其他衍生金融工具

第五章其他衍生金融工具主要内容信用衍生工具利率衍生工具能源与商品衍生工具2023/2/32Copyright©PeiZhang,2014信用风险的基本概念一、信用风险的定义贷款的借贷方、债券发行人及衍生产品交易对手违约的可能性。核心：违约概率的估计2023/2/33Copyright©PeiZhang,2014二、信用风险的度量（一）信用评级与违约概率Moody’s、S&P和Fitch等评级公司专门从事信用评级业务2023/2/34Copyright©PeiZhang,2014无条件违约概率与违约密度：（1）无条件违约概率站在今天（0时点）所看到的在某一年内（如第三年内）的违约概率（2）条件违约概率（违约密度、风险率）前两年均不违约的条件下，在第三年违约的概率2023/2/35Copyright©PeiZhang,2014回收率（recoveryrate）公司破产时，公司部分资产被债权人变卖，所得资金最大限度地用于偿还债务，回收率是指债券在刚刚违约时，其市场价值与债券面值的百分比。2023/2/36Copyright©PeiZhang,2014（二）债券价格与违约概率假设：公司债券价格低于无风险债券的价格是由于公司债券的违约可能性。一般来讲：2023/2/37Copyright©PeiZhang,2014例：假设企业债券的期限为5年，券息为每年6%（半年付息一次），债券收益率为每年7%（连续复利），与这一债券相似的无风险收益率为每年5%（连续复利）。我们可以分别计算出企业债券及无风险债券的价格为95.34和104.09。在今后5年内，由违约造成的损失的期望值为104.09-95.34=8.75。假定债券每年的违约概率为Q，则可计算各违约时点由Q表示的预期违约损失。2023/2/38Copyright©PeiZhang,2014各个违约时点对应的预期违约损失（本金=100美元）2023/2/39Copyright©PeiZhang,2014（三）利用股价来估计违约概率1974年，Merton提出了一个模型，模型中公司股票被当做公司资产上的期权。（R.Merton“OnthePricingofCorporateDebt:TheRiskStructureofInterestRates,”JournalofFinance）2023/2/310Copyright©PeiZhang,2014几种违约概率的比较由债券收益率和股价计算得到的违约概率为风险中性概率由历史数据所隐含的概率为现实世界的违约概率（也成为真实概率）2023/2/311Copyright©PeiZhang,2014（四）违约相关性两家公司公式违约的倾向（信用蔓延效应）1、简化模型2、结构模型2023/2/312Copyright©PeiZhang,2014（五）信用VaR

（损失分布）例如：1年内99.9%的把握认为信用损失不会超过的水平2023/2/313Copyright©PeiZhang,2014三、信用风险的缓释技术净额结算（如果交易的一方在与某一交易对手的一份合约中违约，那么这一方必须在与同一对手的所有合约中违约）。抵押品降级触发（当交易对手的信用评级低于一定水平时，金融机构有权力将衍生产品以市场价格平仓）。2023/2/314Copyright©PeiZhang,2014第一节信用衍生工具一、信用衍生产品发展历史产生于20世纪90年代中期规模发展迅猛，8000亿美元（2000年）——32万亿美元（2009）2007年爆发的美国次贷危机中，信用衍生产品遭到了诟病2023/2/315Copyright©PeiZhang,2014二、信用衍生产品的基本概念（一）定义信用衍生产品是指收益与某个（或多个）公司或国家的信用有关的合约。（二）分类1、单一公司产品收益与某家公司或某个国家的信用有关（例如：信用违约互换CDS）2、多家公司产品收益与多家公司或多个国家的信用有关（例如：债务抵押债券CDO）2023/2/316Copyright©PeiZhang,2014三、信用违约互换

（creditdefaultswap）（一）信用违约互换的定义参考实体信用事件：参考实体的违约买方向卖方定期付款后，买方在信用事件发生时有权利将违约公司债券以债券面值（信用违约互换的面值）的价格卖给信用违约互换的卖出方。2023/2/317Copyright©PeiZhang,2014假设两家公司在2007年3月1日进入了一个信用违约互换，信用违约互换的面值为1亿美元，买入方付费为每年90个基点（付款时间为2008、2009、2010、2011、2012年3月1日）。如果参考实体没有违约，信用违约互换的买方不会得到任何收益。当有信用事件发生时，在实物交割的条件下，卖方以1亿的价格买入面值为1亿的债券，如果为现金交割，卖方必须向买方支付债券跌价的部分。2023/2/318Copyright©PeiZhang,2014信用事件一旦发生，买入方的定期付款会马上终止，但买入方必须要卖出方支付最后的应计付款。买入方所付出占本金的百分比被称为信用违约互换溢价（CDSspread）。市场上大银行是信用违约互换的做市商。许多公司和国家已经成为CDS合约的参考实体。2023/2/319Copyright©PeiZhang,2014（二）信用违约互换的定价（信用违约互换溢价水平的确定）假设参考实体一年的违约概率为2%，则：2023/2/320Copyright©PeiZhang,2014进一步假设违约发生在年中，信用违约互换的买方付款的时间为每年年终，无风险利率（LIBOR）为每年5%（连续复利），回收率为40%，（1）预期付款贴现值为：2023/2/321Copyright©PeiZhang,2014（2）预期收益的贴现值为：2023/2/322Copyright©PeiZhang,2014（3）应计付款的贴现值为：2023/2/323Copyright©PeiZhang,2014预期付款贴现值+应计付款贴现值=预期收益贴现值4.0704s+0.0426s=0.0511于是：S=0.0124信用互换溢价为每年124个基点还应进一步考虑：（1）买方付款频率的变化（2）违约发生的频率2023/2/324Copyright©PeiZhang,2014信用指数用来描述信用衍生品市场上信用违约互换的溢价（1）CDXNAIG北美125家投资级公司组成的组合（2）iTraxx欧洲125家投资级公司组成的组合作用：方便购买和出售信用违约互换的组合2023/2/325Copyright©PeiZhang,2014例如：做市商对CDXNAIG5年指数报出的买入价为65个基点，卖出价为66个基点。这表示一个交易员可以按每家公司都为65的基点的价格买入125家公司的信用违约互换。每家公司的面值为800000美元，支付的总费用为660000美元。当某个公司违约时，买方会得到信用违约互换的收益，而且付费每年减少660000/125=5280美元。2023/2/326Copyright©PeiZhang,2014四、信用违约互换的衍生产品（一）信用违约互换远期合约及期权信用违约互换的远期合约是指一个在将来某时间T进入买入或卖出某参考实体的信用违约互换义务。如果在时间T之前参考实体违约，这种义务就自行消失。一个信用违约互换期权是在将来某时刻T可以买入或卖出某参考实体信用保护的一种权利。（二）篮筐式信用违约互换一定数量的参考实体作为标的2023/2/327Copyright©PeiZhang,2014五、总收益互换总收益互换是信用衍生产品的一种，它涉及某种债券（或任何资产的组合）的收益与LIBOR加上某差价之间的互换。资产的收益包括券息、利息以及在互换期限内资产的盈亏。2023/2/328Copyright©PeiZhang,2014例如：一个5年期总收益互换的面值为1亿美元，互换的一方将某企业债券的收益同LIBOR加上25个基点进行交换，在券息付出的日期，收益付出方将1亿美元债券所收入的券息付给收益收入方，同时收入方将面值1亿美元在利率为LIBOR+25个基点时所得利息付给付出方。如果债券违约，总收益互换合约将终止，收入方必须向付出方支付1亿美元与违约债券市场价格的差额。2023/2/329Copyright©PeiZhang,2014总收益互换作用：在融资时降低信用风险2023/2/330Copyright©PeiZhang,2014六、资产担保债券（一）定义资产担保证券（ABS）是指由贷款组合、证券、信用卡应收款、住房抵押贷款、汽车贷款等金融资产派生出的债券产品。特殊目的机构（SPV）以资产的现金流为支持发行债券。2023/2/331Copyright©PeiZhang,2014ABS的结构2023/2/332Copyright©PeiZhang,2014中间份额的再次打包2023/2/333Copyright©PeiZhang,2014（二）债务抵押债券债务抵押债券（CDO）是一种资产担保证券。发行者取得证券组合，然后卖给SPV，SPV随后将证券的收入传递给一系列不同的份额。债券组合的收入首先用于支付最高级别的份额。例如，CDO结构可将面值为1亿美元的A级证券转换为面值为7500万美元AAA的证券，2000万美元BBB的证券和500万美元无级别证券的组合。2023/2/334Copyright©PeiZhang,2014合成CDO（syntheticCDO）CDO的发行者生成一个由信用违约互换的空头头寸（等价于证券的多头头寸）所组成的交易组合，交易组合的信用风险可以转移到相应的份额中去。（即将信用违约互换的违约损失分配到份额之中）合成CDO的定价2023/2/335Copyright©PeiZhang,2014第二节利率衍生工具20世纪八九十年代，利率衍生产品发展的非常迅速（单位：十亿美元）利率衍生产品市场是全球最大的场外衍生产品市场2023/2/337Copyright©PeiZhang,2014单独讨论利率衍生品的原因利率的变化过程比较复杂利率具有期限结构利率的波动率比较复杂利率既是标的物，又影响贴现因子2023/2/338Copyright©PeiZhang,2014主要内容主要讨论利率期权的定价标准市场模型的定价（用标准期权定价模型）短期利率模型的定价（描述各种利率随时间演变的方式）HJM、LMM模型（多因素、考虑波动率结构）2023/2/339Copyright©PeiZhang,2014一、标准市场模型（一）债券期权1、债券期权定义在将来某确定时刻T以某一确定价格K买入或卖出某个债券的权利。债券期权可以隐含在债券内，也可以是一般的在场外市场进行交易。2023/2/340Copyright©PeiZhang,2014（1）隐含债券期权A可提前赎回债券（callablebond）含有允许发行债券的公司在将来某时刻以事先约定的价格买回债券的条款。这相当于债券的持有人向发行人卖出了一个看涨期权（执行价格为赎回价格）。通常在债券发行的最初几年内不能赎回（称为锁定区间lock-outperiod），此后的赎回价格通常是时间的递减函数。例如：某10年期可赎回债券发行的最初两年不能赎回，第3年和第4年以110美元的价格赎回，第5年和第6年以107.50美元的价格赎回，第7年和第8年以106美元的价格赎回，第9年和第10年以103美元的价格赎回。2023/2/341Copyright©PeiZhang,2014B可提前退还债券（puttablebond）这种债券含有允许债券持有人在将来某一时间内以预先约定价格提前将债券退还给债券发行人并收回现金的条款。这相当于债券持有人拥有债券的看跌期权。C存款、贷款某金融机构的5年期定期存款可以被提前提取而没有任何惩罚贷款可以提前还清的权利贷款许诺2023/2/342Copyright©PeiZhang,2014（2）普通欧式债券期权假设债券的远期价格具有常数波动率，服从对数正态分布，利用Black公式进行定价：债券现货价格和远期价格均为现金价格。2023/2/343Copyright©PeiZhang,2014例考虑一个10个月期欧式看涨期权，标的证券是有效期9.75年的债券，面值为1000元。假设当前现金债券价格为960元，执行价格为1000元，10个月期无风险利率为每年10%，在10个月内该债券远期价格的波动率为每年9%。债券息票率为10%，每半年支付一次，预计在3个月后和9个月后各支付50元息票。3个月和9个月无风险利率分别为9%和9.5%，计算期权的价格。2023/2/344Copyright©PeiZhang,2014关于波动率的解释期权到期时债券价格对数的标准差/期权期限的平方根2023/2/345Copyright©PeiZhang,2014（二）利率上限和下限1、利率上限的定义利率上限保证浮动利息债券中的浮动利率不超过某个水平，这一利率水平被称为上限利率。在利率上限内的每一个重置日上，如果LIBOR利率小于4%，在3个月后的上限收益为0；如果LIBOR超出4%，上限收益为LIBOR超出4%的溢差乘以面值1000万美元。2023/2/346Copyright©PeiZhang,2014例：假定面值为1000万美元，上限期限为5年，上限利率为4%，如果3个月后LIBOR利率为5%，则利率上限提供的收益为：2023/2/347Copyright©PeiZhang,20142、利率上限的结构（1）利率上限相当于看涨利率期权的组合利率上限的收益为：（2）利率上限是债权期权的组合利率上限可以被当成一个关于零息票债券看跌期权的组合：2023/2/348Copyright©PeiZhang,20143、利率下限相当于利率看跌期权的组合，也是零息票债券上看涨期权的组合。2023/2/349Copyright©PeiZhang,20144、利率上限与下限的定价2023/2/350Copyright©PeiZhang,2014（三）欧式利率互换期权（swaption）1、定义给持有者在将来某时刻进入一个约定的利率互换的权利。例如：某企业已知在6个月后要签署一项5年期的浮动利率贷款，企业希望通过利率互换将浮动利息转为固定利息，这样企业可以将贷款转为固定利息贷款。企业可以买入一个期权，给予企业进入收取6个月LIBOR利率并同时付出固定利率（年率8%）的互换权力。2023/2/351Copyright©PeiZhang,20142、欧式互换期权的定价参考文献：Balck,F.,“ThePricingofCommodityContracts,”JournalofFinancialEconomics,3(March1976):167-79.2023/2/352Copyright©PeiZhang,2014二、短期利率模型第一类模型：平衡性模型先对经济变量进行假设，并推导出短期利率r的过程，然后再得出r对债券价格与期权价格的影响。第二类模型：无套利模型将利率期限结构作为输入变量使用。2023/2/353Copyright©PeiZhang,2014问题背景：在时间t的短期利率r是关于在t开始的一个无穷小时间区间上的利率，也被称为瞬时短期利率。一个在时间T提供收益为的利率衍生产品在时间t的价值为：其中，为r在时间t与T之间的平均值，表示风险中性概率下的期望值。2023/2/354Copyright©PeiZhang,2014定义P（t,T)为在时间T支付1美元的零息债券在时间t时的价格，则：如果R（t,T)为在时间t，期限为T-t，按连续复利的利率，那么：于是，所以：已知r的过程，可以定义初始时的零息票曲线（利率期限结构）以及它按时间变动的规律。2023/2/355Copyright©PeiZhang,2014（一）平衡性模型1、单因子平衡性模型r的过程仅仅涉及一个不确定性

（Rendleman和Bartter模型）

（Vasicek模型）（Cox,Ingersoll和Ross模型）2023/2/356Copyright©PeiZhang,2014（1）Rendleman和Bartter模型

（几何布朗运动）利率与股票价格的重要区别在于，利率有被“拉回”到某个长期平均水平的趋势，被称为“均值回归”（meanreversion）均值回归现象是有经济学原因的。2023/2/357Copyright©PeiZhang,2014利率的均值回归2023/2/358Copyright©PeiZhang,2014（2）Vasicek模型T时支付1美元在零息债券在时间t的价格其中：2023/2/359Copyright©PeiZhang,2014Vasicek模型下可能的期限结构：2023/2/360Copyright©PeiZhang,2014（3）Cox,Ingersoll和Ross模型Vasicek模型中短期利率r可能为负。Cox,Ingersoll和Ross提出了一个可以保证利率永远为正的模型。短期利率上涨时，标准差也会增大Cox,Ingersoll和Ross模型可以产生各种形状的收益率曲线图形2023/2/361Copyright©PeiZhang,20142、两因子平衡模型r的过程仅仅涉及两个不确定性Brennan和Schwartz（1982）提出一个模型，短期利率过程回归于长期利率，而长期利率也服从一个随机过程。Longstaff和Schwartz（1992）推导出一个期限模型，其中波动率为随机项。2023/2/362Copyright©PeiZhang,2014（二）无套利模型将今天的利率期限结构作为输入值来使用，做到与今天的利率期限结构完全吻合的模型。无套利模型中，漂移项与时间t有关。2023/2/363Copyright©PeiZhang,20141、Ho-Lee模型Ho-Lee（1986）首次使用两个参数（短期利率的标准差、短期利率的风险价格）的二叉树形式来描述模型。可以证明，Ho-Lee模型在连续时间的极限为：短期利率的瞬时标准差为时间t的函数，其选取确保模型与初始期限结构相吻合2023/2/364Copyright©PeiZhang,2014用解析式来表达变量，其公式为：远期利率曲线的斜率确定了短期利率在将来任何时刻的平均移动方向，模型在这个斜率上附加了一个按正态分布的随机项。2023/2/365Copyright©PeiZhang,20142、Hull-White（单因子）模型Hull-White（1990）将Vasicek模型推广到与初始期限结构相吻合的情形（假设均值回归速度为a）：为了匹配初始期限结构：2023/2/366Copyright©PeiZhang,2014

Hull-White模型2023/2/367Copyright©PeiZhang,20143、Black-Karasinski模型利率只取正值的短期利率模型：参见Black和Karasinski（1991）缺陷：不能将债券价格表达为r的解析函数2023/2/368Copyright©PeiZhang,20144、Hull-White两因子模型Hull-White（1994）在Brennan和Schwartz（1982）所提出的两因子模型基础上，提出两因子的无套利模型：U的初始值为0，并且服从以下过程：2023/2/369Copyright©PeiZhang,2014（三）债券期权的定价公式：对于Vasicek模型、Ho-Lee模型以及Hull-White模型，一个在时间s到期的零息债券，期限为T的看涨期权在时间0的价值为：其中：L为债券本金，K为执行价格，2023/2/370Copyright©PeiZhang,2014（四）利率期权定价的树形模型表示短期利率随机过程在离散时间下的表现形式1、三叉树模型的使用优点：比二叉树多一项自由度，可以比较容易的表示利率所服从的随机过程。2023/2/371Copyright©PeiZhang,2014三叉树应用实例2023/2/372Copyright©