线性系统可靠控制1

单级倒立摆系统在水平方向，应用牛顿第二定律：在垂直于摆杆方向，应用牛顿第二定律：而有：线性化：当和较小时，有化简后，得求解得：选择状态变量，，，为系统输入，为系统输出选取四个研究对象作为状态变量，分别为：位移y、小车的速度、摆的角速度θ及其角速度

状态图为方便研究，假定系统的参数M=4kg,m=0.2kg,l=1m,则系统状态方程中参数矩阵为：此时倒置摆的状态空间模型表达式为：

系统特性分析

作为被控制的倒置摆，当它向左或向右倾倒时，能否通过控制作用使它回复到原直立位置，这取决于其能控性。该电桥系统中,电源电压u(t)为输入变量,并选择两电容器两端的电压为状态变量x1(t)和x2(t)。试分析电源电压u(t)对两个状态变量的控制能力。例

某电桥系统的模型如图所示。由电路理论知识可知,若图所示的电桥系统是平衡的(例Z1=Z2=Z3=Z4),电容C2的电压x2(t)是不能通过输入电压u(t)改变的,即状态变量x2(t)是不能控的,则系统是不完全能控的。若图所示的电桥系统是不平衡的,两电容的电压x1(t)和x2(t)可以通过输入电压u(t)控制,则系统是能控的。判定方法特点判据矩阵指数函数判据代数判据模态判据1模态判据2矩阵函数e-AtB的各行函数线性独立能控性矩阵Qc=[BAB…An-1B]满秩约旦标准形中同一特征值对应的B矩阵分块的最后一行线性无关对于所有特征值

,rank[I-A

B]=n需要求矩阵指数函数并判定函数相关,计算复杂计算简便可行。缺点为不知道状态空间中哪些变量(特征值/极点)能控易于分析状态空间中哪些变量(特征值/极点)能控。缺点为需变换成约旦标准形易于分析哪些特征值(极点)能控。缺点为需求系统的特征值通过秩判据判断能控性，将有关数据带入该判据，可得系统是可控的，可设计控制器实现系统的稳定。也就是说设计控制器的目的就是使倒立摆系统动态稳定，即保持摆杆在垂直的位置上。稳定性分析

Lyapunov第二法由单倒置摆系统的状态方程，可求的其特征方程为：解得特征值为0,0，3.2078，-3.2078。四个特征值中存在一个正根，两个零根，还有一个负根，这说明单倒置摆系统，即被控系统不稳定的。Lyapunov第一法A的所有特征值均具有负实部定理：线性时不变系统渐近稳定的的充分必要条件是存在一个对称正定矩阵P，使得矩阵不等式成立ATP+PA<0Lyapunov第二法状态反馈控制器设计在控制系统设计中，若需通过状态反馈使闭环系统渐进稳定，可以利用极点配置状态反馈的方法，还可以采用李雅普诺夫第二法来确定系统的控制方案。状态反馈控制器设计线性连续定常系统（1）

其中为系统的状态变量，为系统的输入变量。系数矩阵和为不依赖状态和输入的常矩阵。状态反馈控制规律形式为u（t）=Kx（t）（2）其中K为控制器增益矩阵，是待设计矩阵。由系统（1）和控制律（2）构成的闭环系统为

根据前面的定理，可以得到如下设计状态反馈控制器增益矩阵的算法。定理：对于系统（1）存在状态反馈控制器（2）使得闭环系统（3）渐进稳定的充分必要条件为对于正定矩阵X>0