自动控制原理-第2章控制系统数学模型

第2章自动控制系统的数学模型2.1建立动态微分方程的一般方法

2.2非线性系统微分方程模型的线性化2.3传递函数2.4系统动态结构图2.5自动控制系统的传递函数2.6信号流图昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系2.1建立动态微分方程的一般方法

微分方程

是控制系统最基本的数学模型，要研究系统的运动，必须列写系统的微分方程。一个控制系统由若干具有不同功能的元件组成，首先要根据各个元件的物理规律，列写各个元件的微分方程，得到一个微分方程组，然后消去中间变量，即可得到控制系统总的输入和输出的微分方程。昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系例2.1R-L-C串联电路昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系例2.2求弹簧-阻尼-质量的机械位移系统的微分方程。输入量为外力F，输出量为位移x。[解]：图1和图2分别为系统原理结构图和质量块受力分析图。图中，m为质量，f为粘性阻尼系数，k为弹性系数。mfmFF图2图1根据牛顿定理，可列出质量块的力平衡方程如下：这也是一个两阶定常微分方程。X为输出量，F为输入量。在国际单位制中，m,f和k的单位分别为：昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系[需要讨论的相关问题]：相似系统和相似量：我们注意到例2-1和例2-2的微分方程形式是完全一样的。这是因为：若令（电荷），则例2-1的结果可变为：可见，同一物理系统有不同形式的数学模型，而不同类型的系统也可以有相同形式的数学模型。[定义]具有相同的数学模型的不同物理系统称为相似系统。例2-1和例2-2称为力-电荷相似系统，在此系统中分别与为相似量。[作用]利用相似系统的概念可以用一个易于实现的系统来模拟相对复杂的系统，实现仿真研究。昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系例2.3弹簧—阻尼器系统昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系电磁力矩：—安培定律电枢反电势：—楞次定律电枢回路：—克希霍夫力矩平衡：—牛顿定律例2.4电枢控制式直流电动机昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系电机时间常数电机传递系数消去中间变量i,Mm,Eb可得：昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系例2.5

热水电加热系统，如图所示，为减小周围空气的热损耗，槽壁是绝热的，控温元件是电动控温开关。

根据能量守恒定律

昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系其中Qh——加热器供给的热量；

QC——贮槽内水吸收的热量:

Q0——热水流出槽所带走的热量:

Qi——冷水进入槽带入的热量:

Ql——隔热壁逸散的热量:C—贮槽水的热容量；V—流出槽水的流量；H—水的比热；R—热阻；Ti—进入槽水的温度；T—槽内水的温度；Te—槽周围空气温度。

整理得

昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系建立动态微分方程的步骤（1）根据元件的工作原理和在系统中的作用，确定元件的输入量和输出量（必要时还考虑扰动量），并根据需要引进一些中间变量。（2）根据各元件在工作过程中所遵循的物理或化学定律，按工作条件忽略一些次要因素，并考虑相邻元件的彼此影响，列出微分方程。常用的定律有：电路系统的基尔霍夫定律、力学系统的牛顿定律和热力学定律等等。（3）消去中间变量后得到描述输出量与输入量（包括扰动量）关系的微分方程，即元件或系统的数学模型。昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系微分方程标准形式(1)将与输入量有关的各项写在方程的右边；与输出量有关的各项写在方程的左边。(2)方程两边导数项均按降阶排列。其一般形式为昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系第2章自动控制系统数学模型

2.1建立动态微分方程的一般方法

2.2非线性系统微分方程模型的线性化

2.3传递函数

2.4系统动态结构图

2.5自动控制系统的传递函数

2.6信号流图昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系2.2非线性系统微分方程模型的线性化

1、几种常见的非线性昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系2、线性化的方法（1）忽略弱非线性环节（如果元件的非线性因素较弱或者不在系统线性工作范围以内，则它们对系统的影响很小，就可以忽略）（2）偏微法（小偏差法，切线法，增量线性化法）

偏微法基于一种假设，就是在控制系统的整个调节过程中，各个元件的输入量和输出量只是在平衡点附近作微小变化。这一假设是符合许多控制系统实际工作情况的，因为对闭环控制系统而言，一有偏差就产生控制作用，来减小或消除偏差，所以各元件只能工作在平衡点附近。2.2非线性系统微分方程模型的线性化

昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系设A(x0,y0)平衡点，函数在平衡点处连续可微，则可将函数在平衡点附近展开成台劳级数忽略二次以上的各项，上式可以写成其中这就是非线性元件的线性化数学模型昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系取一次近似，且令有例已知某装置的输入输出特性求小扰动线性化方程。解

在工作点(x0,y0)处展开泰勒级数昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系

解在处泰勒展开，取一次近似

代入原方程可得

例某容器的液位高度h与液体流入量Q满足方程式中S为液位容器的横截面积。若h与Q在其工作点附近做微量变化，试导出h关于Q的线性化方程。昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系在平衡点处系统满足

上两式相减可得线性化方程

昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系

如果一非线性元件输入输出关系如图所示此时不能用偏微分法，可用平均斜率法得线性化方程为（3）平均斜率法昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系注意：上述几种方法只适用于一些非线性程度较低的系统，对于某些严重的非线性，如

不能作线性化处理，一般用相平面法及描述函数法进行分析。昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系

2.1建立动态微分方程的一般方法

2.2非线性系统微分方程模型的线性化

2.3传递函数

2.4系统动态结构图

2.5自动控制系统的传递函数

2.6信号流图第2章自动控制系统的数学模型昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系1拉普拉斯变换2传递函数3典型环节的传递函数2.3传递函数昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系1、复数的有关概念

（1）复数、复函数

复数复函数

例1

（2）模、相角

（3）复数的共轭

（4）解析若F(s)在s点的各阶导数都存在，则F(s)在s点解析。

模相角1拉普拉斯变换昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系2、拉氏变换的定义

（1）阶跃函数像原像3、常见函数的拉氏变换昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系（2）指数函数昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系（3）正弦函数昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系（1）线性性质4、拉氏变换的几个重要定理（2）微分定理0初条件下有：昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系例求解.

例求解.

昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系（3）积分定理零初始条件下有：进一步有：

例求

L[t]=?解.

昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系例求解.

昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系（4）实位移定理例解.

昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系（5）复位移定理例例例昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系（6）初值定理例昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系（7）终值定理例例昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系5、用拉氏变换方法解微分方程L变换系统微分方程L-1变换昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系1)拉氏变换的定义

（2）单位阶跃2)常见函数L变换（5）指数函数（1）单位脉冲（3）单位斜坡（4）单位加速度（6）正弦函数（7）余弦函数6、拉氏变换小结昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系（2）微分定理3)L变换重要定理（5）复位移定理（1）线性性质（3）积分定理（4）实位移定理（6）初值定理（7）终值定理昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系4)拉氏反变换（1）反演公式（2）查表法（分解部分分式法）试凑法系数比较法留数法例1已知，求解.昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系用L变换方法解线性常微分方程0初条件n>m:特征根（极点）:相对于的模态昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系用留数法分解部分分式一般有其中：设I.当无重根时昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系例2已知，求解.例3已知，求解.昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系例4已知，求解一.解二：昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系II.当有重根时(设为m重根，其余为单根)昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系例5已知，求解.昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系1拉普拉斯变换2传递函数3典型环节的传递函数2.3传递函数昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系

2传递函数

1)定义:在零初始条件下，线性定常系统输出量拉氏变换与输入量拉氏变换之比。微分方程一般形式（通常有n≥m）：昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系微分方程一般形式：拉氏变换：传递函数：昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系2)传递函数的性质

(1)G(s)是复函数；(2)G(s)只与系统自身的结构参数有关；(3)G(s)与系统微分方程直接关联；(4)G(s)=L[k(t)]；(5)G(s)与s平面上的零极点图相对应。第2章自动控制系统的数学模型

昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系

（1）原则上不反映非零初始条件时系统响应的全部信息；（2）适合于描述单输入/单输出系统；（3）只能用于表示线性定常系统。传递函数的局限性昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系例已知某系统在0初条件下的单位阶跃响应为：试求：（1）系统的传递函数；（2）系统的增益；（3）系统的特征根及相应的模态；（4）画出对应的零极点图；（5）求系统的单位脉冲响应；（6）求系统微分方程；（7）当c(0)=-1,c’(0)=0;r(t)=1(t)时，求系统的响应。解.（1）

昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系(2)(4)如图所示(3)(5)昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系(6)（7）昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系其中初条件引起的自由响应部分昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系典型环节的传递函数对一个结构复杂的系统，可先将其划分成各个简单环节，求出相应的传递函数，然后求整个系统的传递函数。这些简单环节称为典型环节：（1）比例环节：（2）积分环节：（3）理想微分环节：（4）惯性环节：（5）二阶振荡环节：（6）二阶振荡环节：（7）迟延环节(也称时滞环节或滞后环节)：昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系

2.1建立动态微分方程的一般方法

2.2非线性系统微分方程模型的线性化2.3传递函数2.4系统动态结构图2.5自动控制系统的传递函数2.6信号流图第2章自动控制系统数学模型昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系1结构图的概念和组成1)概念将方框图中各时间域中的变量用其拉氏变换代替，各方框中元件的名称换成各元件的传递函数，这时方框图就变成了结构图。结构图是一种将控制系统图形化了的数学模型。2)组成(1)方框：有输入信号，输出信号，传递线，方框内的函数为输入与输出的传递函数，一条传递线上的信号处处相同。2.4系统动态结构图昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系

(2)比较点：综合点，相加点加号常省略负号必须标出

(3)引出点：一条传递线上的信号处处相等，引出点的信号与原信号相等。G(s)X(s)Y(s)2.4系统动态结构图昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系2结构图的绘制

例：绘制双T网络的结构图2.4系统动态结构图昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系画图时G(s)R(s)C(s)从左向右列方程组2.4系统动态结构图昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系将上页方程改写如下相乘的形式：2.4系统动态结构图昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系绘图：ur(s)为输入，画在最左边。1/R11/sC11/R21/sC2uC(s)ur(s)u1(s)i1(s)i2(s)--u1(s)-uC(s)这个例子不是由微分方程组——代数方程组——结构图，而是直接列写s域中的代数方程，画出了结构图。2.4系统动态结构图昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系若重新选择一组中间变量，会有什么结果呢？(刚才中间变量为i1,u1,i2，现在改为I,I1,I2)从右到左列方程：2.4系统动态结构图昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系这个结构与前一个不一样，所以选择不同的中间变量，结构图也不一样，但是整个系统的输入输出关系是不会变的。绘图

2.4系统动态结构图昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系3结构图的等效变换（1）串联G(s)X(s)Y(s)X1(s)G1(s)G2(s)X(s)Y(s)2.4系统动态结构图昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系

(2)并联G(s)X(s)Y(s)X(s)G2(s)G1(s)Y1(s)Y2(s)Y(S)2.4系统动态结构图昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系(3)反馈这是个单回路的闭环形式，反馈可能是负，可能是正，我们用消去中间法来证明。G(s)H(s)E(s)R(s)C(s)2.4系统动态结构图昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系

以后我们均采用Ф(s)表示闭环传递函数，负反馈时，Ф(s)的分母为1＋回路传递函数，分子是前向通路传递函数。正反馈时，Ф(s)的分母为1－回路传递函数，分子为前向通路传递函数。单位负反馈时2.4系统动态结构图昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系4结构图等效变换方法1)三种典型结构可直接用公式2)相邻综合点可互换位置3)相邻引出点可互换位置注意:1)不是典型结构不可直接用公式2)引出点综合点相邻，不可互换位置2.4系统动态结构图昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系引出点移动G1G2G3G4H3H2H1abG41G1G2G3G4H3H2H12.4系统动态结构图昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系G2H1G1G3综合点移动向同类移动G1G2G3H1G12.4系统动态结构图昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系G1G4H3G2G3H1作用分解H1H3G1G4G2G3H3H1昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系

2.1建立动态微分方程的一般方法

2.2非线性系统微分方程模型的线性化

2.3传递函数

2.4系统动态结构图

2.5自动控制系统的传递函数

2.6信号流图第2章自动控制系统数学模型昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系2.5自动控制系统的传递函数1系统的开环传递函数2闭环系统的传递函数3闭环系统的偏差传递函数

昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系1系统的开环传递函数控制系统的典型结构:

前向通道传递函数、与反馈通道传递函数的乘积称为系统的开环传递函数，相当于昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系

2闭环系统的传递函数1)给定输入作用下的闭环传递函数

令,系统结构图等效为

系统输出对输入的闭环传递函数为

易知

昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系

2闭环系统的传递函数2)扰动输入作用下的闭环传递函数

令,系统结构图等效为

系统输出对扰动作用的闭环传递函数为

系统在扰动作用下的输出为

昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系

2闭环系统的传递函数3)给定输入和扰动输入同时作用下系统的总输出根据线性系统的叠加原理，系统在多个输入作用下，其总输出等于各种输入单独作用所引起的输出分量的代数和，系统的总输出为昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系

3闭环系统的偏差传递函数

偏差是指给定输入信号与主反馈信号之间的差值，用表示，即

其拉氏变换为

研究各种输入作用下所引起的偏差变化规律时，常用偏差传递函数来表示。

昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系

3闭环系统的偏差传递函数1)给定输入作用下的偏差传递函数

令，此时与之比称为偏差对给定作用下的闭环传递函数，简称闭环系统的偏差传递函数，用表示，由得

昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系

3闭环系统的偏差传递函数2)扰动输入作用下的偏差传递函数

令，此时与之比称为偏差对扰动作用下的闭环传递函数，简称扰动偏差传递函数，用表示，由有

昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系

3闭环系统的偏差传递函数3)给定输入和扰动输入同时作用下的总偏差

根据线性系统的叠加原理，可求出系统在给定输入和扰动输入同时作用下的总偏差为不难发现，闭环传递函数都具有相同的分母，即这正是闭环控制系统的本质特征。通常把这个分母多项式称为闭环系统的特征多项式，而将其等于零形成的方程称为闭环系统的特征方程。闭环特征方程的根称为闭环系统的特征根或闭环系统的极点。昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系

2.1建立动态微分方程的一般方法

2.2非线性系统微分方程模型的线性化

2.3传递函数

2.4系统动态结构图

2.5自动控制系统的传递函数

2.6信号流图第2章自动控制系统数学模型昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系2.6信号流图1术语介绍

1)节点结构图中所有的引出点，比较点称节点。2)前向通路从输入到输出，并与任何一个节点相交不多于一次的通路，叫前向通路，前向通路中各传递函数的乘积，叫前向通路增益。3)回路起点和终点在同一节点，且与其他节点相交不多于一次的闭合通路叫单独回路，回路中所有传递函数的乘积叫回路增益。昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系4)不接触回路相互间没有公共节点的回路称为不接触回路。2梅逊公式

任一结构图中，某个输入对某个输出的传递函数为2.6信号流图昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系式中：n为前向通路的条数Pk为第k条前向通路增益

Δ为系统特征式Δ=1-（所有单独回路增益之和）+（所有每两个互不接触回路增益乘积之和）-（所有三个互不接触回路增益乘积之和）+……Δk为第k条前向通路特征式的余子式，即将第k条前向通路去掉，对余下的图再算一次Δ。或在Δ中把与该前向通路相接触的回路增益置为0后所余下的部分。2.6信号流图昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系梅逊公式例R-CR(s)C(s)L1=–G1H1L2=–G3H3L3=