复变函数第四版(第四章)

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幂级数§4.3泰勒级数§4.1

复数项级数第4章级数§4.4洛朗级数1.复数列的极限设{an}(n=1,2,...)为一复数列,其中an=an+ibn,又设a=a+ib为一确定的复数.如果任意给定e>0,相应地能找到一个正数N(e),使|an-a|<e在n>N时成立,则a称为复数列{an}当n时的极限,记作

此时也称复数列{an}收敛于a.§4.1

复数项级数定理一复数列{an}(n=1,2,...)收敛于a的充要条件是[证]如果,则对于任意给定的e>0,就能找到一个正数N,当n>N时,反之,如果2.级数概念设{an}={an+ibn}(n=1,2,...)为一复数列,表达式称为无穷级数,其最前面n项的和

sn=a1+a2+...+an称为级数的部分和.如果部分和数列{sn}收敛,定理二级数收敛的充要条件是级数

和都收敛

[证]因sn=a1+a2+...+an=(a1+a2+...+an)

+i(b1+b2+...+bn)=sn+itn,

其中sn=a1+a2+...+an,tn=b1+b2+...+bn分别为

和的部分和,由定理一,{sn}有极限存在的充要条件是{sn}和{tn}的极限存在,即级数和都收敛.定理二将复数项级数的审敛问题转化为实数项级数的审敛问题.定理三[证]另外,因为的各项都是非负的实数,所以它的收敛也可用正项级数的判定法来判定.例1下列数列是否收敛?如果收敛,求出其极限.[解]1)因2)由于an=ncosin=nchn,因此,当n时,an.所以an发散.

例2下列级数是否收敛?是否绝对收敛?[解]1)

因发散;收敛,故原级数发散.3)因收敛;也收敛,

故原级数收敛.但因

为条件收敛,所以原级数非绝对收敛.2)因,由正项级数的比值审敛法知

收敛,故原级数收敛,且为绝对收敛.§4.2

幂级数1.幂级数的概念

设{fn(z)}(n=1,2,...)为一复变函数序列,其中各项在区域D内有定义.表达式称为复变函数项级数.最前面n项的和

sn(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)称为这级数的部分和.如果对于D内的某一点z0,极限

存在,则称复变函数项级数(4.2.1)在z0收敛,而s(z0)称为它的和.s(z)称为级数的和函数如果级数在D内处处收敛,则它的和一定是z的一个函数s(z):

s(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)+...当fn(z)=cn-1(z-a)n-1或fn(z)=cn-1zn-1时,就得到函数项级数的特殊情形:如果令z-a=z,则(4.2.2)成为,这是(4.2.3)的形式,为了方便,今后常就(4.2.3)讨论这种级数称为幂级数.定理一(阿贝尔Abel定理)z0xyO[证]2.收敛圆和收敛半径

利用阿贝尔定理,可以定出幂级数的收敛范围,对一个幂级数来说,它的收敛情况不外乎三种:i)对所有的正实数都是收敛的.这时,根据阿贝尔定理可知级数在复平面内处处绝对收敛.ii)对所有的正实数除z=0外都是发散的.这时,级数在复平面内除原点外处处发散.iii)既存在使级数收敛的正实数,也存在使级数发散的正实数.设z=a(正实数)时,级数收敛,z=b(正实数)时,级数发散.显然a<b,将收敛域染成红色,发散域为蓝色.RCROabCaCbxy当a由小逐渐变大时,Ca必定逐渐接近一个以原点为中心,R为半径的圆周CR.在CR的内部都是红色,外部都是蓝色.这个红蓝两色的分界圆周CR称为幂级数的收敛圆.在收敛圆的外部,级数发散.收敛圆的内部,级数绝对收敛.收敛圆的半径R称为收敛半径.

所以幂级数(4.2.3)的收敛范围是以原点为中心的圆域.对幂级数(4.2.2)来说,收敛范围是以z=a为中心的圆域.在收敛圆上是否收敛,则不一定.例1求幂级数的收敛范围与和函数.[解]级数实际上是等比级数,部分和为3.收敛半径的求法例2求下列幂级数的收敛半径4.幂级数的运算和性质

在以原点为中心,r1,r2中较小的一个为半径的圆内,这两个幂级数可以象多项式那样进行相加,相减,相乘,所得到的幂级数的和函数分别就是f(z)与g(z)的和,差与积.象实变幂级数一样,复变幂级数也能进行有理运算.设更为重要的是代换(复合)运算

这个代换运算,在把函数展开成幂级数时,有着广泛的应用.Oxyab当|z-a|<|b-a|=R时级数收敛3)f(z)在收敛圆内可以逐项积分,即

设函数f(z)在区域D内解析,而|z-z0|=r为D内以z0为中心的任何一个圆周,它与它的内部全含于D,把它记作K,又设z为K内任一点.z0Kzrz§4.3泰勒级数按柯西积分公式,有且由解析函数高阶导数公式,上式可写成在K内成立,即f(z)可在K内用幂级数表达.q与积分变量z无关,且0q<1.z0KzrzK含于D,f(z)在D内解析,在K上连续,在K上有界,因此在K上存在正实数M使|f(z)|M.因此,下面的公式在K内成立:称为f(z)在z0的泰勒展开式,它右端的级数称为f(z)在z0处的泰勒级数.

圆周K的半径可以任意增大,只要K在D内.所以,如果z0到D的边界上各点的最短距离为d,则f(z)在z0的泰勒展开式在圆域|z-z0|<d内成立.定理(泰勒展开定理)

设f(z)在区域D内解析,z0为D内的一点,d为z0到D的边界上各点的最短距离,则当|z-z0|<d时,

注：如果f(z)在z0解析,则使f(z)在z0的泰勒展开式成立的圆域的半径R等于从z0到f(z)的距z0最近一个奇点a的距离,即R=|a-z0|.yz0ax

任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数,因而是唯一的.

利用泰勒展开式,我们可以直接通过计算系数:把f(z)在z0展开成幂级数,这被称作直接展开法例如,求ez在z=0处的泰勒展开式,由于(ez)(n)=ez,(ez)(n)|z=0=1(n=0,1,2,...)，故有因为ez在复平面内处处解析,上式在复平面内处处成立,收敛半径为+.同样,可求得sinz与cosz在z=0的泰勒展开式:

除直接法外,也可以借助一些已知函数的展开式,利用幂级数的运算性质和分析性质,以唯一性为依据来得出一个函数的泰勒展开式,此方法称为间接展开法.例如sinz在z=0的泰勒展开式也可以用间接展开法得出:[解]由于函数有一奇点z=-1,而在|z|<1内处处解析,所以可在|z|<1内展开成z的幂级数.因为

例1把函数展开成z的幂级数.例2求对数函数的主值ln(1+z)在z=0处的幂级数展开式.[解]ln(1+z)在从-1向左沿负实轴剪开的平面内是解析的,-1是它的奇点,所以可在|z|<1展开为z的幂级数.推论1：

注：推论2:幂级数的和函数在其收敛圆周上至少有一个奇点.(即使幂级数在其收敛圆周上处处收敛)例如：推论3：例如：

在实变函数中有些不易理解的问题,一到复变函数中就成为显然的事情,例如在实数范围内,展开式的成立必须受|x|<1的限制,这一点往往使人难以理解,因为上式左端的函数对任何实数都是确定的而且是可导的.而如果把函数中的x换成z,在复平面内来看函数1-z2+z4-…它有两个奇点i,而这两个奇点都在此函数的展开式的收敛圆周上,所以这个级数的收敛半径只能等于1.因此,即使我们只关心z的实数值,但复平面上的奇点形成了限制.

一个以z0为中心的圆域内解析的函数f(z),可以在该圆域内展开成z-z0的幂级数.如果f(z)在z0处不解析,则在z0的邻域内就不能用z-z0的幂级数来表示.但是这种情况在实际问题中却经常遇到.因此,在本节中将讨论在以z0为中心的圆环域内的解析函数的级数表示法.§4.4洛朗级数讨论下列形式的级数:可将其分为两部分考虑:只有正幂项和负幂项都收敛才认为原级数收敛于它们的和.正幂项是一幂级数,设其收敛半径为R2：这是z的幂级数,设收敛半径为R：对负幂项,如果令z=(z-z0)-1,就得到：则当|z-z0|>R1时,即|z|<R,因此,只有在R1<|z-z0|<R2的圆环域,原级数才收敛.z0R1R2例如级数在收敛圆环域内也具有.例如,可以证明,上述级数在收敛域内其和函数是解析的,而且可以逐项求积和逐项求导