大学物理动量与角动量

1第3章动量与角动量2力的瞬时效应：牛顿第一、第二、第三定律与力的累积效应（空间累积、时间累积）相关的三个定理：动量定理、动能定理、角动量定理特殊情况下就有：动量守恒定律、机械能守恒定律、角动量守恒定律守恒量：对于物体系统内发生的各种过程，如果某物理量始终保持不变，则称其为守恒量。表面上看，能量、动量和角动量三个定律仅是牛顿第二定律的数学变形，但是实际上它们是更为基本的物理量，它们的守恒定律具有更广泛、更深刻的意义。3（力对时间的积累效应）冲量：力和力作用时间的乘积（单位：牛顿·秒(N·s)）动量：质点质量m

和速度的乘积3.1冲量与动量定理单位：千克·米·秒-1(kg·m·s-1)恒力变力在dt时间内的元冲量：在t1至t2时间段内的冲量：4一、质点的动量定理作用于质点上的合力的冲量等于同一时间内质点动量的增量质点的动量定理微分形式积分形式5分量表示式：质点动量定理只适用于惯性系6动量：与动力学有密切的关系，是动力学参量。速度：只是从运动学角度描述物体的运动状态。动量比速度更能反映物体的运动状态。机械运动与机械运动转换时，数量关系可以用动量或动能来量度。机械运动与非机械运动转换时，只能用动能来量度。

fji

fij7

二质点系动量定理

（theoremofmomentumofparticlesystem）Fipi为质点i受的合外力，i········j质点系

为质点i受质点j的内力，为质点i的动量。对质点i

：对质点系：由牛顿第三定律有：8所以有：令则有：或质点系动量定理（微分形式）—质点系动量定理（积分形式）用质点系动量定理处理问题可避开内力。系统总动量由外力的冲量决定，与内力无关。9

§3.2动量守恒定律这就是质点系的动量守恒定律。即几点说明：

1.动量守恒定律是牛顿第二定律的必然推论。

2.动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。质点系所受合外力为零时，质点系的总动量不随时间改变。（lawofconservationofmomentum）104.若某个方向上合外力为零，5.当外力<<内力

6.动量守恒定律是比牛顿定律更普遍、更基本则该方向上动尽管总动量可能并不守恒。量守恒，且作用时间极短时（如碰撞），可认为动量近似守恒。的定律，它在宏观和微观领域均适用。7.用守恒定律作题，应注意分析过程、系统切惯性系中均守恒。3.动量若在某一惯性系中守恒，则在其它一和条件。11

▲粘附—主体的质量增加（如滚雪球）

▲抛射—主体的质量减少（如火箭发射）低速（v

<<c）情况下的两类变质量问题：下面以火箭飞行为例，讨论变质量问题。

§3.3变质量系统、火箭飞行原理

这是相对论情形，不在本节讨论之列。以随速度改变—m=m(v)，情况下，还有另一类变质量问题是在高速（v

c）这时即使没有粘附和抛射，质量也可12条件：燃料相对箭体以恒速u喷出初态：系统质量M，速度v(对地)，动量Mv

一.火箭不受外力情形（在自由空间飞行）1.火箭的速度系统：火箭壳体+尚存燃料总体过程：i(点火)f(燃料烧尽)先分析一微过程：tt+dt末态：喷出燃料后喷出燃料的质量：dm=-dM，喷出燃料速度(对地)：v-uvu13火箭壳体+尚存燃料的质量：M-dm系统动量：

(M-dm)(v

+dv)+-dM(v

-u)

火箭壳体+尚存燃料的速度(对地)：v

+dv

由动量守恒，有

Mv

=-dM(v

-u)+(M-dm)(v

+dv

)经整理得：Mdv

=-udM速度公式：14引入火箭质量比：得讨论：提高vf的途径

(1)提高u（现可达u=4.1km/s）

(2)增大N（受一定限制）为提高N，采用多级火箭（一般为三级）v

=u1lnN1+u2lnN2+u3lnN3

资料：长征三号（三级大型运载火箭）全长：43.25m，最大直径：3.35m，起飞质量：202吨，起飞推力：2800kN。15t+dt时刻：速度v-u，动量dm(v-u)由动量定理，dt内喷出气体所受冲量

2.火箭所受的反推力研究对象：喷出气体dmt时刻：速度v(和主体速度相同)，动量vdmF箭对气dt=dm(v-u)-vdm=-F气对箭dt由此得火箭所受燃气的反推力为16二.重力场中的火箭发射可得t时刻火箭的速度：忽略地面附近重力加速度g的变化，

Mt：t时刻火箭壳和尚余燃料的质量17rc§3.4质心（centerofmass）一.质心的概念和质心位置的确定×C······mi·z·riyx0定义质心C的位矢为：

质心位置是质点位置以质量为权重的平均值。为便于研究质点系总体运动，引入质心概念。18二.几种系统的质心●两质点系统r2m2m1··×r1C

m1r1=m2r2●连续体×rrcdmC0mzxy……19R●“小线度”物体的质心和重心是重合的。[例]如图示，CxCO″rO′rddxyO均质圆盘求挖掉小圆盘后系统的质心坐标。由对称性分析，质心C应在x轴上。解：

令为质量的面密度，则质心坐标为：挖空

·●均匀杆、圆盘、圆环、球，质心为其几何中心。20

§3.5质心运动定理

（theoremofmotionofcenterofmass）一.质心运动定理rcCvc×······mi·z·riyx0vi即质点系的总动量是质点系的“平均”速度21由—质心运动定理有该质点集中了整个质点系的质量和所受质心的运动如同一个在质心位置处的质点的运动，的外力。实际上是物体质心的运动。在质点力学中所谓“物体”的运动，22

系统内力不会影响质心的运动，▲在光滑水平面上滑动的扳手，▲做跳马落地动作的运动员尽管在翻转，但▲爆炸的焰火弹虽然碎片四散，但其质心仍在做抛物线运动其质心仍做抛物线运动例如：其质心做匀速直线运动23若合外力为零，二.动量守恒与质心的运动质点系动量守恒若合外力分量为0，质点系分动量守恒质点系动量守恒和质心匀速运动等价！则则相应的质心分速度不变24

1.质心系质心系是固结在质心上的平动参考系。质心系不一定是惯性系。

质点系的复杂运动通常可分解为：

在质心系中考察质点系的运动。讨论天体运动及碰撞等问题时常用到质心系。质点系整体随质心的运动；各质点相对于质心的运动——三.质心（参考）系（frameofcenterofmass）252.质心系的基本特征质心系是零动量参考系。·m1v10m2v20··m1v1m2v2质心系中看两粒子碰撞等值、反向的动量。两质点系统在其质心系中，总是具有26一、角动量力矩质量为m

的质点相对O点运动。在某时刻对O的矢径r

与质点的动量mv

的矢积定义为该时刻质点相对于O点的角动量，用L

表示。单位：kgm2/s方向：右手螺旋定则判定3.6质点的角动量和角动量定理27在圆周运动中，速度方向垂直于矢径r

：O28设在某时刻质点m

对定点O

的位矢为r

，作用在质点上的合力为F

，则F

与r

矢积定义为力F

对定点O

的力矩，用M

表示：单位：牛·米（N·m）O方向：右手螺旋定则判定力矩29O力矩的分量式:对轴的力矩力矩为零的情况:（1）力F

等于零；（2）力F

的作用线与矢径r

共线（即sinj=0）30二、角动量定理角动量力矩31质点对某固定点的角动量随时间的变化率，等于质点所受的合力对该点的力矩。表示成积分形式：冲量矩（合力矩在Δt时间内对定点的冲量矩）质点的角动量定理：对同一固定参考点，作用于质点的冲量矩等于同一时间内质点角动量的增量323.7角动量守恒定律如果对固定参考点，质点所受的合力矩为零，则质点对该固定点的角动量为一恒矢量。注意：这也是自然界普遍适用的一条基本规律。

M＝0，可以是

r=0,也可以是F=0,还可能是

r与

F同向或反向，例如有心力情况。质点的角动量守恒定律33力

力矩动量

角动量冲量冲量矩力与动量力矩与角动量动量定理(冲量与动量)角动量定理(冲量矩与角动量)动量守恒：某一时间间隔内，质点系所受外力矢量和始终为零，…角动量守恒：对固定参考点而言，质点受到的合力矩始终为零，…34例2-17：将质量为m

的小球系于轻绳一端，绳的另一端穿过光滑水平面上的小孔O用手拉住。先使小球以角速度w1

在水平面上做半径为r1

的圆周运动，然后慢慢将绳下拉，使半径缩小为r2

，求在此过程中小球的动能增量。解：以小孔O为原点，绳对小球的拉力为有心力，其力矩为零。则小球对点的角动量守恒。因：v=rw35则小球的动能增量为：36例3.18证明开普勒第二定律：对任一行星，它的位置矢量（以太阳中心为参考点）在相等的时间内扫过相等的面积。37太阳对行星的引力为有心力，故行星角动量守恒，即L

为常矢量，因此有：PP’设太阳位于O点，质量为m的行星位于P点，位矢为r，经过时间dt，行星运动到P’点，位矢为r+dr。在dt时间内，位矢r所扫过的面积dS等于ΔOPP’的面积：38德国开文学家

开普勒（JohannesKepler，1571-1630）开普勒的行星运动三大定律

每一行星沿一个椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点中。从太阳到行星所联接的直线在相等时间内扫过同等的面积。行星绕日一圈时间的平方和行星各自椭圆轨道的长半轴的立方成正比。万有引力理论：任何物体之间存在万有引力，且两物体间的引力和两物体质量的乘积成正比，和两物体距离的平方成反比，且在同一条直线上。牛顿三大定律微积分英国数学家、物理学家和哲学家艾萨克·牛顿

(IsaacNewton，1643-1727)如果说我比别人看得远些的话，是因为我站在巨人的肩膀上伽利略、哥白尼、开普勒、笛卡儿39习题2-18

我国1970年4月24日发射的第一颗人造地球卫星绕地球沿椭圆轨道运动，地球中心为椭