大学物理刚体运动

质量为线分布质量为面分布质量为体分布其中、、分别为质量的线密度、面密度和体密度。质量连续分布刚体的转动惯量刚体定轴转动的转动定律复习平行轴定理3-3角动量角动量守恒定律3-4刚体绕定轴转动的动能定理大学物理学电子教案角动量守恒定律大小冲量、动量、动量定理.§3-3角动量角动量守恒定律力矩的时间累积效应质点的角动量(质点对点的角动量）O定义（动量×动量臂）又称动量矩方向符合右手螺旋法则单位：千克·米2/秒

（kg·

m2·

s-1）力的时间累积效应冲量矩、角动量、角动量定理一、质点的角动量定理注意1）必须指明参考点或参考轴.

3）区别动量和角动量，前者描述平动后者描述转动

2质点的角动量定理两端对时间求导，可得2）质点相对于O点的角动量和对O轴角动量是相同的于是，上式变为

作用于质点的合力对参考点O

的力矩，等于质点对该点O的角动量随时间的变化率.质点的角动量定理3

质点系的角动量定理

设质点系由N个质点组成,对选定的某确定参考点O，第i个质点的角动量定理表达式为

对所有质点的角动量定理表达式相加可得

-----质点i的角动量

-----质点i所受的内力矩

-----质点i所受的外力矩质点系对O点的角动量

质点系对某参考点的角动量对时间的变化率等于各质点所受外力对该点力矩的矢量和质点系的角动量定理1.刚体定轴转动的角动量由转动定律刚体对转轴的角动量定义说明刚体的动量1)描述刚体的转动状态的物理量2)区别刚体的动量和角动量描述刚体的平动状态二、刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律绕中心轴以ω匀速转动的匀质圆盘的动量和角动量分别为多少?3)刚体对转轴的角动量等于刚体各质点对轴角动量的矢量和2．刚体定轴转动的角动量定理由上面的讨论知,转动定律可变为转动定律的微分形式------(t1,t2)这段时间内力矩的冲量矩合外力矩对时间的累积效果刚体定轴转动的角动量定理:作用于刚体的冲量矩等于在作用时间里角动量的增量3．刚体定轴转动的角动量守恒定律

若

M=0则当刚体所受合外力矩为零时，其角动量保持不变。------角动量守恒定律

角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.在生活中经常应用

内力矩不改变系统的角动量.

守恒条件:M=0若I不变,ω不变；若I变,ω也变，但L不变.讨论

注：角动量守恒,动量不一定守恒，反之亦然

有许多现象都可以用角动量守恒来说明.花样滑冰跳水运动员跳水光滑水平面上一静止的细杆，受力如图，问杆的动量守恒吗？角动量守恒吗？例1

A、B两圆盘绕各自的中心轴转动，角速度分别为：wA=50rad.s-1,wB=200rad.s-1。已知A圆盘半径RA=0.2m,质量mA=2kg,B圆盘的半径RB=0.1m,质量mB=4kg.试求两圆盘对心衔接后的角速度w.

解：以两圆盘为系统，尽管在衔接过程中有重力、轴对圆盘支持力及轴向正压力，但他们均不产生力矩；圆盘间切向摩擦力属于内力。因此系统角动量守恒，得到例2如图示,一匀质圆盘半径为质量为可绕过中心的垂轴O转动.的子弹以速度沿与盘半径成的方向击中沿与半径方向成的方向反弹,求盘获得的角速度.

,,初时盘静止,一质量为盘边缘后以速度解：对于盘和子弹组成的系统，撞击过程中轴O的支撑力的力臂为零，不提供力矩，其他外力矩的冲量矩可忽略不计，故系统对轴O的角动量守恒，即初时盘的角动量为零，只有子弹有角动量，故末态中盘和子弹都有角动量，设盘的角速度为则，故有

可解得：例3:一匀质细棒，质量为m，可在水平桌面上绕一端点O在桌面上转动。棒与水平桌面间的摩擦系数为t=0时棒静止在水平桌面上。这时有质量为m的物体以速度垂直与棒一端点相碰，碰后弹回速度为求棒被碰后经过多长时间棒停止转动。解：取细杆和物体为系统，碰撞过程对转轴角动量守恒，

，

碰后细杆在水平面上的摩擦力矩根据转动定律故经过秒后停下来。3-4刚体绕定轴转动的动能定理力的功,动能,动能定理.力矩的空间累积效应力的空间累积效应力矩的功,转动动能,动能定理.刚体的转动动能等于组成刚体的各质点的动能的总和

推导:一、刚体的转动动能可见，定轴转动刚体的转动动能和质点系的平动动能在本质上是一样的，两者的区别仅在描述方法上不同，一个为角量描述，一个为线量描述比较：0‘0式中设刚体在力F的作用下，绕转轴转过角位移为dθ则力F作元功如果力矩的大小和方向都不变则当刚体在此力矩作用下转过角θ时，恒力矩所作功为二、力矩的功如果力矩随时间变化,则变力矩对刚体作功为1)

M是作用在刚体上诸外力的合力矩说明:2)对于刚体定轴转动情形，因质点间无相对位移，任何一对内力作功为零。3)力矩的功本质是力的功4)力矩的功率为：当输出功率一定时,力矩与角速度成反比。由上可见，刚体转动时力矩的功和功率的表达式，与质点运动时力的功和功率的表达式在形式上是类似的，力矩和力相对应，角位移和位移相对应，角速度和速度相对应。由设在外力矩的作用下，刚体的角速度由ω1变到ω2，则在这个过程中合外力矩所作的功为三、刚体绕定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理：总外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。与质点的动能定理的表达式相似2）质点系的功能原理，机械能守恒定律对于刚体系统或质点＋刚体系统仍然成立1）力矩的功本质是力的功，刚体的转动动能本质是质点系平动动能，因此，刚体定轴转动的动能定理本质是质点系的动能定理说明例1、一根长为l、质量为m的均匀细直杆，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初杆静止在水平位置，求它由此下摆角时的角速度和角加速度。在杆的下摆过程中，对转轴O而言，只有重力矩作功，当其下摆至与水平位置成θ角的过程中，重力矩所作的总功为解法一：应用刚体定轴转动的动能定理mgO重力的功！在此过程，杆的动能增量为由刚体定轴转动的动能定理解法二：应用机械能守恒取杆和地球为一系统。整个过程只有重力作功,而重力为保守内力，因此系统的机械能守恒。选择水平位置为杆的势能零点。在水平位置时，系统的机械能为在与水平位置成θ角时，系统的机械能为

由机械能守恒，有解得

解法三：应用转动定律(上节已讲)可见,本题应用机械能守恒解题更为简单!例3一长为l、质量为m的匀质细杆，可绕光滑轴O在铅直面内摆动。当杆静止时，一颗质量为m0的子弹水平射入与轴相距为a处的杆内，并留在杆中，使杆能偏转到q=300，求子弹的初速v0。解：分两个阶段进行考虑其中(1)子弹射入细杆,使细杆获得初速度。这一过程进行得很快角动量守恒。子弹射入细杆前、后的一瞬间系统角动量分别为(2)子弹随杆一起绕轴O转动。这一过程机械能守恒。由角动量守恒，得：(1)势能零点选取细杆处于竖直位置时子弹的位置为重力势能零点，系统在始末状态的机械能为由机械能守恒，E=E0,代入q=300