或异面直线．综上所述：，相交是，相交的充分不必要条件．故选：C．7．A【分析】由分层抽样求出100人中的男女生数，再利用平均数公式计算作答.【详解】根据分层随机抽样原理，被抽取到的男生为60人，女生为40人，设被抽取到的女生平均身高为，则，解得，所以被抽取的女生平均身高为.故选：A8．D【分析】做出图像数形结合即可判断.【详解】如图，A为二面角内任意一点，，，过B作于D，连接CD，因为，，所以因为，，所以，且，所以平面，且面，所以则为二面角的平面角，，为两条垂线AB与AC所成角，所以，所以两条垂线所夹的角与二面角的平面角互为补角.故选：D.9．B【解析】根据频率分布直方图,结合平均数、众数、中位数的求法,即可得解.【详解】由频率分布直方图可知,平均数为众数为最高矩形底边的中点,即中为数为:可得所以中为数为综上可知,B为正确选项故选:B【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用,平均数、众数、中位数的计算,属于基础题.10．B【分析】分别求出平均数，中位数，众数，第75百分位数即可得解.【详解】解：平均数为，故甲正确；众数为：3，6，8，故乙错误；将这组数据按照从小到大的顺序排列：，则中位数为，故丙错误；，则第75百分位数为，故丁正确，所以正确的个数为2个.故选：B.11．C【分析】先分析总的选课情况数，然后再分析甲、乙两人的选课中仅有一门课程相同的情况数，然后两者相除即可求解出对应概率.【详解】甲、乙总的选课方法有：种，甲、乙两人的选课中仅有一门课程相同的选法有：种，（先选一门相同的课程有种选法，若要保证仅有一门课程相同只需要其中一人从剩余门课程中选取门，另一人选取剩余的门课程即可，故有种选法）所以概率为，故选：C.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于分析两人的选课仅有门相同的选法数，可通过先确定相同的选课，然后再分析四门课程中如何做到两人的选课不同，根据古典概型的概率计算方法完成求解.12．D【详解】试题分析：因为线面平行，所求求线面距可以转化为求点到面的距离，选用等体积法．平面，到平面的距离等于到平面的距离，由题计算得，在中，，边上的高，所以，所以，利用等体积法，得:,解得:考点：利用等体积法求距离13．①③【分析】先证明平面平面，可判断P的轨迹是线段，结合选项和几何性质一一判断即可．【详解】分别连接，所以，又因为，则，同理，，故平面平面，又因为平面GEF，且P是底面ABCD上的一点，所以点在上．所以点P的轨迹是一段长度为，故①正确；当为中点时，线段最小，最小值为，故②错；因为在正方体中，平面，又平面，则，故③正确；当与重合时，与平行，则④错．故答案为：①③14．【分析】利用独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由题意可知，甲不中奖的概率为，乙不中奖的概率为，因此，甲、乙两人至少有人获奖的概率为.故答案为：.15．16【详解】试题分析：由题意知，，则，，而，所以所求方差为．故正确答案为16．考点：两组线性数据间的特征数的运算．【方法点晴】此题主要考查两组俱有线性关系的数据的特征数关系，当数据与中若有时，那么它们之间的平均数与方差（标准差）之间的关系是：，或是，掌握此关系会给我们计算带来很大方便．16．60°【分析】将所求异面直线平移到同一个三角形中，即可求得异面直线所成的角.【详解】如图，取，，的中点，分别为，，，则，所以或其补角即为所求的角.因为平面平面，，平面平面，平面，所以平面，又因为平面，所以.设正方形边长为，，所以，则.所以.所以是等边三角形，.所以直线与所成的角为．故答案为：60°17．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由线面垂直得到，从而求出平面，得到；（2）根据正方形得到，结合第一问求出的，得到平面，从而证明面面垂直.（1）∵平面，且平面，∴．又因为，平面，所以平面．∵平面，∴．（2）∵，易知矩形为正方形，∴．由（1）知，又由于平面，∴平面．又∵平面，∴平面平面．18．（1）甲的众数等于；乙的众数等于和；甲的中位数等于；乙的中位数等于；（2）甲乙的平均水平相当，但是乙更稳定.【分析】（1）根据众数和中位数的公式直接计算，众数是指数据中出现次数最多的数据，中位数是按从小到大排列，若是奇数个，则正中间的数是中位数，若是偶数个数，则正中间两个数的平均数是中位数；（2）平均数指数据的平均水平，标准差指数据的稳定程度，离散水平.【详解】解：（1）由题知：甲的众数等于；乙的众数等于和；甲的中位数等于；乙的中位数等于（2）甲的平均数等于乙的平均数等于甲的方差等于

乙的方差等于所以甲的标准差等于，乙的标准差因此，甲乙的平均水平相当，但是乙更稳定！【点睛】本题考查样本的众数，中位数，标准差，重点考查定义和计算能力，属于基础题型.19．（1）0.4；（2）20；（3）.【分析】（1）根据频率组距高，可得分数小于70的概率为：；（2）先计算样本中分数小于40的频率，进而计算分数在区间，内的频率，可估计总体中分数在区间，内的人数；（3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等，分别求出男生、女生的人数，进而得到答案．【详解】解：（1）由频率分布直方图知：分数小于70的频率为：故从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率为0.4；（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，故样本中分数小于40的频率为：0.05，则分数在区间，内的频率为：，估计总体中分数在区间，内的人数为人，（3）样本中分数不小于70的频率为：0.6，由于样本中分数不小于70的男女生人数相等．故分