冲击波第一讲

冲击波理论

——研究生课程主讲人：彭金华Email：pengjh@教学目的

本课程旨在比较深入、系统地介绍气体中运动的定常、非定常冲击波传播及与其它间断面的相互作用，使学生掌握基本物理概念和计算方法，以便为开展科学研究和解决有关工程技术问题奠定基础。课程大纲1基本概念和方程（6学时）1.1守恒方程1.2介质状态方程1.3理想流体运动方程组1.4伯努力方程1.5不可压缩流体运动方程组1.6流体力学方程组的积分形式1.7间断面及间断关系式第一讲第二讲

课程大纲（续）2正冲击波（15学时）2.1冲击波基本概念和关系式2.2多方气体冲击波关系式2.3凝聚介质冲击波关系式2.4雨贡纽曲线及瑞利曲线2.5冲击波基本性质2.6冲击波熵增及耗散过程2.7弱冲击波的声学近似2.8冲击波的相互作用2.9冲击波与稀疏波的相互作用2.10冲击波与交界面的相互作用2.11初始间断分解第三讲第四讲第五讲第六讲第七讲课程大纲（续）3斜冲击波（6学时）3.1斜冲击波极曲线3.2斜冲击波在固壁上的正规反射3.3斜冲击波在固壁上的马赫反射3.4斜冲击波在自由面上的正规反射3.5斜冲击波在物质界面上的正规折射3.6两冲击波斜碰撞4非定常冲击波传播（3学时）4.1二维Whitham方法4.2冲击波的绕射4.3点爆炸问题的自模拟解4.4球面冲击波的聚心运动5冲击波技术的应用第八讲第九讲第十讲教材选用1)李维新.一维不定常流与冲击波.北京：国防工业出版社.20032）周毓麟.一维非定常流体力学.北京：科学出版社.19983）王继海.二维非定常流和激波.北京：科学出版社.1994考核上课出勤率，回答问题及听课情况，占总成绩10%；学期中，每人写一篇读书报告或准备一节课的教学内容，上讲台交流，占总成绩20%；学期末，开卷考试，考试时间2小时，试卷分100分，占总成绩70%。第一章基本概念和方程

1.1守恒方程质点：介质的微元叫作“流体质点”或“质点”。当说质点速度时，指的并非各分子的速度，而是微元整体的速度，当说到质点密度、压力等状态量时，指的则是该微元体现的平衡态宏观量。宏观小、微观大

守恒方程的一般形式

强度量：单位体积的量，例如密度、动量密度、能量密度、压力等，这类量不随体积的增加而增加；广延量：强度量对体积积分的结果，例如质量、动量、能量、熵等，这类量对体积是可加的。设L(r，t)是所讨论宏观系统中介质的某一强度量，它是空间坐标r=r(x，y，z)和时间t的函数。在系统中任取一个体积V，则L(r，t)对应的广延量是当L是一守恒量时，对于非孤立系统，的变化由两项组成：一项是单位时间内在体积V内ψ的产生项，即源项，把它记作P（ψ）；另一项是单位时间内通过体积V的表面积S流走ψ的流项，将它记作J（ψ），即（1.1）这里ψ（t）只是t的函数，故与的含义相同。对P(ψ)和J(ψ)也可用其相应的强度量表出其中σ是单位时间单位体积内ψ的源，而其中j是单位时间内通过表面单位面积的ψ的流，这里j和面积dS都是矢量，定义表面积的外法线方向为正。一般形式守恒方程的积分形式（1.2）再利用格林(Green)公式把式中最后一项的面积分化为体积分，上式可化为（1.3）其中▽是符号算子，在直角坐标系(x，y，z)中因(1.3)式对任意的体积V都成立，当所有的量在V内是连续变量时，该式就意味着积分号内整个被积函数应等于零，故得守恒方程的微分形式（1.4）对于孤立系统，不存在与外界的交换，也无源，这时ψ的守恒方程为这里和以后都用表示当地的时间微商，以表示随体微商，它们的关系是其中u=u（u，v，w）是介质的速度矢量。质量守恒方程

质量对应的强度量，即单位体积的质量是密度ρ，现令L=ρ。因质量不产生也不消亡，故源项σ=0。ρ的流只有运流，故流项j=ρu，这里u是介质的宏观速度。于是，代人(1.4)式得（1.5）这就是熟知的质量守恒方程，也称为连续性方程。展开上式中的散度所以或者若在运动过程中介质的ρ始终保持不变，即dρ／dt=0，则这种介质称为不可压缩介质。对不可压缩介质，连续性方程特别简单，为动量守恒方程

动量的强度量是动量密度ρu，即现在令L=ρu。当存在外力场的作用时，根据牛顿定律，外力对介质的作用将导致介质动量增加，故外力是产生动量的源。设F是作用于介质单位质量的外力，则ρF为作用于单位体积的外力，于是动量密度的源σ=ρF。动量密度本身是一个矢量，它的流则应是个张量。其中运流即随质点运动带走的动量密度流是ρuu，这里ρuu是并矢张量，例如分量ρuux就代表动量ρu在x方向的流量。另外是扩散流，因为介质中的应力张量∏要导致动量的扩散，所以在所讨论系统的表面积上将产生流过该面积的扩散流－∏，这里取负号是因为应力朝表面积外法向为正，故应力给外界产生的动量为正，而给本系统产生的动量则为负。所以，动量密度的流，j=ρuu－∏。于是，根据(1.4)式得动量守恒方程（1.6）所以（1.7）纳维—斯托克斯(Navier—Stokes)方程

粘性流体的动量方程，其标量形式（1.8）其中μ是粘性系数，称为运动粘性系数欧拉(Euler)方程

对于不可压缩粘性流体，(1.8)式化简为（1.9）对于非粘性流体，在无外力作用情况下，动量守恒方程就化为（1.10）这个方程也叫作欧拉(Euler)方程。

能量守恒方程

单位体积的总能为ρE，即令L=ρE（1.11）总能的源有两部分，一是介质本身释放的能量，二是外力F对介质做的功，即总能的流包括：①随介质运动带走的能量，即运流ρEu；②因热传导而在单位时间内流过单位面积的能量流q；③应力单位时间内在单位面积上所做的功。于是能量流项为将以上各项代人(1.4)式，就得到总能守恒方程为(1.12)或写为(1.13)并利用到质量守恒方程(1.5)，则(1.12)式可化为(1.14)内能守恒方程(1.15)常用的内能守恒方程(1.16)也称为内能平衡方程。它表明，介质内能的增量等于如下几项之和：①周围介质对本介质做的压缩功，即；②外界向介质输入的热量；③介质表面上应力做的功；④介质本身释放的能量。当无能源、无耗散应力时，内能守恒方程则为(1.17)这表明，外界向介质输入的热量，将用于增加介质的内能和使介质对外做功。这就是大家熟知的热力学第一定律。在无能源、无热传导、无耗散作用的腈况下，内能守恒方程非常简单，即(1.18)守恒方程小结最一般形式的流体动力学方程组：（1.19）非守恒形式的流体动力学方程组：（1.20）在无能源、无外力、无热传导的情况下，粘性流体动力学方程组为（1.21）同上情况下，非粘性流体动力学方程组是（1.22）

若把这组方程写为随体微商，即拉格朗日(Lagrange)时间微商的形式则为

（1.23）

以上得到的流体动力学方程组，其方程个数是五个(其中动量方程是三个)，而方程中待求物理量为ρ、p、e、u（u，v，w）共六个，比方程的个数多一个。一维运动情况也如此，方程是三个，待求量共四个。为了对问题求解．还需再补充一个方程，这就要给出一个表达状态量ρ、p和e之间关系的方程，即状态方程。所以，求解流体动力学问题，除流体动力学方程组外，还需再加一个状态方程，才能构成封闭方程组。1.2介质状态方程四个热力学关系式是

（1.24）

第一式是热力学第一定律，其余各式是由第一式及如下定义导出的。（1.25）hpτepτFTsGTs状态方程是涉及介质具体性质的热力学量之间的关系式，通常是指介质的p，τ，T之间的关系式，并常用τ，T或p，T为自变量，即或有时也把内能函数视为状态方程。在英文文献中状态方程equationofstate（EOS）一词通常指p=p(τ,T)，有时也称它为温态方程thermalEOS,e=e(τ,T)称为能态方程caloricEOS。根据热力学理论，有了以上两个方程，介质的热力学性质就全部知道了。在流体动力学中通常多采用p、ρ、e之间关系的状态方程，即或一般流体(气体)的性质

（1）熵不变时，压力总是随密度的增加(比容的减小)而增加。（1.26）当ρ=0时，=0。所以永远为正，于是可以定义一个如下的恒正的量：（1.27）c称为声速，是一个很重要的量。(2)熵不变时，声速将随密度的增加而增加。即有（1.28）(3)比容不变时，压力随熵的增加而增加。即有（1.29）(4)对于气体，其密度可趋近于零，再作以下假定：当ρ→0时（1.30）

理想气体

pτ=RT（1.31）式中R是常数．它等于气体普适常数除以气体的摩尔质量。理想气体有时也叫作完全气体。（1.32）（1.33）（1.33）（1.34）（1.33）多方气体

当理想气体的比定容热容cV为常数时，则由(1.32)式积分可得（1.35）由热力学第一定律对多方气体得常用的多方气体的状态方程（1.36）对于等熵过程，A(S)为常数，故多方气体的等熵状态方程为（1.37）指数γ是比热比，也称为多方指数或绝热指数。从γ的定义(1.34)看到，总有γ>1，根据统计力学和热力学得知，其中l是气体粒子的内部自由度。对于单原子气体(如氢、氖)，内部自由度l=0，故γ=5／3；对双原子气体(如氧、氮、空气等)，在温度不高时有两个转动自由度，l=2，故γ=7／5，当温度较高时，振动自由度被激发，自由度增加到l=4，这时γ=9／7。对多方气体．还容易得到(1.38)(1.39)(1.40)凝聚介质

通常可把凝聚介质的压力和内能分别表示为如下一般形式(1.41)(1.42)式中pc和ec，分别是冷压和冷能，它们只是比容的函数，pT和eT是热压和热能，它们同时依赖于比容和温度。

格留纳森